МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.А. ШОЛОХОВА»

ЕГОРЬЕВСКИЙ ФИЛИАЛ

КАФЕДРА ТЕХНОЛОГИИ, ИНФОРМАТИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

Савина Г.М.

М А Т Е М А Т И К А

М А Т Р И Ц Ы. О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И. С И С Т Е М Ы У Р А В Н Е Н И Й

Учебное пособие

2012 г.

Савина Г.М. Математика. Матрицы. Определители. Системы уравнений. Учебное пособие. – Егорьевск: ЕФ МГГУ им. М.А. Шолохова, 2012. - 63с.

Настоящее методическое пособие посвящено изучению одного из основных разделов математики. Рассмотрены все типы матриц, определителей, системы уравнений, изучаемых в курсе высшей математики. Для каждого типа приведены основные теоретические сведения, даны задачи для аудиторной и самостоятельной работ. В пособие также включены варианты контрольной работы по данной теме.

Представленное методическое пособие соответствует указаниям Государственного образовательного стандарта и учебной программе по математике.

• 
  Савина Г.М., ст. преподаватель кафедры технологии, информатики и управления ЕФ МГГУ им. М.А. Шолохова, 2012.
  
• 
  Егорьевский филиал ФГБОУ ВПО «Московский государственный гуманитарный университет им. М.А. Шолохова», 2012.
  

Содержание

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

→ Матрицей А размера m × n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений (называемых элементами матрицы), i=1,2…..,m, j=1,2…..n.

Матрица А с элементами обозначается также .

А=

Например, А= – матрица 2×3, ее элементы =1,= х, =3,= -2y,….

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n. Диагональной называется матрица, у которого все элементы вне главной диагонали (т.е. с индексами i≠j) равны нулю. Единичной (обозначается Е) называется диогональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Примеры матриц: a) квадратная; б) диагональная; в) единичная; г) нулевая

a) ; б) в) ) г )

1. Операции над матрицами

→ Суммой матриц А = () и В = () одинакового размера называется матрица С = () того же размер, причем

Свойства операции сложения матриц. Для любых матриц А, В и С одного размера выполняются равенства :

1. 
   А+В = В+А (коммутативность);
   
2. 
   (А+В)+С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).
   

→ Произведением матрицы А = () на число называется матрица В = () того же размера, что и матрица А , причем () =

Свойства операции умножения матрицы на число:

1) (ассоциативность);

2) (дистрибутивность относительно сложения матриц);

3) (дистрибутивность относительно сложения чисел);

Линейной комбинацией матриц А и В одинакового размера называется выражение вида

Произведением А * В матриц А и В (размером соответственно) называется матрица С размера , такая, что :

.

Таким образом, каждый элемент , находящийся в i – й строке и j – м столбце матрицы С, равен сумме произведений соответствующих элементов i – й строки матрицы А и j – го столбца матрицы В. (Говоря популярным языком, чтобы найти элемент , нужно <<�приложить>> i – ю строку матрицы А к j – му столбцу матрицы В, перемножить соответствующие элементы и полученные произведения сложить). Произведение А * В существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц:

1. 
   (A * B) * C = A * (B * C) = A * B * C (ассоциативность );
   
2. 
   (A + B) * C = A * C + B * C (дистрибутивность);
   
3. 
   A * (B + C) = A * C + B * C (дистрибутивность);
   
4. 
   вообще говоря, А * В В * А – отсутствует коммутативность.
   

Коммутирующими ( или перестановочными) называются матрицы А и В, для которых АВ = ВА.

Если задан многочлен , то матричным многочленом называется выражение для любого натурального n. Значением матричного многочлена при заданной матрице А является матрица.

Транспонированной к матрице А = называется матрица такая, что (т.е. все строки которой равны соответствующим столбцам матрицы А).

Элемент строки матрицы назовем крайним, если он отличен от нуля, а все элементы этой строки, находящиеся левее него, равны нулю. Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки

находится правее крайнего элемента предыдущей строки. В матрицах A и B отмечены крайние элементы каждой строки:

не ступенчатая ступенчатая

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:

1. 
   Перемена местами двух строк (столбцов).
   
2. 
   Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.
   
3. 
   Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).
   

Матрица B, полученная из матрицы A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице A (обозначается B~A). В дальнейшем будем рассматривать элементарные преобразования только над строками.

Задачи для самостоятельной работы.

1. 
   Найти линейную комбинацию матриц 2A+3B, где
   

Найти линейные комбинации заданных матриц:

2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Найти произведения матриц AB и BA (если они существуют):

5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    

Найти значение матричного многочлена f(A):

11. 
    
    
12. 
    
    
13. 
    
    
14. 
    
    
15. 
    
    

Проверить, коммутируют ли матрицы A и B:

16. 
    
    
17. 
    
    
18. 
    
    
19. 
    
    

Транспонировать следующие матрицы:

20. 
    
    
21. 
    
    
22. 
    
    
23. 
    
    

Вычислить произведения и при заданной матрице :

24. . 25. . 26. .
Привести к ступенчатому виду матрицу с помощью элементарных преобразований над строками:

27. . 28. .
29. . 30. .
31. . 32. .
33. . 34. .
35. .