Урок по теме «Синус, косинус и тангенс угла треугольника»

Урок по теме «Синус, косинус и тангенс угла треугольника»

Цели урока:

образовательные – ввести понятие синус, косинус, тангенс угла от 0° до 180°. Вывести основное тригонометрическое тождество и формулы для вычисления координат точки. Рассмотреть формулы приведения.
развивающие – формирование понятия о синусе, косинусе, тангенсе как функциях от угла, области определения тригонометрических функций, развитие логического мышления, развитие правильной математической речи;
воспитательные – развитие навыка самостоятельной работы, культуры поведения, аккуратности в ведении записей.

Ход урок:

1. Организационный момент

«Образование – это не количество прослушанных уроков, а количество понятых. Так что, если хотите идти вперед, то поспешайте медленно и будьте внимательны»

2. Мотивация урока.

Один мудрец сказал: « Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но возвысите свою душу».

Мы вместе с вами попробуем провести небольшое исследование. Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Пусть наши достижения и не покажутся кому-то крупными, но ведь это будут наши собственные достижения!

3. Актуализация опорных знаний.

Какие могут быть углы?
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Что такое катет?
Что такое гипотенуза?
Какие соотношения между сторонами и углами этого треугольника вы знаете?
Найти по рис. 1 sinα, cosα, tgα, cosβ, sinβ, tgβ.

4. Изучение нового материала.

В древности люди следили за светилами и по этим наблюдениям вели календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; корабли на море, караваны на суше ориентировались в пути по звездам. Все это привело к потребности научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами в треугольнике.

Как вы думаете, достаточно ли уже известных нам соотношений для решения таких задач?

Цель сегодняшнего урока – исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения, применяя которые на следующих уроках геометрии, вы сможете такие задачи решать.

Давайте почувствуем себя в роли научных работников и вслед за гениями древности Фалесом, Евклидом, Пифагором пройдем путь поиска истины.

До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Теперь мы определим их для любого угла от 0° до 180°.

Возьмем окружность на плоскости ху с центром в начале координат и радиусом R.

Отложим от положительной полуоси X в верхнюю полуплоскость (полуплоскость, где y>0) угол а. Пусть х и у — координаты точки А. Значения sin а, cos а и tg а для острого угла а выражаются через координаты точки А, а именно:

sinα = = = у; cosα = = = x; tgα = = .

Таким чином: синусом кута α є ордината точки А одиничного кола, причому радіус ОА утворює з додатним напрямом осі Ох кут α. Косинусом кута α є абсциса точки А одиничного кола, причому радіус ОА утворює з додатним напрямом осі Ох кут α. Тангенсом кута α є відношення ординати точки А до абсциси цієї точки, причому радіус ОА утворює з додатним напрямом осі Ох кут α.

Пользуясь данным определением, для любого угла α, 0° < α < 180°:

sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0; sin 180° = 0, cos 180° = -l, tg 180° = 0.

Из курса геометри 8 класса вы знаете, что для любого острого угла α:

Sin(90°- α)= cos α, cos (90°- α)= Sin α.

Якщо кут α — тупий (0° < α < 90°), то ордината точки А (рис. 3) додатна (тобто sin α > 0), абсциса — від'ємна (тобто cosα < 0), і відношення ординати до абсциси — від'ємне (тобто tgα < 0).

Отже, косинус, тангенс тупого кута від'ємні.

Якщо α – тупий кут (рис. 4), то cos α = ОС = - OD = -cos (180°- α),

sinα = AC = AD = sin (180° - α), тоді tg α = = - = -tg(180° - α).

Отже, щоб знайти синус тупого кута, досить знайти синус суміжного кута; щоб знайти косинус, тангенс тупого кута, треба знайти число, протилежне косинусу, тангенсу суміжного кута.

Наприклад, sin 120° = sin (180° - 120°) = sin 60° = ,

cos 150^o = - cos (180° - 150°) = - cos 30° = - ,

tg 135° = -tg (180° - 135°) = - tg 45° = - 1.
5. Закрепление нового материала.

Решить № 2(1, 2), 4(1, 2, 3, 5), 6, 8, 19(1, 2)

6. Это интересно!

Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на плакате). Приглашается один ученик. Мы измеряем углы между нашими пальцами.

Берется треугольник, где есть угол в 30, 45 и 60 90 и прикладываем вершину угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца и большого пальца. Одну сторону совмещаем с мизинцем, а другую сторону – с одним из остальных пальцев.

Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90, между мизинцем и безымянным – 30, между мизинцем и средним – 45, между мизинцем и указательным – 60. И это у всех людей без исключения.

Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, т.е. 0.

Введем нумерацию пальцев:

мизинец № 0 – соответствует 0,

безымянный № 1 – соответствует 30,

средний № 2 – соответствует 45,

указательный № 3 – соответствует 60,

большой № 4 – соответствует 90.

7. Самостоятельная работа учащихся.

Решить № 4(4, 6), 19(3)..

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п. 1, решить № 5, 7, 9, 20. Вопросы с.8-9. Сообщение « Из истории тригонометрии».

Что вы узнали нового? На уроке:

вы рассматривали …
вы анализировали …
вы получили …
вы сделали вывод …
вы пополнили словарный запас следующими терминами …

Мировая наука начиналась с геометрии. Человек не может по настоящему развиваться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию. Геометрия возникла не только из практических, но и духовных потребностей человека.

Геометрию люблю…

Геометрию учу, потому что я люблю

Геометрия нужна, без нее нам никуда.

Синус, косинус, окружность – все здесь важно,

Все здесь нужно,

Только надо очень четко все учить и познавать,

Делать вовремя заданья и контрольные решать.

Урок по теме « Тождества: sin²α + cos² α = 1; sin (180° – α) = sin α; cos (180° – α) = – cos α; sin (90° – α) = cos α; cos (90° – α) = sin α»

Цели урока:

Образовательная: создать условия для усвоения тригонометрических тождеств, использования их при решении задач.

Развивающая: способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, развитие способности к аналитико-синтетическому мышлению, расширение кругозора

Воспитательная: формирование потребности в знаниях, интереса к математике

Ход урока.

Организационный момент.

Добрый день!

Сели ровно, оглянулись.

Друг другу улыбнулись

И в работу окунулись.

2. Мотивация урока.

Ребята, математическое творчество – это высший пилотаж. И сегодня я приглашаю вас к полетам в мыслях как наяву.

– Мы проведем не обычный урок геометрии, а отправимся с вами в далекое путешествие. Вглубь веков приведет нас колесо истории.

– Ребята, а вы можете сказать, зачем люди путешествуют?

(Чтобы узнать что-то новое, познакомится с новыми людьми, сделать маленькие или большие открытия)

– С этой целью отправимся в путешествие и мы! По стране тригонометрических тождеств.

3.Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Фронтальный опрос по вопросам с.8-9 учебника.

Спростіть вираз:

а) 1 + sin²α + cos²α; б) 2cos²α + sin²α – 1.

Якою залежністю пов'язані sinα, cosα, tgα?
Знайдіть tgα, якщо:

а) sinα =

, cosα =

; б) sinα =

, cosα =

Укажіть значення виразів:

а) sin 30°, cos 30°, tg 30°; б) sin 45°, cos 45°, tg 45°;

в) sin 60°, cos 60°, tg 60°.

5.Обчисліть синус, косинус і тангенс кута:

а) 120°; б) 135°; в) 150°.

6.Користуючись рис. 5, знайдіть:

а) sin α; б) cos α; в) tg α.

Решение упражнений на закрепление тождеств sin²α + cos² α = 1; sin (180° – α) = sin α; cos (180° – α) = – cos α; sin (90° – α) = cos α; cos (90° – α) = sin α.

Устно №13(7-12).

Решить № 2(3, 4), 11(1, 2), 14(1, 2), 17(1).

6. Историческая пауза.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Дугу он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin( 90° - a)).

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

Термин «тригонометрия» означает дословно треугольникомерие или измерения в треугольнике.

7. Самостоятельная работа учащихся.

Работа в группе. Решить № 13(1-6).

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Повторить п. 1, решить № 12, 14(3, 4), 18(1). Вопросы с.8-9.

1. Сегодня я узнал…….

2. Было интересно……

3. Было трудно…….

4. Я выполнял задание….

5. Я понял что…….

6. Теперь я могу…….

7. Я почувствовал что…..

8. Я приобрёл….

9. Я научился…….

10. У меня получилось………

Урок по теме «Теорема косинусов»

Цели урока:

образовательные – доказать теорему косинусов и показать её применение при решении задач; научить применять данную теорему при решении задач; выработать умение правильно выбрать теорему, по которой можно решить задачу.
развивающие – развитие логического мышления, алгоритмичности мышления, закрепление ранее изученного материала на практике решения задач, развитие навыков контроля, самоконтроля, взаимопомощи.
воспитательные – воспитание умения внимательно слушать и оценивать устную информацию, воспитание умения четко формулировать свои мысли, воспитание коммуникативных способностей, аккуратности.

Ход урок:

1. Организационный момент

Мотивация урока.

Девиз нашего урока

«Наше оружие не пики,

Наше оружие не шашки,

Множество чёрных линий

Скрестим на белой бумаге.

Но ведь и в битве знаний

Тоже нужна отвага,

Боя не будет слышно,

Лишь зашуршит бумага».

Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний. Объявляется тема урока через разгадывание кроссворда, который проектируется при помощи компьютера.

Кроссворд

Разность между делимым и произведение делителя на неполное частное.
Часть прямой, которая состоит из всех точек прямой, лежащих между двумя данными.
Основные утверждения геометрических фигур.
Вторая координата точки на плоскости.
Линия, соединяющая середины двух боковых сторон треугольника и трапеции.
Параллелограмм, у которого все углы прямые.
Утверждение, не требующее доказательства.
Координатная прямая.
Древнегреческий учёный-математик.

Ознакомление с новым материалом.

Из первого признака равенства треугольников следует, что две стороны и угол между ними однозначно определяют треугольник. А значит, по указанным элементам можно. Например. Найти третью сторону треугольника. Как это сделать. Показывает теорема косинусов.

Историческая справка: Впервые теорема косинусов была доказана учёным –математиком аль-Бируни (973-1048 г.г.). С помощью данной теоремы и теоремы синусов которая будет доказана на последующих уроках, можно будет полностью решить поставленную в теме “Решение треугольников” задачу, т.е. вопрос о том, как зная одни из основных элементов треугольника (их 6: 3 угла и 3 стороны), найти другие.

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Дано:

Треугольник АВС.

Доказать:

1. ;

2. ;

3. .

(Первое равенство проговаривает и записывает учитель, а второе и третье кто-нибудь из учащихся.)

Доказательство:

Возможны три случая:

Угол А-острый;
угол А- тупой;
угол А –прямой.

Докажем первое равенство, два других доказываются аналогично.

Запишем теорему косинусов в общем виде:

;

(Первое равенство проговаривает и записывает учитель, а второе и третье кто-нибудь из учащихся.)

Иногда теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай, теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то соs А = соs 90° = 0 и по формуле получаем , то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

5. Физминутка.

6. Первичное осмысление и применение изученного материала.

Задачи по готовым чертежам. При решении задач учащиеся каждый раз проговаривают формулировку теоремы.

Задача 1

http://festival.1september.ru/2003_2004/works/104760/2003/img5.gif

Ответ:

Задача 2

http://festival.1september.ru/2003_2004/works/104760/2003/img6.gif

Ответ: 4.

Ещё раз повторить, как звучит теорема косинусов.

Решить № 28(1), 35, 37, 49.

7. Самостоятельная работа. Тест

I вариант.

1. Закончи предложение. Квадрат любой стороны треугольника равен …

а) сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними;

б) сумме квадратов двух других его сторон;

в) сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. Заполни пропуски. В треугольнике KHT .

а) KH;

б) HT;

в) TK.

3. В треугольнике CDO известны стороны CD и CO. Величину, какого угла необходимо знать, чтобы найти длину стороны DO?

а) C;

б) D;

в) O.

4. Дан треугольник DEF. Выберите верное равенство:

а) ;

б) ;

в) .

5. В треугольнике CKE найдите сторону CE, если CK = 6, KE = 8, ? K = 60°.

а) 52;

б) 4;

в)

II вариант.

1. Выберите верное утверждение.

а) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

б) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

в) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними.

2. Заполни пропуски. В треугольнике ESR

.

а) SE;

б) SR;

в) ER.

3. В треугольнике АВС известны: длина стороны ВС и величина угла С. Чтобы вычислить сторону АВ, нужно знать:

а) АС;

б)

В;

в) С.

4. Выберите верное равенство:

а) ;

б) ;

в) .

5. В треугольнике KHN найдите сторону KN, если KH = , HN = 5, H = 45°.

а) 53;

б) 13;

в) .

Ответы:

I вариант: в, в, а, б, в.
II вариант: б, б, а, б, в.

8. Итоги урока. Д/з. Рефлексия.

Домашнее задание: выучить п.2. доказательство теоремы косинусов. Решить6 на 7 баллов-№29, 36; на 11 баллов- № 29, 36, 50.

Сообщение «Из истории открытия теоремы косинусов.

Урок по теме «Теорема косинусов»

Цели урока:

образовательные – закрепить теорему косинусов и умение применять ее при решении задач; отработать умение правильно выбрать теорему, по которой можно решить задачу.
развивающие – развитие логического мышления, алгоритмичности мышления, закрепление ранее изученного материала на практике решения задач, развитие навыков контроля, самоконтроля, взаимопомощи.
воспитательные – воспитание умения внимательно слушать и оценивать устную информацию, воспитание умения четко формулировать свои мысли, воспитание коммуникативных способностей, аккуратности.

Ход урок:

1. Организационный момент

2. Мотивация урока.

Ребята, на прошлом уроке мы начали изучение темы «Теорема косинусов», доказали теорему косинусов и рассмотрели данную теорему в отношении остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольников.

На этом уроке мы продолжим работу над темой «Теорема косинусов», продолжим учиться применять эту теорему при нахождении неизвестной стороны треугольника, но сначала проверим, как мы усвоили изученный материал.

3. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос. Проверка д/з.

-Сформулируйте теорему косинусов (Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними)

-Обобщением какой теоремы она является? (теоремы Пифагора)

- Дайте определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике.

- Как вычислить косинус тупого угла?

Вариант 1 (на 7 баллов)

Определите сторону треугольника, если две другие составляют угол 45° и равны 5 см и 10 см.

Вариант 2 (на 11 баллов)

Определите сторону треугольника, если две другие составляют угол 45° и равны 5 см и 10 см.

Найдите косинус меньшего угла треугольника со сторонами 6 см, 8 см и 10 см.

4.Решение задач на теорему косинусов. Следствия из теоремы.

Задача по рисунку. Найти х.

Решить № 30.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть а, в и с – стороны треугольника АВС, причем а- его наибольшая сторона.

Если >+, то треугольник тупоугольный.

Если <+, то треугольник остроугольный.

Если =+, то треугольник прямоугольный.

СЛЕДСТВИЕ. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.

Решить № 32(3), 34, 56, 58.

5. Историческая справка.
Тригонометрия- «измерение треугольников» - развивалась, прежде всего в связи с потребностями астрономии, географии, навигации. Поэтому её зачатки были в Древнем Вавилоне, где астрономия получила значительное развитие. Синус и косинус появляются в астрономических сочинениях индийских ученных 9-10вв.

Тангенс появился в связи с задачей определения высоты Солнца по длине тени, решение которой необходимо для изготовления солнечных часов. Выделение тригонометрии в специальный раздел математики связано с именем выдающегося персидского ученого Н а с и р э д д и н а Т у с и (1201-1274). В Европе первое изложение тригонометрии было дано в 15в. немецким ученым Р е г и о м о н т а н о м ( 1436-1476). Современный вид тригонометрия получила в трудах крупнейшего математика 18в. Леонарда Э й л е р а (1707-1783).

Теорему косинусов знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида как обобщенная теорема Пифагора.
6. Самостоятельная работа учащихся.

Работа в группе. Решить № 59.

7.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Д/з. Повторить п.1. 2. Решить на 8 баллов- № 31, 33; на 11 баллов- № 31, 33, 57.

Перед вами правильный, прямоугольный и остроугольный треугольники. Если у вас на уроке все получалось правильно, то поднимите фигуру правильного треугольника, если остались от урока положительные эмоции, урок был интересным - покажите прямоугольный треугольник, если в течение урока возникали проблемы - поднимите остроугольный треугольник.

Запишите ключевые слова урока (новые термины)

-Как определить вид треугольника по заданным сторонам?

-Как связаны между собой диагонали и стороны параллелограмма?

Что было легко?

Что было трудно?

Оцените свою активность на уроке по шкале от 0-5.

Что понравилось?

Что не понравилось?

Какую отметку вы бы себе поставили за работу?

Урок по теме “Теорема синусов»
Цели урока:

а) образовательная

познакомить с формулировкой и доказательством теоремы синусов;
выработать у учащегося навыки решения задач с использованием тригонометрических функций;
развить умение решать треугольники.

б) развивающая:

развитие внимания , мышления, наблюдательности, активности;
развитие устной и письменной речи;
развитие умений применять полученные знания на практике.

в) воспитательная:

воспитание самостоятельности, эстетичности;
воспитание интереса к предмету математики.

Ход урок:

1. Организационный момент

Кто сказал, что математика скучна,

Что она сложна, суха, тосклива?..

В этом вы не правы господа,

Знайте: математика – красива!
Нет неблагодарнее занятья,

Чем красоту словами объяснять.

Не любить её нельзя, я точно знаю:

Можно только знать или не знать.

(О. Панишева)

2. Мотивация урока.

– Ребята, а вы можете сказать, зачем люди путешествуют?

(Чтобы узнать что-то новое, познакомится с новыми людьми, сделать маленькие или большие открытия)

– С этой целью отправимся в путешествие и мы!

3. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос. Проверка д/з.

Устная работа с таблицей значений тригонометрических функций (Брадиса), учебник с.268.

1).Как найти а,b,c по теореме косинусов через формулу, если все необходимые данные есть?

2). Если с² a² + b², то ∠С -… → cos C … 0

Если с² a² + b², то ∠С -… → cos C … 0

3). Как связаны между собой диагонали и стороны параллелограмма?

Решение задач по готовым рисункам на использование теоремы косинусов, опредение вида треугольника по его сторонам.

Решить № 37, 59.

4.Ознакомление с новым материалом.

Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

.

Теорему можно записать и в другом виде:
В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к рисунку
$\begin{figure}\epsfbox{t16.2}\end{figure}$
Для начала вспомним, как связаны угловая величина дуги и длина стягиваемой ей хорды. Из равнобедренного треугольника АВО на рис. видно, что если дуга АВ имеет угловую величину, а радиус окружности равен R, то AB=2AM=2R sin( (на рисунке дуга занимает меньшую из двух половин окружности, но величина дуги, дополняющей дугу AB до полной окружности, равна и , так что формулой можно пользоваться для любых дуг).

Из теоремы о вписанном угле( величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается) следует, что величина угла АМВ, где точки А, М, В лежат на одной окружности (рис а)), полностью определяется

$\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t16.3}& \epsfbox{t16.4}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}$

дугой АВ и не зависит от положения точки M вне дуги AB: на рис б). Углы AM₁B, AM₂B, AM₃B и т. д. равны.

$\begin{figure}\epsfbox{t16.5}\end{figure}$

Теперь, когда в нашем распоряжении есть теорема о вписанном угле, мы можем наконец уточнить теорему синусов. Именно, рассмотрим треугольник ABC с углами ÐA=a, ÐB=b, ÐC=g и сторонами АВ=с, ВС=а, СА=b, и опишем около него окружность. Радиус окружности обозначим через R. В этой окружности длина хорды BC равна, как мы видели, 2Rsin (имеется в виду та из дуг BC, что не содержит точки A). С другой стороны, по теореме о вписанном угле BC/2=a, хорда же BC- не что иное, как сторона a треугольника ABC. Подставляя эти равенства в выражение для BC, получаем, что a=2Rsina, или a/sina=2R. Проделывая то же для двух других сторон, получаем:

если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы a, b, g соответственно, то .

где R - радиус окружности, описанной около треугольника.

Таким образом, мы получили дополнительное правило отыскания радиуса описанной около треугольника окружности.

Закрепление материала.

а) Решение:

Ответ:
б) Решение:

Решить № 82, 84, 89.

7. Самостоятельная работа учащихся.

Решить № 78, 79.

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п.3, решить: на 8 баллов- № 38, 80, 81;

на 12 баллов- № 38, 80, 81; 83, 90.

Что вы узнали нового? На уроке:

вы рассматривали …
вы анализировали …
вы сделали вывод …
вы пополнили словарный запас следующими терминами …

Тема: «Применение теорем синусов и косинусов при решении треугольников»

Цель:

1) Образовательная: определить содержание программных знаний и умений учащихся по данным темам.

2) Развивающая: использование теорем к практическим задачам через межпредметную связь между науками - тригонометрией и геометрией, активизация познавательной деятельности, привитие навыков исследовательской деятельности.

3) Воспитательная: формирование познавательного интереса, наблюдательности, воспитание у учащихся чувства взаимопомощи при работе в группах.

Ход урок:

1. Организационный момент

Добрый день!

Сели ровно, оглянулись.

Друг другу улыбнулись

И в работу окунулись.

2. Мотивация урока.

В стране "Геометрия" очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать различать различные особенности геометрических фигур.

Даю "установку". Развивать и тренировать геометрическое зрение, применяя все теоретические знания на практике.

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает,

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

Решить треугольник – значит найти одни элементы треугольника, зная другие его элементы.

А в этом вам помогут теоремы косинусов и синусов, их вы и будете применять на практических заданиях.

3. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос. Проверка д/з.

Математический диктант.

1) Распутать геометрический клубок слов, которые используются при определении теорем: [треугольник, стороны, углы,соответственно,пропорционгальны,квадрат,сумма,произведение,

косинус, синус, теорема, удвоенное (без удвоенное), равны, противолежащие]

а) записать формулировку теоремы косинусов

б) записать формулировку теоремы синусов

2) Дано: а,b, с, ∠А, ∠В, ∠С. Используя математические символы, заполните пустые пропуски. Восстановите формулы.

а) по теореме косинусов: сosC =

, cosB =

, cosA =

, а² = b²+…- 2…c cos..., b² =…+ c² – 2a… cos…, с² = a²+… - …ab cos…

б) по теореме синусов:

Тест.(выбрать правильный ответ)

1. Теорема косинусов.

А) с² = a²+ b² + 2ab cosC В) с² = a²+ b² - 2ab cosC

С) с² = a²+ b² - b cosB Д) с² = a²+ b² - 2ab cosA

2. Стороны треугольника пропорциональны …

А) тангенсам противолежащих углов

В) косинусам противолежащих углов

С) синусам противолежащих углов

Д) котангенсам противолежащих углов

3. Теорема синусов.

А) В)

С) Д)

4.Против большего угла лежит…

А) меньшая сторона В) большая сторона

С) меньший угол Д) центр противоположной стороны

4. Решение задач по готовым рисункам на использование теоремы косинусов и синусов.

Задача: Как найти расстояние до недоступного предмета? Расстояние до цели?

Решение:

Решение:

Рассмотреть примеры решения треугольников по стороне и двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трем сторонам. Учебник с.30.

Решить № 116(1), 118(1), 120(1).

5. Историческая справка:

Зачем нужны эти задачи? В Древней Греции, наряду с блестящим развитием теоретической геометрии, научных методов исследования и логических доказательств, большое значение имела прикладная геометрия. Римляне вообще занимались лишь одной практической и прикладной стороной математики, необходимой для землемерия, строительства городов, технических и военных сооружений.

Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древних египтян через Герона вплоть до новых времён.

В 16 – 17 веках всё более развивающаяся промышленность и торговля требуют удовлетворения, в первую очередь, практических нужд. Появление первых инструментов и аппаратов для научных исследований (термометра, телескопа, барометра, микроскопа и др.) вызвало интерес к практической стороне науки и особенно к практической геометрии, которая нужна была для военных целей, мореплавания, строительства и землемерия. В этот период появляется много руководств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и рецепты для решения тех или иных практических задач.

6. Самостоятельная работа учащихся.

Вариант 1: №117(1).

Вариант 2: № 117(2).

7.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Повторить п.1-4, решить № 116(2). 118(2), 120(2).

1. Сегодня я узнал…….

2. Было интересно……

3. Было трудно…….

4. Я выполнял задание….

5. Я понял что…….

6. Теперь я могу…….

7. Я почувствовал что…..

8. Я приобрёл….

9. Я научился…….

10. У меня получилось………

Тема: «Применение теорем синусов и косинусов при решении практических задач»

Цель:

1) Образовательная: определить содержание программных знаний и умений учащихся по данной теме.

2) Развивающая: использование теорем к практическим задачам через межпредметную связь между науками - тригонометрией и геометрией, активизация познавательной деятельности, привитие навыков исследовательской деятельности.

3) Воспитательная: формирование познавательного интереса, наблюдательности, воспитание у учащихся чувства взаимопомощи при работе в группах.

Ход урок:

1. Организационный момент

Один мудрец сказал: « Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная».

Решение треугольников основано на использовании теорем синусов, косинусов, суммы углов треугольника, следствия из теоремы синусов (в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона).

Начиная с древних времен, людей интересовало решение треугольников, т.е. вычисление одних элементов треугольника по другим его элементам. Треугольник является одной из основных геометрических фигур. Многие из известных фигур (параллелограмм, трапеция) и вообще произвольные многоугольники можно разбить на треугольники. Во всяком треугольнике есть 6 основных элементов: три стороны и три угла.

Возникает вопрос:

Сколько же нужно знать, и какие именно элементы в произвольном треугольнике, чтобы найти остальные (три элемента)?

Две стороны и угол между ними;
Одну сторону и два прилежащих угла;
Две стороны и угол противолежащий одной из них;
Три стороны.

Таким образом, для решения треугольника, т.е. для нахождения трех его элементов, когда известны три другие его элементы, среди которых, по крайней мере, одна сторона, необходимо иметь три независимых соотношения между его элементами.

3. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос. Проверка д/з.

Что называют решением треугольников?
Какие теоремы применяются при решении треугольников?
Сформулируйте теорему синусов? Следствие из теоремы синусов? Теорему косинусов?
Чему равна сумма углов треугольника?
Какие задачи при этом можно выделить? (по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и стороне противолежащей данному углу)

1.Запишите, пользуясь теоремой косинусов, квадрат стороны с треугольника АВС, если: 1)

=60⁰; 2)

=30⁰; 3)

=45⁰. (с²=а²+в²-ав; с²=а²+в²-ав

; с²=а²+в²-ав

)

2.Пользуясь формулой а²=в²+с²-2вс, исследуйте, как изменяется сторона а при возрастании угла от 0⁰ до 180⁰ (при постоянных значениях в и с)? Ответ: при возрастании угла от 0⁰ до 90⁰ значение а возрастает, т.к. при этом убывает, оставаясь положительным. При дальнейшем возрастании угла от 90⁰ до 180⁰ значения убывают от 0 до -1. Следовательно значения а при этом продолжают возрастать.

3.Чему равен ? ()

9. Почему теорема косинусов является обобщённой теоремой Пифагора?

(когда треугольник АВС прямоугольный с прямым углом при вершине С; ).

10. Как, используя теорему косинусов определить вид треугольника? (достаточно определить знак косинуса, соответствующего наибольшему углу, если сторона а наибольшая, то достаточно определить знак величины в²+с²-а²)

4. Решение задач с практическим содержанием.

Задача 1. Чтобы найти расстояние от доступной точки А, находящейся на берегу, до корабля К, взяли вторую доступную точку С. Измерением нашли, что АС ≈19м, ∠А ≈ 80⁰, ∠С ≈ 68⁰. Чему равно АК?
К

А 80⁰ 68⁰ С

19
Ответ: АК ≈ 33,3м.

Задача 2. Из пункта А в пункт В ездили через пункт С, причем участок

АС≈ 13,6км, СВ ≈8,8км, ∠АСВ ≈ 125⁰. Затем пункты А и В соединили прямолинейной дорогой. На сколько сократится путь из А в В?

С
13,5 125⁰ 8,8

А В

Ответ: АВ ≈ 20,5км; путь стал короче на 2,5км.

Занимательная пятиминутка.

Измерительные инструменты, используемые при измерении на местности:

Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояния на местности.

Экер – прибор для построения прямых углов на местности.

Астролябия – прибор для измерения углов на местности.

Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю.

Землемерный циркуль ( полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между ножками взять 1 метр.

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.

Астролябия – прибор для измерения углов на местности.

Устройство: астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра линейки (алидады). При измерении угла на местности она наводится на предметы, лежащие на его сторонах. Наведение алидады называется визированием. Для визирования служат диоптры. Это металлические пластинки с прорезами. Диоптров два: один с прорезом в виде узкой щели, другой с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. При визировании к узкому прорезу прикладывается глаз наблюдателя, поэтому диоптр с таким прорезом называется глазным. Диоптр с волоском направляется к предмету, лежащему на стороне измеряемого; он называется предметным. В середине алидады прикреплён к ней компас.

Теодолит середины 20-го века
Теодолит

Теодолит - современный строительно-геодезический прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов и направлений

Теодолит часто используется так же в топографических, маркшейдерских и опорных съёмках на местности. Теодолит в работе часто оснащают различными дополнительными устройствами (ориентир-буссоль, визирные марки, оптическая дальномерная насадка и др.).

Теодолит состоит из поворачивающегося вокруг вертикальной оси лимба с алидадой, на подставке которого располагается горизонтальная ось теодолита.

Самостоятельная работа.

Решение в парах: № 118(1), 121(1).

8. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Оценивание ответов учащихся, оглашение оценок за урок.

Что больше всего тебе запомнилось на уроке?
Что удивило?
Что понравились больше всего?
Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

Повторить п. 1-4. Решить №

Как вы считаете, актуальны ли в наше время слова Андрея Николаевича Колмогорова: «Знания по геометрии или умение пользоваться формулами необходимы почти каждому мастеру или рабочему»? (ответы)

Сегодня мы с вами убедились, что умение решать треугольники, необходимо каждому человеку в повседневной жизни. Помните, что, решая маленькие задачи вы готовитесь к решению больших и трудных.

– Спасибо за урок.

Урок по теме "Формулы площади треугольника"

Цели урока:

Вывести формулы для нахождения площади треугольника; рассмотреть задачи с её применением.
Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать; развивать внимание, память, активность и самостоятельность.
Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения конечного результата, умение работать в коллективе; воспитывать в учащихся личностную рефлексию: стал ли он сам для себя изменяющимся субъектом деятельности.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Дорогие ребята!

Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

Зная формулы для вычисления площади треугольника, можно посчитать площадь любого многоугольника, предварительно разбив его на треугольники. Эта тема является одной из важнейших тем геометрии.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Что называют решением треугольников?

Какие теоремы применяются при решении треугольников?
Сформулируйте теорему синусов? Следствие из теоремы синусов? Теорему косинусов?
Чему равна сумма углов треугольника?
Какие задачи при этом можно выделить? (по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и стороне противолежащей данному углу)

6. По какой формуле можно вычислить площадь прямоугольного , произвольного треугольника?

4. Изучение нового материала.

1 формула: Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к ней высоту.

2 формула: Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

S = 1/2 bc sin A.

3 формула Г е р о н а, позволяющая вычислять площадь треугольника по его сторонам.

Формула площади треугольника по трём сторонам была открыта Архимедом в III в до н.э. Однако соответствующая работа до наших дней не дошла. Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (Iв н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим Героновым треугольником является египетский треугольник.

4 и 5 формулы: Площади треугольника через радиус вписанной окружности и описанной окружности.

5.Закрепление нового материала.

Решить № 1391). 134, 138(1), 144(1).

5. Физкультминутка (выполнение упражнений для рук).

Руки подняли и покачали –

Это деревья в лесу.

Руки нагнили, кисти встряхнули –

Ветер сбивает росу.

В сторону руки, плавно помашем –

Это к нам птицы летят.

Как они сели, тоже покажем –

Руки мы сложим – вот так.

6. Самостоятельная работа учащихся.

Решить № 132(2), 144(2).

7. Итог урока. Рефлексия. Д/з.

Что больше всего тебе запомнилось на уроке?
Что удивило?
Что понравились больше всего?
Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

Выучить п.15, решить № 133, 139(1), 145.

Ребята, продолжите предложения, написанные на доске.

На уроке сегодня я узнал…
Мне было интересно, когда…
Я так и не понял…
Знания, полученные на уроке, мне пригодятся…

Творческое задание: сообщение «Из жизни Герона Александрийского».
Урок обобщения и систематизации знаний по теме: «Решение треугольников»

Цель:

Образовательная: повторение ранее изученного материала: теоремы синусов, теоремы косинусов, формул площади треугольников и умение использовать их при решении задач, применять соотношения между сторонами и углами треугольника в решении задач стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.

Развивающая: развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать; развивать внимание, память, активность и самостоятельность.

Воспитательная: воспитывать ответственное отношение к учебному труду.

Ход урок:

1. Организационный момент

Добрый день!

Сели ровно, оглянулись.

Друг другу улыбнулись

И в работу окунулись.

2. Мотивация урока.

Часто знает и дошкольник,

Что такое треугольник.

А уж вам-то как не знать.

Но совсем другое дело –

Очень быстро и умею

Треугольники «решать».

Треугольник – простейшая фигура: три стороны, три вершины, три угла. Математики называют его двумерным “симплексом” - по латыни означает простейший. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений.

Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника, достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.

Еще 4000 лет назад в одном египетском папирусе говорилось о площади треугольника.

И сегодня наша задача - подвести итоги изучения темы «Решение треугольников»

3. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос. Проверка д/з.

Найди ошибку. (Фронтальная работа)

«Некий ученик написал сочинение по теме «Треугольники». Вот некоторые фрагменты его сочинения.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных попарно отрезками.
Среди треугольников особенно выделяется равнобедренный треугольник. Если в нем провести любую биссектрису, она будет являться медианой и высотой.
Площадь любого треугольника можно вычислить по формулам: (*) и (**)
Если в треугольник вписана окружность, то его площадь можно найти по формуле , где радиус этой окружности вычисляется по теореме косинусов: .
А если около треугольника описать окружность, то для нахождения площади треугольника справедлива формула .
Прямая, параллельная стороне треугольника, является его средней линией.
Существуют равные и подобные треугольники. Для доказательства равенства и подобия используют признаки. Например, треугольники равны, если углы одного соответственно равны углам другого. Кроме того, любые прямоугольные треугольники подобны.

Все ли верно в сочинении ученика?»

4. Обобщение и систематизация знаний по теме: «Решение треугольников»

Тест: (работа в группах по 4 человека)

1. Выбери верное утверждение.

а) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

б) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон

без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

в) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон,

минус произведение этих сторон на косинус угла между ними.

2. Дан треугольник MNK. Выбрать верное равенство. N

а) MN= MK+ NK;

б) NK= MN+ MK− MN · MK · cos ∠ M;

в) MK= MN+ NK− 2 · MN · NK · cos ∠ N;

г) MN = MK + NK − 2 · MK · NK · cos ∠ N.

M K

3. Соединить линией части фраз, соответствующие друг другу.

в нахождении неизвестных высот, медиан и

биссектрис по известным углам и сторонам

треугольника.
Решение в нахождении неизвестного периметра по

треугольников известным углам и сторонам треугольника.

состоит

в нахождении неизвестных сторон и углов

треугольника по известным его углам и

сторонам.

4. Соединить линиями части фраз, соответствующие друг другу ( в треугольнике KMN угол ∠ N – наибольший ).

Если cos ∠N > 0, то треугольник KMN – прямоугольный.

Если cos ∠N= 0, то треугольник KMN – тупоугольный.

Если cos ∠N< 0, то треугольник KMN – остроугольный.
5. В треугольнике MNK известны длины сторон оооороропр

MN и NK . Величину какого угла необходимо знать, чтобы найти длину стороны MK?

а) ∠ M, б)∠N, в) ∠ K.

6. Соединить линией части утверждения, соответствующие друг другу.

пропорциональны синусам противолежащих

углов.

Стороны обратно пропорциональны синусам противо-

треугольника лежащих углов.
пропорциональны синусам прилежащих углов.

7. Заполнить пропуски в равенствах.

Дан треугольник DEK. K

а) = ;

б) = ;

в) DK · sink = … · sin E. E D

8. Закончить фразу.

В треугольнике напротив большего угла лежит …

9. В треугольнике АВС сторона АВ – наименьшая. Какой угол в этом треугольнике наименьший?

а) ∠А; б) ∠В; в)∠С.

Решить №137, 142, 144(2).

5. Физкультминутка.

Одолела вас дремота,

(Зеваем.)

Шевельнуться неохота?

Ну-ка, делайте со мною

Упражнение такое:

Вверх, вниз потянись,

(Руки вверх, потянулись.)

Окончательно проснись.

Руки вытянуть пошире.

(Руки в стороны.)

Раз, два, три, четыре.

Наклониться — три, четыре

(Наклоны туловища.)

И на месте поскакать.

(Прыжки на месте.)

На носок, потом на пятку.

Все мы делаем зарядку.

6. Самостоятельная работа учащихся. (индивидуальная работа)

1. Определить вид треугольника со сторонами 5, 6 и 7 см.

а) остроугольный; б) равнобедренный;

в) тупоугольный; г) прямоугольный. (1 балл).

2. В параллелограмме острый угол = 60 , а стороны 6 см и 8 см. Найти меньшую диагональ.

а) 2см; б) 2см;

в) 2см; г) 7 см. (3 балла).

3. Найти углы треугольника, если a=12, b=8, c=10. (3 баллов).

6. В треугольнике АВС угол ∠В= 105, В 8 С

угол ∠А= 45, ВС= 8 см. Найти АВ. 105

а) 4см; б) 4см; 45

в) 8см; г) 4см. А (2 балла)

9. Найти сторону треугольника, если противолежащий ей угол равен 60

, а радиус описанной окружности равен 9 см.

а) 9 см; б) 9 см; в) 12 см; г) 18 см. (3 балла).

7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Повторить п.1-5, решить с.49 тестовые задания– на 8 баллов, с.49 тестовые задания, №151, 147– 12 баллов.

Принцип «Микрофон». (Ученики по очереди дают аргументированный ответ на один из вопросов).

На уроке я работал активно / пассивно
Своей работой на уроке я доволен / не доволен
Урок для меня показался коротким / длинным
За урок я не устал / устал
Мое настроение стало лучше / стало хуже
Материал урока мне был полезен / бесполезен

интересен / скучен

Домашнее задание мне кажется легким / трудным

интересно / не интересно
- Ребята, чем мы сегодня занимались на уроке?

- Какие знания по теме «Треугольники» вы сегодня применяли при решении задач?

Простая это фигура треугольник: три вершины, три стороны, три угла. А задумаешься…, нет, вовсе не простая, ведь сколько мы узнали о ней. Но заметьте, один треугольник таит в себе столько загадочного, а если соединить друг с другом несколько треугольников?! Чувствуете красоту полета мыслей, объем для работы мозга? Желаю вам успехов в учении, дорогие мои ученики!
Тема: Контрольная работа по теме «Решение треугольников».

Цели:

1. Проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Решение треугольников».

2. Развивать внимание, логическое мышление, письменную математическую речь;

3. Воспитывать самостоятельность, трудолюбие.

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Мотивация урока.

3. Контрольная работа

4. Итоги урока. Д/з.

Повторить п. 1-5, подготовить опорный конспект по изученной теме.