Дифференциальные уравнения для направления 010500

Правительство Российской Федерации

Национальный исследовательский университет 

Высшая школа экономики

Факультет бизнес-информатики

Программа дисциплины

Дифференциальные уравнения

для направления 010500.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Авто: д.ф.-м.н., проф. В.А. Гордин

Рекомендовано секцией УМС Одобрено на заседании кафедры
_________________________ высшей математики
на факультете экономики
Председатель Зав. кафедрой
_____________ __________ _____________ Ф.Т. Алескеров ________________
" __" __________ 200_ г. " __ " ______________ 200_ г.
Утверждено УС факультета
_____________
Ученый секретарь
_______________ ______________
" __ " _________ 200_ г.
Москва

Тематический план учебной дисциплины

№	Название темы	Всего часов	Аудиторные занятия		Самост. работа
№	Название темы	Всего часов	Лекции	Семинары	Самост. работа
1	Введение. Простейшие дифференциальные и разностные уравнения.	12	2	2	8
2	Задача Коши. Существование, единственность, корректность	12	2	2	8
3	Метод разделения переменных.	14	3	2	8
4	Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами.	14	3	3	8
5	Первые интегралы и фазовые портреты.	14	3	3	8
6	Простейшие экологические модели.	14	2	2	10
7	Конечно-разностные уравнения и системы.	14	3	2	8
8	Устойчивость и неустойчивость стационарных точек систем.	14	3	3	8
9	Интерполяция и аппроксимация	14	3	3	8
10	Введение в разностные схемы для решения задачи Коши.	14	3	3	8
11	Семейства траекторий.	14	3	3	8
12	Специальные типы систем ОДУ.	14	3	3	8
13	Системы с несколькими первыми интегралами.	14	3	3	8
14	Метод разделения переменных для уравнений в частных производных и собственные функции краевой задачи.	14	3	3	8
15	Основные свойства преобразования Фурье и преобразования Лапласа	14	3	3	8
16	Особые точки дифференциальных уравнений.	12	2	2	8
	Итого	216	44	42	130

Формы контроля
Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде контрольной работы и домашнего задания. Домашняя работа делается студентом в течение одной недели. Если она сделана в течение второй недели, оценка за нее делится пополам. После второй недели 10-балльная оценка за сданную работу - нулевая. Итоговый контроль осуществляется в виде двух письменных экзаменов. Итоговая оценка за j-й экзамен (j=1,2) по 10-балльной шкале формируется по формуле О_итог,_j=0,3*О_д.з.+0,7*О_экз_._j. Итоговая оценка О_итог по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма О_итог=0,1*О_к.р.+0,45*О_итог_.1+0,45*О_итог.2, округленная до целого числа баллов. О_к.р., О_д.з, О_экз.1 и О_экз.2 и обозначают оценки по 10-балльной шкале за контрольную работу, домашние задания, первый и второй экзамены соответственно.
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системе.

По десятибалльной шкале	По пятибалльной системе
1 – неудовлетворительно 2 – очень плохо 3 – плохо	неудовлетворительно – 2
4 – удовлетворительно 5 – весьма удовлетворительно	удовлетворительно – 3
6 – хорошо 7 – очень хорошо	хорошо – 4
8 – почти отлично 9 – отлично 10 - блестяще	отлично - 5

Содержание программы
Тема I. Введение. Простейшие дифференциальные и разностные уравнения.

Простейшие дифференциальные и разностные уравнения: модель Мальтуса, движение материальной точки по потоку ветра или течения, дискретное и непрерывное нарастание процента, радиоактивный распад. Решение простейших уравнений. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: разрешимость (неразрешимость) относительно старшей производной, автономность (автономность), линейность (нелинейность) уравнений и систем. Векторное поле – правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка. Примеры.

Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.

2. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., Наука, 1967, ??.

3. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Физматлит, 1970, Изд. МГУ, 1984.
Дополнительная литература

. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993.

Тема II. Задача Коши. Существование, единственность, корректность. Сведение дифференциального уравнения к интегральному уравнению Вольтерра. Сжимающее отображение в пространстве функций. Примеры решения дифференциального уравнения итерационным методом Пикара – Линделефа. Теорема Пеано существования решения задачи Коши «в малом» (без док.). Теорема существования и единственности, если правая часть липшиц-непрерывна «в малом» (без док.). Пример несуществования решения «в большом». Решение задачи Коши для дифференциального уравнения, разрешенного относительно старшей производной, с помощью рядов Тейлора. Примеры. Ряд Тейлора для уравнения Бесселя.
Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.

2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.

3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Физматлит, 1970, Изд. МГУ, 1984.

Дополнительная литература

Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М., Наука, 1979.

Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М., Физматгиз, 1960.
Тема III. Метод разделения переменных. Теорема об обратной функции. Метод разделения переменных для решения уравнения и для уравнения . Примеры. Истечение воды из воронки переменного сечения. Вывод уравнения и его решение. Ограничения модели. Уравнение фон Берталанфи. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным. Уравнение Гомпертца. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным.
Основная литература.

1. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.

2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Физматлит, 1970, Изд. МГУ, 1984.

3. Г.М.Фихтенгольц: Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. 1. М., Физматгиз, 1963, 200?.

4. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'', 2001.

Дополнительная литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003.

2. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.
Тема IV. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Приведение линейной системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду. Общее решение системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, однородных и неоднородных – подпространство и плоскость. Принцип суперпозиции. Сведение уравнения с постоянными коэффициентами к системе. Всегда ли возможно обратное?. Характеристический многочлен. Неоднородные дифференциальные уравнения. Экспонента, синус и гиперсинус в правой части. Возможность резонанса. Жорданова клетка в правой части системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Показание измерительного прибора с учетом его инерции. Динамика показаний инерционного прибора при синусоидальном воздействии. Модели войны армий и орд. Условие неединственности стационарной точки. Существование и отсутствие первого интеграла. Сепаратриса. Уравнение трения каната о бревно. Вывод и точное решение. Формула Эйлера.
Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.

3. . Оболенский А. Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений — М.; Ижевск, 2006.

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Физматлит, 1970, Изд. МГУ, 1984.

5. А.А.Самарский, А.П.Михайлов: Математическое моделирование. Физматлит, М., 2002.

Дополнительная литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003.

2. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.
Тема V. Первые интегралы и фазовые портреты. Уравнения химической кинетики. Первый интеграл. Варианты завершения процесса. Интегрирование системы. Пружинный маятник. Физический маятник без трения. Фазовые портреты. Первый интеграл. Устойчивые и неустойчивые стационарные точки. Колебательный и вращательный режимы. Автономные нелинейные уравнения второго порядка «без трения». Первый интеграл и фазовый портрет. Возможные типы стационарных точек первого интеграла. Лемма Морса (без док.). Маятник с трением. Убывание интеграла энергии. Фазовый портрет. Неустойчивость и асимптотическая устойчивость стационарной точки. Маятник с трением и форсингом. Фазовый портрет. Предельный цикл. Сечение Пуанкаре для проверки устойчивости предельных циклов. Зависимость амплитуды решения от частоты гармонического форсинга. Связь коэффициента трения и ширины резонансной кривой. Дифференциальное уравнение с разрывной правой частью. Пружинный маятник с трением. Определение аттрактора этой системы.
Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.

3. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сюжеты математической физики. Готовится в ФИЗМАТЛИТе. Выложена в общий доступ.

3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Физматлит, 1970, Изд. МГУ, 1984.
Дополнительная литература

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, 200?.

2. А.А.Андронов, А.А.Витт, С.Э.Хайкин: Теория колебаний, М., Физматгиз, 1959, ``Наука'', 1981.

3 В.И.Арнольд, Ю.С.Ильяшенко: Обыкновенные дифференциальные уравнения. В сб. Динамические системы. т.1. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М., ВИНИТИ, 1985.

4. Зайцев В.Ф., Полянин A.Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Факториал, 1997.

5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003.

6. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.

7. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц: Механика, ``Наука'', М., 1965.

Тема VI. Простейшие экологические модели. Логистическое уравнение. Устойчивая и неустойчивая стационарная точки. Возможные границы отлова. Жесткая и мягкая модели. Опасность оптимизации в жесткой модели. Гибкие планы отлова. Модель Лотки – Вольтера. Стационарные точки и исследование их устойчивости. Первый интеграл системы (два способа построения). Сравнение теории с экспериментальными данными. Ограничения модели. Задача о двух видах, конкурирующих за общий ресурс.
Основная литература.

1. В.И. Арнольд, «Жесткие и мягкие математические модели», М., МНЦМО, 2000.

2. В.Вольтерра: Математическая теория борьбы за существование.} М., ``Наука", 1976.

4. А.А.Самарский, А.П.Михайлов: Математическое моделирование. Физматлит, М., 2002.

5. Ю.М.Свирежев, Д.О.Логофет: Устойчивость биологических сообществ. ``Наука'', М., 1978.

Дополнительная литература
Тема VII. Конечно-разностные уравнения и системы. Последовательность Фибоначчи. Конечно-разностные уравнения и системы. Пространство решений линейного конечно-разностного уравнения n-го порядка n-мерно. Общее решение для уравнения с постоянными коэффициентами. Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения. Матрица Лесли и предельное распределение популяции по возрастам. Пример нелинейного конечно-разностного уравнения. Метод Герона и метод Ньютона. Метод Ньютона и сверхсжатие для некратных корней. Доказательство оценки сверхсходимости. Периодические точки отображения и их устойчивость. Примеры. Множество Жюлиа. Метод Ньютона-Рафсона.
Основная литература.

1. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., Наука, 1967, ??.

2. В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.

Дополнительная литература

1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М., Наука, 1986, 2002.

2. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993.
Тема VIII. Устойчивость и неустойчивость стационарных точек систем. Устойчивость положения равновесия при для дифференциальных и разностных систем с постоянными коэффициентами. Теория Ляпунова – исследование устойчивости стационарных точек нелинейных систем (без док.). Примеры, когда спектральный метод бессилен. Метод функции Ляпунова.
Основная литература.

1. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., Наука, 1967, ??.

3 А.А.Андронов, А.А.Витт, С.Э.Хайкин: Теория колебаний, М., Физматгиз, 1959, ``Наука'', 1981.

5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003.

6. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.
Дополнительная литература

Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993.

Тема IX. Интерполяция и аппроксимация. Интерполяция и экстраполяция. Формула Лагранжа для интерполяционного многочлена. Проблема устойчивости интерполяции к шумам. Нормированные пространства. Пространство C. Константа Лебега. Рост константы Лебега со степенью интерполяционного многочлена на равномерных и чебышёвских сетках. Тригонометрическая интерполяция. Аппроксимация производных на сетке. Порядок аппроксимации. Компактные схемы аппроксимации. Сплайны, их порядок и дефект. Кубические сплайны порядка 3 и дефекта 1. Граничные условия. Трехдиагональные системы. Оценка спектра по теореме Гершгорина. Прогонка. Оценка числа операций. Преимущества сплайн-интерполяции.
Основная литература.

1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков: Численные методы. ``Наука'', М., 1987.

2. В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.
Дополнительная литература

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М., Мир, 1972.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М., Наука, 1986, 2002.

4. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М., Мир, 1986.

5. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., Наука, 1994, Физматлит, 2008.
Тема X. Введение в разностные схемы для решения задачи Коши.Разностные схемы для решения задачи Коши. Схема Эйлера, Эйлера с пересчетом, схема центральных разностей. Схемы Рунге – Кутты. Метод экстраполяции Ричардсона для повышения точности схемы.
Основная литература.

Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков: Численные методы. ``Наука'', М., 1987.

В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.

Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., Наука, 1994, Физматлит, 2008.

Дополнительная литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003.

2. . Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.

3. Р.П.Федоренко: Лекции по вычислительной физике. М., МФТИ, 1994, ??, 2008

Тема XI. Семейства траекторий. Уравнение в вариациях. Гомотопия. Метод стрельбы (пристрелки) для решения краевой задачи. Изменение фазового объема в окрестности траектории. Дивергенция векторного поля. Теорема Лиувилля, спектр матрицы системы и разбегание траекторий. Вывод уравнения неразрывности. Характеристики. Уравнение переноса и решение типа бегущей волны. Неоднородное уравнение переноса и изменение решения вдоль характеристики. Покрытия области и подмножества; хаусдорфова размерность. Применение фундаментальной системы к интегрированию неоднородных систем – метод вариации постоянных.
Основная литература.
Дополнительная литература
Тема XII. Специальные типы систем ОДУ. Теория Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы. Анализ устойчивости для решений уравнений с периодическими коэффициентами. Гамильтоновы системы. Сохранение гамильтониана. Сохранение фазового объема. Примеры.
Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.

2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.
Дополнительная литература

2. В.И.Арнольд: Математические методы классической механики. ``Наука'', М., 1989.

3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц: Механика, ``Наука'', М., 1965.

Тема XIII. Системы с несколькими первыми интегралами. Центральная сила. Примеры. Секториальная скорость и доказательство второго закона Кеплера. Эффективная потенциальная энергия. Сохранение энергии радиального движения. Определение фазы. Апоцентр и перицентр. Условие периодичности орбиты. Первый и третий законы Кеплера, Бертрана и Кенига – без док. Сохранение импульса для замкнутой системы. Движение центра масс. Сохранение момента импульса замкнутой системы. Случай сохранения проекции момента импульса в некоторых незамкнутых системах. Сохранение энергии в задаче N-тел. Полная интегрируемость в задаче 2 тел.
Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.

3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц: Механика, ``Наука'', М., 1965.

Дополнительная литература

1. А.А.Андронов, А.А.Витт, С.Э.Хайкин: Теория колебаний, М., Физматгиз, 1959, ``Наука'', 1981.

2. В.И.Арнольд: Математические методы классической механики. ``Наука'', М., 1989.
Тема XIV. Метод разделения переменных для уравнений в частных производных и собственные функции краевой задачи. Уравнение диффузии на отрезке – условия Дирихле и Неймана. Уравнение струны. Оценка спектра оператора. Собственные функции. Убывание амплитуд для уравнения диффузии и осцилляция для струны. Асимптотика на больших временах. Некорректность обратной задачи диффузии. Ортогональность собственного базиса в задаче Штурма-Лиувилля. Варианты граничных условий. Самосопряженность и отрицательная определенность оператора Лапласа. Ряд Фурье. Сходимость разложения функции в метриках и в С. Скорость сходимости и убывания коэффициентов. Явление Уилбрахама-Гиббса. Функция Грина для простейшей краевой задачи. Ортогонализация многочленов в [-1,1]. Многочлены Лежандра. Формула Родрига. Проекция на первые собственные функции. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Квадратурные формулы. Формула Симпсона. Оценка несобственных интегралов. Задача Штурма-Лиувилля. Приведение к самосопряженному виду. Собственные числа и функции. Асимптотика собственных чисел при больших номерах. Простота спектра. Чередование нулей собственных функций. Разделение переменных для параболической и гиперболической задач на отрезке. Разностная аппроксимация задачи Штурма-Лиувилля. Компактные схемы. Уравнение Бесселя нулевого порядка. Ограниченное в нуле решение и его разложение в ряд Тейлора. Отрицательность спектра при условии ограниченности на бесконечности. Оператор Лапласа на плоскости в полярных координатах. Функции Бесселя – собственные для задачи Дирихле в круге. Асимптотика ограниченного решения в начале координат.
Основная литература.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М., Наука, 1986, 2002.

3. В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.

4. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сюжеты математической физики. Готовится в ФИЗМАТЛИТе. Выложена в общий доступ.

5. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М., Физматлит, 1970.

6. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., Наука, 1994, Физматлит, 2008.
Дополнительная литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003.

2. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.

3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

4. Р.П.Федоренко: Лекции по вычислительной физике. М., МФТИ, 1994.
Тема XV. Основные свойства преобразования Фурье и преобразования Лапласа. Пространство . Преобразования Фурье. Основные свойства: линейность, унитарность (теорема Планшереля – без док.). Различные нормировки преобразования. Операторы сдвига и дифференцирования. Символы дифференциального и разностного операторов. Формула обращения. Решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Преобразование Фурье от убывающей экспоненты, умноженной на функцию Хевисайда. Преобразование Фурье от рациональных функций. Интеграл Лапласа. Преобразование Фурье от гауссианы. Собственные функции преобразования Фурье. Свертка. Решение уравнения в виде свертки. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Метод стационарной фазы. Лемма Эрдейи. Убывание образа Фурье на бесконечности. Операционное исчисление. Оригиналы и изображения. Формулы для преобразования функции Хевисайда, экспоненты, дельта-функция и ее производные. Сдвиг и дифференцирование. Изображение периодических функций. Формула обращения. Формула свертки. Оригиналы рациональных функций. Применение к задаче Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами.

Основная литература.

1. В.А. Гордин. Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.

2. В.А. Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сюжеты математической физики. Готовится в ФИЗМАТЛИТе. Выложена в общий доступ.

3. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М., Наука, 1971.

Дополнительная литература

Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т.1., М., Наука, 1969.

2. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.

3. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М., Мир, 1965.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Части 1-3. М., Наука, 1969, Спб., Лань, 2002.

5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М., Физматгиз, 1960.

6. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М., Наука, 1966.
Тема XVI. Особые точки дифференциальных уравнений. Возможность обобщенных решений. Регулярные и иррегулярные особые точки линейных ОДУ. Уравнение Эйлера и его характеристическое уравнение. Метод Фробениуса.
Основная литература.

2. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983.
Дополнительная литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; СПб.: "Лань'', 2003.

Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в задачнике Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 2008.

Несколько тысяч задач имеется в тексте книг:

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.

3. Гордин В.А. «Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики», Готовится в ФИЗМАТЛИТе. 2009, рукопись выложена в открытый доступ.

Кроме того на протяжении курса студентам выдаются домашние задания, где решение требует комбинированного подхода: аналитические соображения + численная компьютерная реализация. Задачи, как правило, содержат индивидуальный параметр Y или параметры.

Примеры задач

Доказать, что в некоторой точке на интервале (-1;1) производная функции равна 1.
Приведите определение метрического пространства, линейного нормированного пространства, евклидова пространства. Каковы соотношения между этими понятиями ?
Построить кубический многочлен, который на концах отрезка [-1,1] принимает нулевые значения, а производная его на левом конце равна –1, а на правом Y. Построить график.

4.Лестница прислоняется к трубе,

как показано пунктиром на рисунке. Радиус трубы равен 1. Нижний конец лестницы находится в точке x=1+Y/10. Определить координаты точки касания лестницы и трубы.

5. Из плоскости вырезан круг радиуса 1 с центром в начале координат. Точка A=<1+Y/1000,0> соединена натянутой нитью с точкой B=<0,1+Y/100>. Определить длину нити. При каком Y нить будет иметь форму отрезка ?

Методом разделения переменных решить уравнение при Под словом решить понимается описание общего решения при произвольных начальных данных. Для каждого из вариантов построить несколько траекторий.
Известно, что в момент первая популяция имела численность 2Y, а вторая Y. Первая популяция возрастает со временем согласно уравнению , а вторая . В какой момент численности обеих популяций будут (или были) равными?
Построить график решения уравнения с начальным условием Y при . В какие моменты решение будет в два раза больше и в два раза меньше начального значения?
Рассмотрим три дифференциальных уравнения первого порядка вида: , где с начальным условием при t=0: z(0)=Y. Методом разделения переменных найти решение в максимально возможных пределах в обе стороны по t. Существенен ли знак модуля в уравнении ? Построить графики решений.
Для уравнения фон Берталанфи с определить время удвоения объема при различных начальных данных.
Для уравнения Гомперца финальная масса вдвое больше начальной. Временной масштаб . Определить константу r.
Привести к диагональному виду оператор с матрицей .
Решить систему дифференциальных уравнений с начальным условием . Построить графики компонентов решения на отрезке [0,3].
То же задание для системы с матрицей B=A-2E, E – единичная матрица.
Ответить еще раз на вопросы 8-10, используя метод Рунге-Кутты. Сравнить полученные графики с аналитическими. Исследовать зависимость погрешности численного решения от шага схемы Р-К и времени интегрирования.
Взять неопределенный интеграл . В каких точках функция имеет максимум и минимум ?
Вычислить интегралы. 1) 2) ; 3)

; 5)

В шар объемом V вписан цилиндр. При каком радиусе объем цилиндра максимален? При каком радиусе максимальна площадь его поверхности ?
Чтобы удержать груз на канате, перекинутом через балку, нужна сила кг, а чтобы начать подтягивать на свою сторону + Y кг. Определить вес груза. Определить коэффициент трения, если угол обхвата градусов.
В следующих задачах начальные данные для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка пробегают единичную окружность: Требуется описать (и нарисовать кривые – геометрическое место точек) множество решений в следующие моменты времени t=-1, 1, 2. Для ориентировки: если А – нулевая матрица, то все три искомые кривые совпадают с единичной окружностью, а если А – единичная матрица, то это окружности радиуса . Для каждой задачи указать, имеется ли у системы первый интеграл ?

; 2)

; 3)

; 4)

21. Для уравнений химической кинетики при на фазовой области описать множество начальных условий, для которых реакция полностью заканчивается за время Y.

22. Пружинный маятник с трением описывается уравнением . Пусть Построить графики решения при нескольких различных начальных данных. Построить фазовые портреты.

23. Длина физического маятника без трения Y см. Ускорение свободного падения g=9,8 м/сек^2. Определить период малых колебаний. Численно определить амплитуду колебаний при которых период вдвое и втрое больше. Для уравнения идеального маятника энергетическим методом построить траектории. Интеграл для периода колебаний вычислить методом Симпсона. Построить график зависимости периода колебаний от его амплитуды.

24. Построить методом Рунге – Кутты траектории (несколько - с разными начальными данными) для уравнения маятника с трением .

25. Тот же вопрос для

26. Для уравнения подобрать частоту так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний была максимальна. Построить графики и траектории для решения (с нулевыми начальными условиями) для этой частоты, а также для и 2.

27. Построить траектории для уравнения

28. Пусть функция - ступенчатая, попеременно на отрезках равной длины принимающая значения 1 и -1,

29. Для уравнения подобрать частоту так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний была максимальна. Построить графики и траектории для решения (с нулевыми начальными условиями) для этой частоты, а также для и 2.

30. Построить траектории для уравнения

31. Определить численно зависимость периода и сдвига фаз между компонентами решения от амплитуды периодических решений системы Лотки – Вольтера при Построить графики решений для нескольких вариантов начальных данных.

32. Для уравнений химической кинетики построить графики зависимости решения от времени при

33. Для многочлена определить значения , при которых имеется вырожденная стационарная точка. Как различаются многочлены со значениями по разные стороны от ? Построить графики для примеров.

34. Параметрическим называется резонанс вследствие изменения коэффициентов уравнения. Для уравнения второго порядка численным экспериментом определить, при каких значениях параметров теряется устойчивость состояния покоя ? Указать границы областей параметров, где ПР наблюдается. Для нескольких вариантов параметров построить графики решения.

35. Построить интерполяционные многочлены (16 штук) с узлами (–Y),0,1,2 с интерполяционными значениями . Построить графики.

36. Пусть каждая пара бессмертных кроликов на первом месяце не рожает, на втором месяце рожает (Y+1) пару, а потом каждый месяц по одной. Найти характеристические числа соответствующего уравнения (график характеристического многочлена построить). Оценить численность популяции спустя много месяцев и сравнить с результатом, полученным прямым вычислением (построить график разности). Вначале была 1 пара, только что родившаяся.

37. Для системы уравнений Лотки-Вольтерра с параметрами из задачи 31 определить погрешность (изменение первого интеграла в конечный момент времени по отношению к начальному) в зависимости от периода и шага разностной схемы Рунге-Кутты 4-го порядка с постоянным шагом (была разослана). Время интегрирования – 100 периодов.

38. Использовать экстраполяционный метод Ричардсона для уменьшения этой погрешности. В каком диапазоне шагов метод неэффективен и почему ? Пусть f(x) – функция на отрезке [0,1]. Аппроксимация многочленами Бернштейна задается формулой Для функции f(x)=sin(2 pi x) построить аппроксимацию (включая графики) при различных n. Как погрешность изменяется с ростом n (построить график) ? Те же вопросы для функции sign(x-Y/70).

39. Привести пример линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, для которой начало координат асимптотически устойчиво и существуют решения, модуль которых сначала растет, а потом убывает. Привести графики компонент и модуля таких решений. Возможно ли, чтобы все решения системы с асимптотически устойчивой стационарной точкой обладали таким свойством немонотонности ?

40. Пусть . Исследовать поведение функции в окрестности стационарных точек. Нарисовать изолинии f.

41. Пусть . Исследовать поведение функции в окрестности стационарных точек.

42. Исследовать системы методом разделения переменных. Устойчивы ли стационарные точки этих систем? Сопоставить с исследованием устойчивости методом Ляпунова.

43. Для уравнения пружинного маятника с трением с начальным условием определить число колебаний до остановки.

44. Методом Ньютона исследовать уравнение

45. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Докажите, что он оставляет инвариантным подпространство многочленов степени не выше 10. Вычислить матрицу этого оператора в базисе, составленном из мономов. Вычислить спектр этого оператора. То же для многочленов степени не выше 12.

46. Для дифф. уравнения Бесселя степени 2: построить решение, ограниченное в нуле. При малых r строить разложением в ряд Ньютона, а потом при некотором использовать полученные в качестве начальных данных для метода Рунге-Кутты, каковым интегрировать до . Оценить зависимость погрешности от числа членов ряда Ньютона, выбора и шага схемы. Применить метод Ричардсона для повышения точности.

47. Для сетки {-Y,0,1,2,3} построить многочлен степени 5, который во всех узлах обращается в нуль, а первая производная которого в левой точке равна 1. То же для правой точки. Построить графики.

48. Построить сплайн-интерполяцию функции sin(x) на этой же сетке при граничных условиях на первые производные на крайних точках: а) нулевые, б) истинные (получить дифференцированием синуса в крайних точках). То же для вторых производных. Построить графики.

49. На единичной окружности задана равномерная сетка из Y+10 точек. Значения сеточной функции равны значениям функции sin(x). Вычислить в точках сетки первую и вторую производные по компактной схеме и сравнить с истинным результатом. Построить графики.

50. На маятник сбоку дует ветер. Поэтому уравнение для его колебаний принимает вид: Нужно a) Объяснить физический смысл В; b) Построить фазовый портрет и проинтегрировать уравнение при А=1, В=Y. c)При этих же значениях параметров определить зависимость периода от амплитуды и сравнить со случаем В=0.

51. Для уравнения маятника с трением рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить соответствующие параллелограммы при t=-1, 1, 3. Построить график зависимости вронскиана от времени.

52. То же для начальных данных в круге . Приложить распечатку программы.

53. Для уравнения , зависящего от параметра рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить для |t|< 1 решения при Построить разности решений для 0,01 и 0, для 0,02 и 0. Построить решения для уравнения в вариациях, полагая Для тех же значений вычислить его решение. Сравнить оба метода. Оценить скорость нарастания погрешности метода уравнения в вариациях со временем.

54. Для уравнения второго порядка численным экспериментом определить, в зависимости от значений параметров , след и определитель матрицы монодромии. Определите мультипликатор с наибольшим модулем. Постройте кривые, на которых он равен 1, - они являются границами устойчивости нулевого решения (и параметрического резонанса). Сопоставить с результатами задачи, полученными в 53.

55. Для уравнения методом вариации постоянных получить общее решение.

56. Линейные уравнения переноса Начальное условие Постройте характеристики. Постройте графики решения в моменты t=1,2,3.

57. То же для уравнений

58. То же для уравнений

59. То же для уравнений

60. Полный эллиптический интеграл второго рода задается формулой Этот интеграл при произвольных k не выражается через элементарные функции. Требуется вычислить E(k), E’(k) при k=0, 1. Построить квадратный многочлен на отрезке [0,1] по заданным значениям функции на краях отрезка и значении производной на левом краю. Построить график и сравнить с истинным (например, взятым из ИНТЕРНЕТа, или какого-нибудь справочника, или оцененного численно с помощью квадратурной формулы) графиком E(k). Как можно построить приближение к функции E(k), учитывающее асимптотику производной при K=1? При k=Y/60 вычислить погрешность |E(k)- |.

Справка. Эллиптические интегралы встречаются у Джона Уоллиса в 1655-1659гг. Веком позднее, в 1753г. их исследовал Леонард Эйлер. Используемая здесь форма этих интегралов введена А.М.Лежандром в начале 19в.

61. Шарик с нулевой начальной скоростью под действием силы тяжести без трения движется под действием силы тяжести по желобу, имеющему форму параболы, причем z(0)=1, z(Y)=0. Требуется с помощью численных экспериментов определить, какая из парабол обеспечивает наименьшее время для достижения конечной точки.

Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы с гамильтонианом

Выписать систему Гамильтона. Траектории этой гамильтоновой системы (бихарактеристики), точнее их проекции на плоскость

, описывают движение лучей в среде с переменной скоростью с. Докажите, что при с=const лучи – прямые. Если рассматривается точечный источник лучей (скажем, из начала координат), то начальные данные образуют двумерное подпространство

Предположим, что среда «слоистая»:

Вычислить геометрию лучей. Определить критический угол

, при котором лучи не покидают волновод

Пояснительная записка
Требования к студентам

Изучение курса «Дифференциальные уравнения» требует предварительные знания по математическому анализу, алгебре и геометрии в объеме, предусмотренном программой обучения за 1 курс, а также навыков программирования. Он читается параллельно с продолжающимися курсами математического анализа и программирования – знания и навыки, получаемый там, будут использоваться в данном курсе. Содержание программы по математике за среднюю школу предполагается безусловно известным.

Аннотация

Курс «Дифференциальные уравнения» включает в себя основные теоремы, аналитические методы исследования уравнений и систем, дифференциальных и разностных, основные методы численного решения начальных и краевых задач, примеры практических задач, сводящихся к качественному исследованию или численному решению дифференциальных уравнений или систем.

Данный курс должен помочь студентам воспринимать динамические модели экономики и задачи оптимизации, изучаемые по данной специальности, а в будущем – самостоятельно разрабатывать, анализировать и обсчитывать аналогичные модели и задачи такого рода.

Студентам предстоит, в частности, изучать задачи оптимизации (вариационное исчисление и принцип максимума Понтрягина), сводящиеся к решению обыкновенных уравнений или систем. В частности, будут рассмотрены оптимальные методы усвоения больших объемов разнородной информации с шумами. Некоторые из методов, изучаемых в курсе, будут изучаться студентами более подробно в курсах оптимизации, численных методов и уравнений в частных производных. Данный курс должен дать для этого надлежащую подготовку.

Ко многим разделам курса будут предлагаться геометрические иллюстрации и примеры экономического, экологического, социологического и физического содержания.
Учебные задачи курса

Одной из основных целей курса является знакомство студентов с основными идеями и конструкциями теории обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений и систем, их геометрическими интерпретациями и приложениями к экономическим и другим прикладным задачам, методами их составления, анализа и численного определения решений.

В результате изучения курса «Дифференциальные уравнения» студенты должны:

Знать основные свойства обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений и систем;
Знать основные методы анализа и численного оценивания решений таких систем и уравнений;
уметь пользоваться методами обыкновенных дифференциальных уравнений для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономических;

Технология процесса обучения

1. Основное содержание лекции излагается на слайдах, выполненных в Power Point, и дополняется записями на доске. Слайды рассылаются студентам перед очередной лекцией.

2. Домашние задачи требуют от студента понимания аналитического аппарата, владения техникой программирования, умения анализировать полученные численные результаты и графики. Выполнение домашних заданий - трудоемкий, но важный аспект обучения.

3. Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте.