Главная страница 1
скачать файл

30. Движение в центральном поле.

1) Основная задача механики – отыскание закона движения материальной точки системы по известному закону сил - по силовому полю – равнозначна отысканию всех интегралов движения, которые по теореме Нетер определяются свойствами симметрии системы. Самая симметричная – центрально или сферически симметричная система, т.е. одна материальная точка, движущаяся в центрально-симметричном силовом поле.



Центральное (центрально-симметричное) силовое поле – поле, в котором сила, действующая на материальную точку с радиус-вектором относительно некоторой точки как начала отсчета, направлена вдоль радиус-вектора к центру или от него.

.

Эта сила создает момент сил относительно центра



равный нулю, так что одним из первых интегралов движения



является момент импульса материальной точки относительно точечного центрального источника сил.



Стационарное центральное поле – в котором сила, действующая на материальную точку, не зависит явно от времени

и изменяется только вследствие перемещения ее в пространстве.



Потенциальное центральное поле - в котором сила, действующая на материальную точку, потенциальная

.

В таком поле материальная точка вместе с точечным центральным источником составляет консервативную стационарную систему двух тел со скалярным первым интегралом – полной энергией



.

Решение основной задачи требует отыскания всех ИД, в том числе – вторых скалярных, получаемых скалярным умножением первых векторных на радиус-вектор



,

,

.

Второй скалярный интеграл движения материальной точки в центральном поле есть скалярное произведение , так что ее траектория лежит в плоскости, нормальной постоянному моменту импульса . За материальная точка в стационарном потенциальном центральном поле (СПЦП) перемещается в плоскости, нормальной на



вдоль отрезка дуги траектории , который с точностью до б.м.в.п. совпадает с дугой окружности кривизны, а своим радиус-вектором покрывает площадь



равную половине площади параллелограмма, построенного на и как сторонах



.

Секторная скорость материальной точки – элемент поверхности, покрываемой радиус-вектором ее за бесконечно малое время , отнесенный к единице времени

.
Закон площадей (Кеплера): секторная скорость движения материальной точки в СПЦП постоянна и коллинеарна ее сохраняющемуся моменту импульса .

2) Закон движения материальной точки в СПЦП определяется системой интегралов движения, в том числе полной механической энергией



и в силу центральной симметрии силового поля вычисляется в сферической при или цилиндрической системах координат с началом в центре поля , в которой полярная ось направлена вдоль сохраняющегося момента импульса



,

,

,

,

,

, ,

,

,

,

.

Эффективная потенциальная энергия – сумма потенциальной и центробежной.

Полная энергия материальной точки в СПЦП не зависит от угловых постоянных , так что из интеграла энергии

определяется, поскольку , радиальная, лучевая скорость:



и из интеграла момента импульса – угловая скорость



,

,

получается неявное уравнение траектории в квадратурах


.

Рис. . Траектория.

Из них следуют свойства закона движения.

Траектория симметрична относительно апсиды – прямой .



Перицентр – точка пересечения траектории с апсидой.

Движение вдоль радиальной координаты ограничено точками поворота, определяемыми уравнением



,

совпадающими с точками остановки , далее которых разность , закон движения становится мнимым, т.е. кинетическая энергия – отрицательной, что невозможно. В точках поворота знаменатель подынтегрального выражения становится равен нулю, т.е. они достигаются за бесконечное время! Вблизи них ЗД отыскивается из ИД: в дифференциальной форме:



,

,

.

Полученное дифференцирование приводит это равенство к виду



и дает дифференциальное уравнение траектории (формула Бине)



.

Если точки поворота существуют, в них , но



,

т.е. существует и , то траектория лежит в кольце и * - движение периодическое (колебательное) по лучевой координате, а, следовательно, и по угловой. Если их периоды соизмеримы, .




31. Движение в кулоновском поле.

Основная задача механики – отыскание закона движения материальной точки, движущейся в стационар-

ном потенциальном центральном поле (СПЦП) имеет однозначное решение, если известен закон силы или все интегралы движения, т.е. зависимость потенциальной энергии от радиус-вектора .

Кулоновское (ньютоновское) поле – стационарное потенциальное силовое поле, в котором потенциальная энергия материальной точки обратно пропорциональна расстоянию от нее до силового центра, а сила является силой притяжения или отталкивания (ньютоновская – только притяжение)

В этом поле эффективная потенциальная энергия материальной точки (частицы)



:

а) при малых расстояниях до центра , преимущественно центробежная, становится положительной и растет с убыванием этого расстояния , центробежное отбрасывание МТ от центра усиливается.

В поле отталкивания полная энергия (!) положительна

,

а в поле притяжения может стать отрицательной ();

б) при больших расстояниях от центра эффективная потенциальная энергия преимущественно центростремительная, если сила – притяжения , отрицательна и растет по величине, приближаясь к нулю;

в) согласно теореме Ролля при некотором среднем значении расстояние до центра существует минимум эффективной энергии, так что материальная точка движется вдоль радиальной координаты в потенциальной яме.



,

то квадратурное выражение закона движения



действительное - физически существует. Иначе – мнимое, не существующее.

I) Если при этом , т.е. , то существует два действительных конечных корня уравнения

,

Рис. . Эффективная энергия.


в которых кинетическая энергия и скорость МТ равны нулю – точки остановки, в которых радиальная, лучевая скорость меняет знак. Иначе время станет мнимым.

Точки остановки, являющиеся точками поворота лучевого движения, в которых кинетическая энергия движения обращается в ноль.

Разрешенные области движения – в которых ЗД действителен. Запрещенные – мнимый.

Лучевое движение МТ в СПЦП колебания между точками поворота около точки минимума потенциальной энергии . Уравнения точек поворота в этом поле дают их лучевые координаты



,

.

Перигей , апогей .

Траектория МТ лежит в кольце между окружностями с этими радиусами и определяется уравнением траектории

.

Период лучевых колебаний совпадает с периодом движения по замкнутой траектории, так как



,

так как при ,



.

2. Тогда возникает естественная замена в уравнении траектории



,


.

Косинус – четная функция аргумента и модуль - тоже, а знак (-) перед корнем соответствует отрицательным значениям и может быть опущен. Иначе !

Уравнение траектории преобразуется в полярных координатах, связанных с фокусом, к виду

- каноническому виду уравнения конического сечения, в котором произвольная постоянная выбирается из условия: при минимальном должен быть максимален, и ,



,

следовательно .

Тогда: фокусное расстояние .

Фокальный параметр половины хорды от фокуса от фокуса 1, фокусному расстоянию, до пересечения с траекторией:

.

Эксцентриситет – отношение фокусного расстояния к большой оси

.

I) При , и , - согласно уравнению точек поворота () эксцентриситет



траектория является эллипсом с фокусом в центре силового поля ( - из фокуса!) с большой полуосью



и малой полуосью



.

В силу постоянства секторной скорости



период обращения



,

подчиняется третьему закону Кеплера.

II) При графическое определение

-

гипербола

асимптоты траектории, движение инфинитное.

,

.

При , - траектория обходит фокус – гипербола, пересекает большую полуось в перигее . Движение инфинитное .

III) В СПЦП отталкивания

- уравнение траектории, так как

только при и эксцентриситет

имеет асимптоты, направленные к апсиде, ,



,

под острыми углами.

При

,

так как вся траектория имеет положительные относительно фокуса координаты и из не доходит до фокуса – тоже гипербола.



Вторая частица движется по подобной траектории.

рИС. .
скачать файл



Смотрите также:
30. Движение в центральном поле
77.58kb.
I. физические основы механики и молекулярной физики
171.16kb.
Теоретические вопросы
90.8kb.
Отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение. Равномерное движение. Сложение скоростей
130.18kb.
Порт-единственная незамерзающая российская морская гавань на Балтике
434.99kb.
Текстовая часть доклада
166.63kb.
Разогрев коллоидных растворов кремниевых наночастиц в электромагнитном поле высокой ч а стоты
36.48kb.
Частица массы находится в одномерном потенциальном поле, вид которой показан на рисунке 1, где. Найти: а уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области
32.3kb.
Вузы – 5: ргту (г. Рыбинск), мэи (г. Москва), сгау (г. Самара), книту-каи (г. Казань), кпи (г. Киев). А также ООО «Газпром» вниигаз, интер рао еэс, одк, ОАО «эск «Союз», ООО «КинтехЛаб», ООО
22.07kb.
Тест «Движение. Осевая и центральная симметрия» 1
25.84kb.
Тест по теме: «Механическое движение»
10.1kb.
43. Теория общества: Сб./Пер с нем., англ.; под ред. А. Ф. Филиппова. М.: "Канон пресс Ц", "Кучково поле", 1999. 416 с
11.44kb.