КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ Г. УЛАН-УДЭ

МИНЕСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ

ШКОЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

ГИМНАЗИЯ №33
Номинация: математика

Применение возможностей оригами для решения геометрических задач на построение.

Выполнила: Шевлякова Алёна Алексеевна, ученица 9 «А» класса, гимназии № 33

Научный руководитель: Балдано Алёна Викторовна

учитель математики I квалификационной категории.

Улан-Удэ

2010 г.

Содержание.
Введение………………………………………………………...3

§ 1. Правила складывания……………………………………...4

§ 2. Построение сгибанием…………………………………… 6

§ 3. Симметрия в оригами………………………………………7

§ 4. Применение оригами для построений ………………….. 8

§ 5. Задачи на построение………………………………………8

Заключение……………………………………………………. 11

Введение.

Актуальность:

Оригами- это японское искусство складывать модели из бумаги. С помощью оригами можно сделать необыкновенные вещи, например: фигурки животных, цветов, различные игрушки и предметы. Но это искусство гораздо глубже, чем может показаться на первый взгляд, ведь при помощи оригами из листа обычной бумаги можно не только творить самые невероятные вещи, но и делать различные геометрические построения без циркуля и линейки. Это помогает решить такие задачи, которые нельзя решить с помощью циркуля и линейки. На сегодняшний день эта тема малоизученна, что делает её более интересной. Я выбрала эту тему потому, что сама увлекаюсь оригами и хочу подробнее изучить эту тему.

Цель:

Узнать, возможно, ли применение возможностей оригами для решения геометрических задач на построение.

. Задачи:

1)Изучить правила складывания.

2)Применить построение сгибанием.

3)Рассмотреть симметрию в оригами.

4)Применить оригами для построений

5)Рассмотреть задачи на построение.

Методы исследования:

1. 
   Изучение литературы.
   
2. 
   Построение оригами.
   
3. 
   Анализ проведённой работы.
   

Предмет: оригами

Объект: построения

§ 1. Правила складывания.

Представьте себе, что вы сидите на уроке и вам скучно-скучно и очень хочется заняться геометрическими построениями: начертить, например, треугольник, найти в нём центры, вписанной и описанной окружностей и ортоцентр, провести прямую Эйлера и всё такое. Но вот беда: циркуль и линейка оставлены дома.

Вот в такой ситуации, наверное, оказались 15 лет назад два оригамиста, итальянец Бенедетто Скимеми и японец Хамяки Худзита. Вдруг их осеняет: «А ведь складка листа бумаги - это прямая». Например, если взять на листке отрезок и согнуть лист так, чтобы концы отрезка соединились, а потом разгладить лист аккуратненько на парте, то перегиб образует срединный перпендикуляр к исходному отрезку (рис.1,а). Обычное построение срединного перпендикуляра (рис.1,б) длиннее. Для него требуется и циркуль и линейка, а

тут инструментов не надо.

Чтобы продолжить, им пришлось придумать набор правил для нового типа построений. Например, при обычных построениях с помощью циркуля и линейки разрешается делать такие операции:

1. 
   Провести прямую через две данные точки.
   
2. 
   П
   А
   остроить окружность с данным центром и радиусом.
   
3. 
   Найти точку пересечения двух данных прямых, точку пересечения прямой с окружностью или двух окружностей.
   

Что-то подобное нужно было и Бенедетто с Хамяки. Для этого они математически описали приёмы, которыми давно пользовались оригамисты. Вот эти правила.

Мы будем говорить, что прямая задана, если на листе имеется соответствующая складка. На рисунках далее складки показаны пунктиром.

1. 
   Пусть заданы две точки А и В, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут на складке (рис. 2).
   
2. 
   П
   Рис. 2
   усть заданы две точки, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую (рис. 3).
   

3. 
   Пусть заданы две прямые l и m, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую (рис. 4).
   
4. 
   Пусть заданы прямая l и точка А, тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт в себя (рис.5)
   
5. 
   Пусть заданы прямая p и две точки А и В, тогда лист можно сложить так, что точка А попадёт на складку, а В на прямую p (рис. 6).
   
6. 
   Пусть заданы две прямые p и q и две точки А и В, тогда лист можно сложить так, что точка А попадёт на прямую p, а точка В попадёт на прямую q (рис. 7).
   

А

7. 
   Пусть заданы две прямые p и q и точка А, тогда лист можно сложить так, что точка А попадёт на прямую p, а прямая q перейдёт в себя (рис. 8).
   

Последнее- седьмое- правило добавил позже другой японский оригамист Косиро Хатори, заметив, что Бенедетто с Хамяки забыли его включить. Эту последнюю складку, как и некоторые другие из этого набора, можно получить как результат последовательного применения остальных, т. е. для математика она ничего не добавляет, но оригамисты не мнут бумагу зря.
§ 2. Построение сгибанием.

Теперь можно наслаждаться и заниматься любыми построениями. Например, такими:

если задан произвольный треугольник, то его биссектрисы, а стало быть, и центр его вписанной окружности можно найти, применив правило 3 ко всем парам его сторон.

Срединные перпендикуляры и центр описанной окружности можно найти, применив правило 2 ко всем парам его вершин. После этого можно найти медианы и центр тяжести, применив правило 1 к каждой вершине в паре с уже найденной выше серединой противоположной стороны.

Высоты и ортоцентр легче всего найти, применив правило 4 к каждой вершине в паре с противоположной стороной.

Далее можно убедиться, что ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности действительно лежат на одной прямой, применив правило 1 к любой паре из этих точек. Эта прямая называется прямой Эйлера треугольника.

Конечно, сгибая листок, невозможно построить окружность, но, оказывается, верно следующее: любую точку, которую удаётся построить с помощью циркуля и линейки, можно построить сгибаниями. Чтобы доказать это, достаточно предъявить построение двух типов точек:

1. 
   Точки пересечения окружности с прямой, если про окружность известно только местоположение центра и одна точка на ней.
   
2. 
   Точки пересечения двух окружностей, если про каждую окружность известно только местоположение центра и одна точка на ней.
   

Первое можно сделать, применив правило 5, взяв за А центр окружности, за В- точку на окружности, а за p-данную прямую. Второе сделать сложнее, короткой последовательности сгибаний найти не удалось. Но такую последовательность можно получить, показав, что с помощью сгибаний можно построить инверсию точки относительно окружности, если про окружность известно только местоположение центра и положение одной точки на ней. Потом, применив инверсию, которая переводит одну из двух данных окружностей в прямую, свести задачу к предыдущей.

Таким образом, все построения точек циркулем и линейкой можно осуществить с помощью сгибаний. Оказывается при этом, что сгибаниями можно построить точки, которые невозможно построить с помощью циркуля и линейки.

Рис. 9

§ 3. Симметрия в оригами.

Симметрия- это свойство формы или расположение фигур. Термин «симметрия происходит от греческого слова «симметриа», означающего «соразмерность».

Две точки А и А' называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА'. Точка О считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Точка О называется центром симметрия фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Две точки А и А' называются симметричными относительно прямой l, если эта прямая проходит через середину отрезка А'А и перпендикулярна к нему.

Каждая точка l считается симметричной самой себе.

Фигура Ф называется симметричной относительно прямой l, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой l также принадлежит этой фигуре.

Прямая l называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Две точки А и А' называются симметричными относительно плоскости П, если эта плоскость проходит через середину отрезка А'А и перпендикулярна к нему.

Каждая точка плоскости П считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно плоскости П, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно плоскости П также принадлежит этой фигуре.

Плоскость П называется плоскостью симметрии фигуры.

Центральную симметрию плоскости относительно точки О можно осуществить поворотом плоскости вокруг точки О на 180⁰.

Почти везде в оригами наблюдается симметрия, она является важнейшей в искусстве оригами, ведь когда мы складываем основные складки оригами, мы тем самым проводим линию симметрии.

§ 4. Применения оригами для построений.

Я провела некоторые исследования, в результате чего у меня получилась такая таблица. Таблица 1.(приложение)

По этой таблице видно, что с помощью оригами можно построить множество геометрических фигур, даже не пользуясь линейкой.

§ 5. Задачи на построение.

Трисекция угла.

Задача 1. Разделите данный угол на три равные части.

Вот решение, предложенное Хисаси Абэ.

Пусть угол задан двумя складками p и q, обозначим через А вершину угла (рис. 9). Сначала проведём подготовительное построение. Нам нужно: 1) восставить перпендикуляр l к q через А (правило 4); 2) отметить на l произвольную точку В и восставить срединный перпендикуляр q' к отрезку АВ (правило 2).

Теперь всё готово для главной складки. Сложим лист так, чтобы А попала на q', а В на р (правило 6). При этом образ А' вершины А ляжет на первую трисектрису нашего угла, а точка С на пересечении q' с новой складкой будет лежать на второй. Таким образом, лучи АА' и АС будут делить угол на три равные части.

Докажем это. ПО свойствам выполненных складок, ВС = АС = СА' = СВ' , а также А'В = АА' = АВ'. Поэтому равны треугольники АВ'С и АСА', но тогда равны и углы, отмеченные дужками на рисунке.


Удвоение куба.

Мы не будем вдаваться в легендарные подробности этой задачи. Напомним лишь, что речь идёт о построении ребра куба, объём которого вдвое больше объёма данного куба с ребром а, т.е. отрезка а³√2.

Задача 2. Постройте два отрезка с отношением длин ³√2.

Вот решение, которое предложил Петер Мессер.

Сначала построим квадрат АВСD, разделённый на 3 равные части складками р и q, параллельными стороне АВ. Теперь сложим лист так, чтобы точка В попала в точку В' на стороне АD, а точка Х в точку Х' на отрезке ЕF. Возможность осуществить такую складку предусмотрена правилом 6. Тогда

Действительно, пусть ВВА=α, а ВХ=1. Тогда (поскольку) АВ'В= – α) ЕВ'Х' = 2α. Так как qp, а Х'ХВ'В, то ХХ'F = α. Поэтому ЕХ' = , FХ' = ctg α. Отсюда получаем, что

ctg α = EF = 3.

Положим t = ctg α. Тогда = , и мы получаем уравнение относительно t:

+ t = 3,

откуда - 3+ 3t – 3 = 0, = 2, t + 1. Далее, АВ' =3tg α, DB' = 3 - 3tg α, и

_B'
= = ctg – 1 =.

На этом список «невозможных построений» не кончается. При помощи складываний можно также построить некоторые другие объекты, которые не поддаются построению циркулем и линейкой. Например, правильный семиугольник.

В чём же причина? Какое из описанных правил добавляет новые возможности? Чтобы это понять, достаточно построить складку в каждом из правил 1 – 7 с помощью циркуля и линейки. Решив упражнение 1, вы увидите, что довольно легко построить все прямые складок в правилах 1 – 5 и 7. Стало быть, дополнительные возможности скрыты в правиле номер 6. Не удивительно, что основной шаг в построениях трисекции угла и удвоении куба был сделан с применением именно этого правила.

Причина, оказывается, в следующем: чтобы найти прямую сгиба в правиле 6, требуется решить уравнение третьей степени, тогда как в каждом из построений с помощью циркуля и линейки решаются уравнения только 1 и 2 степеней. Любителям геометрии мы рекомендуем убедиться в этом.

Заключение.

Тема оригами актуальна во все времена (им увлекались как в древности, так увлекаются и до сих пор), она интересна и увлекательна. Кроме эстетического влияния и философского, которое вносят в оригами японцы, оказывается, что оригами может помочь при выполнении геометрических построений. В оригами так же присутствует симметрия. На мой взгляд, применение на практике геометрических построений в оригами очень удобно, и это обязательно нужно применять на практике и даже учить школьников.

В дальнейшем есть перспектива разработать проект, с помощью которого можно будет применять оригами на уроках в школе.

Список литературы.

1. Научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант»/Ю.А.Осипьян, С.С.Кротов, «Бюро Квантум», 2008 г.

2. Большая иллюстрированная энциклопедия оригами, Л.Кондрашова, И.Сауков, М.Печковская, ООО «Издательство «Эксмо», 2006 г.

3. Школьная энциклопедия по математике, С.М.Никольский, издательский дом «Дрофа», 1997 г.

Приложение.

(Рисунки)

Фигура	Рисунок	Фигуры, которые получились
Попугай		Центр квадрата, диагонали, параллельные прямые, треугольники, четырёхугольники, симметричные части квадрата.
Лягушка		Центр квадрата, четыре равных квадрата, диагонали, треугольники, симметричные части квадрата.
Шапка самурая		Центр квадрата, диагонали, четыре равных квадрата, ромб, треугольники, параллельные прямые, симметричные части квадрата.
Монахиня		Центр квадрата, диагонали, симметричные части квадрата, треугольники, четырёхугольники.
Браслет		Диагональ, параллельные прямые, симметричные части квадрата.
Тюльпан		Центр квадрата, диагональ, четыре равных квадрата, симметричные части квадрата.