Пластичностью называется свойство материала претерпевать остаточную деформацию без нарушений сплошности под действием нагрузки.

Теория пластичности устанавливает общие законы образования в твердых телах пластических деформаций и действующих на всех стадиях пластического деформирования напряжений, вызываемых внешними воздействиями. Теория пластичности рассматривает тела, которые не подчиняются свойствам упругости. После удаления с таких тел внешнего воздействия они не восстанавливают первоначальную форму, т.е. получают остаточные деформации.

Тело, не подчиняющееся законам упругости с самого начала нагружения, называется пластическим телом. Диаграмма растяжения такого тела приведена на рис. 32.

Рис. 32

Если же тело в начале нагружения обладает упругими свойствами (участок на рис 33) и только с некоторой стадии в нем появляются остаточные деформации, оно называется упруго-пластическим телом.

Рис. 33

В теории пластичности рассматриваются две различные задачи:

• 
  изучение процесса деформирования тел на всех стадиях нагружения;
  
• 
  определение только лишь несущей способности.
  

Первая задача относится к математической теории пластичности. В ней рассматривается определение напряжений, деформаций и перемещений от заданной нагрузки в любой момент нагружения, определение границы между упругой и пластической зонами, определение остаточных напряжений и деформаций при частичном и полном снятии нагрузки.

Вторая задача относится к прикладной теории упругости. В ней исследуется лишь предельное состояние тела без изучения промежуточных стадий деформирования.

Законы пластического деформирования зависят от того, растет или уменьшается нагрузка. В связи с этим различают два вида деформации: активную и пассивную.

Эти виды деформирования легко разграничить при простом растяжении-сжатии, чистом сдвиге и чистом изгибе. Активной в этих случаях будет деформация, при которой напряжение растет по абсолютной величине, а пассивной – при которой напряжение убывает по абсолютной величине.

При сложном напряженном состоянии активной называется деформация, при которой в данный момент интенсивность напряжений (15) имеет значение, превышающее по абсолютной величине все предыдущие ее значения. Пассивной в этом случае называется такая деформация, при которой интенсивность напряжений по абсолютной величине меньше хотя бы одного из предыдущих ее значений.

При активном деформировании пластическая деформация растет, при пассивном – остается постоянной. Активную деформацию называют процессом нагружения, а пассивную – иногда разгрузкой.

На законы пластического деформирования существенно влияет характер нагружения тела. Различают простое и сложное нагружения.

Простым называют такой процесс нагружения, при котором внешние силы возрастают пропорционально одному параметру. Такое изменение нагрузок обеспечивает постоянство направлений главных напряжений и деформаций в каждой точке тела.

Сложным является такое нагружение, при котором возрастанию хотя бы одной из сил не соответствует пропорциональное возрастание остальных сил.

2. 
   Статические, геометрические и физические уравнения
   

Так же, как и в теории упругости, напряженное состояние в каждой точке тела, находящегося под действием объемной и поверхностной нагрузки, определяется шестью составляющими напряжений , , , , , . Эти напряжения связаны тремя дифференциальными уравнениями равновесия Навье (1), а на поверхности тела должны удовлетворяться условия (3).

Напряженное состояние в точке тела также может быть охарактеризовано тремя инвариантами , , (11) или (13). Кроме того, применяются также такие инвариантные величины как интенсивность касательных напряжений (14) и интенсивность напряжений (15).

Деформированное состояние в точке тела определяется шестью составляющими деформаций , , , , , , которые связаны формулами Коши (19) с тремя составляющими перемещений , , . В свою очередь, деформации должны удовлетворять шести уравнениям сплошности Сен-Венана (21), (22).

Аналогично главным напряжениям вводится понятие главных деформаций, т.е. таких, в плоскости которых отсутствуют сдвиги. Кубическое уравнение, получаемое для определения главных деформаций , , имеет коэффициенты

(141)

Эти коэффициенты представляют собой инварианты деформированного состояния. Из сравнения первой формулы (141) с выражением (29) объемной деформации, делаем вывод о том, что объемная деформация также является инвариантной величиной.

Кроме того, в теории пластичности применяется инвариантная величина

, (142)

называемая интенсивностью деформаций. Интенсивность деформаций – величина, пропорциональная углу сдвига на октаэдрической (равнонаклоненной к координатным плоскостям) площадке. Числовой коэффициент в (142) выбран так, чтобы при простом растяжении (сжатии) и интенсивность деформаций была равна линейной деформации в направлении растяжения (сжатия).

Физические уравнения, представленные в теории упругости формулами закона Гука в прямой (24) и обратной (31) форме, для применения в теории пластичности необходимо преобразовать.

Вычтем из обеих частей первой формулы (31) среднее напряжение в точке (28):

. (143)

Входящие сюда постоянные и (30) запишем так:

; .

С учетом этих постоянных и соотношения , подставим (29), (26) и (23) в (143) и получим:

.

Выполнив аналогичные преобразования со второй и третьей формулами (31) приходим к такой форме закона Гука:

(144)

Составляющие деформаций , , , , , соответствуют изменению формы тела, т.к. изменение объема при этом отсутствует:

Таким образом, формулы (144) устанавливают связь между напряжениями и деформациями, соответствующими только изменению формы тела.

Формулам (144) соответствуют эквивалентные им соотношения:

, (145)

которые для главных направлений имеют такой вид:

.

Если ввести понятия главных касательных напряжений и главных сдвигов:

; ; ;

; ; ,

последние соотношения примут вид:

. (146)

Выражение (142) для интенсивности деформаций преобразуем, заменяя в нем деформации напряжениями в соответствии с (145):

.

Сравнивая это выражение с выражением (15) для интенсивности напряжений, делаем вывод, что

или .

С учетом этого закон Гука (144) принимает такой вид:

(147)

Аналогично преобразуются формулы (146):

. (148)

Напомним, что соотношения (147) и (148) являются эквивалентными.

3. 
   Условия пластичности
   

Условием пластичности называется условие возможности перехода материала в рассматриваемой точке тела из упругого состояния в пластическое.

Для линейного напряженного состояния и пластические деформации появляются при

,

где − предел текучести материала – величина, устанавливаемая опытным путем.

Соответствующее условие для чистого сдвига имеет вид

,

где − предел текучести материала при сдвиге.

В случае плоского и объемного напряженного состояния условия пластичности устанавливаются на основе гипотез. Наиболее часто используются два условия пластичности, достаточно правильно определяющие переход материала из упругого состояния в пластическое.

Первое условие (условие пластичности Сен-Венана) основано на предположении, что пластические деформации возникают тогда, когда максимальные касательные напряжения достигают предела текучести при чистом сдвиге:

. (148)

Из сопротивления материалов известно, что

.

При линейном напряженном состоянии имеем и , т.е.

.

Сравнивая полученное выражение с (148), получаем

.

Тогда условие пластичности получаем в таком виде

. (149)

Это соотношение в сопротивлении материалов соответствует третьей теории прочности – теории наибольших касательных напряжений.

Второе условие (условие пластичности Губера-Мизеса-Генки) основано на предположении, что пластические деформации возникают тогда, когда интенсивность касательных напряжений достигает некоторой постоянной для данного материала величины:

. (150)

Постоянную найдем на основании испытаний при простом растяжении. Начало пластического деформирования в этом случае имеем при

; .

Подставляя эти величины в (14), получаем:

.

Сравнивая это выражение с (150), находим постоянную

.

Подставляя (14) и постоянную в (150), получим условие пластичности в таком виде:

(151)

или в соответствии с (15)

. (152)

Это условие соответствует четвертой теории прочности сопротивления материалов.

Условия пластичности Сен-Венана и Губера-Мизеса-Генки дают близкие результаты. Эксперименты несколько лучше подтверждают второе условие. Кроме того, это условие удобнее с математической точки зрения, т.к. выражается через составляющие напряжений проще, чем . В связи с этим в теории пластичности чаще используется условие Губера-Мизеса-Генки.

4. 
   Теория малых упруго-пластических деформаций
   

Существующие теории пластичности можно разделить на два вида.

К первому виду относятся теории упруго-пластических деформаций, основанные на уравнениях, связывающих напряжения и деформации. Эти теории, как правило, применяются для расчета строительных конструкций.

Ко второму виду относятся теории пластического течения, в основе которых лежат уравнения, связывающие напряжения и скорости деформаций. Теории пластического течения применяются в технологической практике.

Кроме того, существует несколько противоречивых взглядов на механизм образования пластических деформаций. Исследования А.А.Ильюшина позволили устранить эти противоречия. Он установил, что при простом нагружении и малых деформациях все известные теории пластичности являются частными случаями общей теории пластичности. Эта теория – теория малых упруго-пластических деформаций – достаточно достоверно описывает деформирование твердых тел при малых упругих и пластических деформациях.

Теория малых упруго-пластических деформаций основывается на следующих законах, вытекающих из экспериментов.

Первый закон – закон изменения объема. При упруго-пластических деформациях твердого тела, как активных, так и пассивных, объемная деформация всегда является упругой и подчиняется закону Гука:

. (153)

В теории пластичности обычно используется допущение о несжимаемости материала. В этом случае

.

т.к. при этом не равно нулю и конечно, то модуль объемного расширения должен быть равен бесконечности:

Отсюда следует значение коэффициента Пуассона:

(154)

Тогда между модулем сдвига и модулем упругости имеет место соотношение:

.

Второй закон – закон изменения формы. В соответствии с ним при активных упруго-пластических деформациях, возникающих в условиях простого загружения, главные оси напряжений и деформаций совпадают и отношения главных касательных напряжений к соответствующим сдвигам для данного элемента тела постоянны, т.е. справедливы соотношения (148).

Эти соотношения могут быть заменены эквивалентными им формулами (147). Следует иметь в виду, что шесть формул (147) не являются независимыми. Действительно, складывая первые три из них, получаем тождество . Таким образом, формулы (147) дают систему пяти уравнений с шестью неизвестными.

Третий закон: интенсивность напряжений для данного материала при активной деформации является вполне определенной функцией интенсивности деформаций :

. (155)

Как показывают эксперименты, в условиях простого нагружения диаграмма для любого напряженного состояния подобна диаграмма при растяжении. Следовательно, между и существует зависимость, подобная зависимости между и при растяжении:

.

Таким образом, зависимость для любого напряженного состояния можно установить из опытов при растяжении.

Анализ экспериментов и решение частных задач теории пластичности позволило высказать следующий постулат, носящий название теоремы А.А.Ильюшина о простом нагружении: теория малых упруго-пластических деформаций дает правильные (согласованные с опытом) результаты, по крайней мере в том случае, когда процесс нагружения тела является простым.

5. 
   Теорема о разгрузке
   

Разгрузкой всего тела называется процесс изменения внешних сил, при котором во всех областях тела, где произошла пластическая деформация, интенсивность напряжений начинает убывать одновременно. Это значит, что тело из стадии активной деформации переходит в стадию пассивной деформации.

А.А.Ильюшиным сформирована и доказана теорема о разгрузке: перемещения точки тела в некоторый момент стадии разгрузки отличаются от их значений в момент начала разгрузки на величины упругих перемещений, которые возникли бы в теле, если бы в естественном (ненагруженном) состоянии к нему были приложены внешние силы, равные разности внешних сил, действующих в указанные моменты. Это утверждение относится также к деформациям и напряжениям.

Из рассмотренной теории следует такой порядок определения напряжений, деформаций и перемещений при разгрузке:

• 
  по уравнениям теории пластичности определяют напряжения, деформации и перемещения, которые возникают при наибольшей нагрузке, действующей до начала разгрузки;
  
• 
  из уравнений теории упругости определяют напряжения, деформации и перемещения, вызываемые нагрузками, равными по величине разности между наибольшими нагрузками до начала разгрузки и нагрузками, оставшимися после разгрузки;
  
• 
  получают напряжения, деформации и перемещения в рассматриваемый момент разгрузки как разность между их значениями, соответствующими наибольшей нагрузке, и значениями, найденными по величинам нагрузок, на которые произошла разгрузка.
  

6. 
   Зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций
   

Как уже указывалось, вид зависимости (155) между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций можно установить по диаграмме растяжения материала. Рассмотрим диаграмму (рис. 34), состоящую из прямолинейного и криволинейного участков.

Напряжение в произвольной точке можно выразить разностью отрезков:

.

Т.к. на диаграмме численно равен модулю упругости , получаем

.

Рис. 34

Здесь (156)

− функция понижения напряжений за пределом текучести по сравнению с напряжениями, получаемыми в предположении, что деформирование происходит по упругому закону.

В соответствии с третьим законом теории малых упруго-пластических деформаций зависимость (155) должна иметь такой же вид как при простом растяжении, т.е.:

. (157)

Рассмотрим, какой вид имеет функция для различных видов диаграммы .

Для диаграммы, состоящей из двух прямолинейных участков (рис. 35), за пределом текучести (участок ) получаем:

или

,

где .

Рис. 35

Теперь функция понижения напряжений принимает такой вид:

,

где − относительное понижение модуля упругости при переходе в пластическую область деформирования.

Таким образом, функция для диаграммы (рис. 35) будет такой:

(158)

Для идеального упруго-пластического материала, следующего диаграмме Прандтля (рис. 36), соотношения (158) принимают вид:

(159)

Рис. 36

Для материала, диаграмма которого не имеет прямолинейных участков (рис. 37), зависимость можно принять степенной в виде

, (160)

где .

При получаем закон деформирования идеально упругого тела:

.

Ему на рис. 37 соответствует штриховая линия .

При закон деформирования соответствует идеально пластическому телу:

.

На рис. 37 он выражается штриховой линией .

Рис. 37

7. 
   Постановка задачи теории пластичности
   

Таким образом, в теории пластичности имеем 17 неизвестных, являющихся функциями координат , , :

• 
  шесть составляющих напряжений − , , , , , ;
  

• 
  шесть составляющих деформаций − , , , , , ;
  
• 
  три составляющих перемещений − , , ;
  
• 
  интенсивность напряжений ;
  
• 
  интенсивность деформаций .
  

Для их отыскания имеется 17 уравнений:

• 
  три дифференциальных уравнения равновесия (1);
  
• 
  шесть физических уравнений закона Гука (147), причем только пять из них являются независимыми. В качестве шестого уравнения берут закон изменения объема (153);
  
• 
  шесть формул Коши (19);
  
• 
  зависимость между интенсивностью напряжений и деформаций (155);
  
• 
  выражение для интенсивности деформаций (142).
  

Таким образом при активной деформации и простом загружении задача имеет математическое решение. Однако практически получить его трудно, т.к. основные соотношения выражены дифференциальными уравнениями в частных производных, притом нелинейными.

Для материала со слабовыраженным упрочнением действительную диаграмму деформирования можно заменить диаграммой идеального упруго-пластического тела (рис. 36). Тогда вместо шести физических уравнений (147) можно взять одно из условий пластичности, например (152). При такой замене нельзя однозначно определить деформации для тела, полностью находящегося в пластическом состоянии. Однозначное решение в этом случае можно получить только тогда, когда в теле наряду с пластическими имеются и упругие зоны.

При решении задачи теории пластичности могут быть использованы те же способы, что и в теории упругости: решение в напряжениях, решение в перемещениях и смешанное решение.

Математическое решение задачи может быть получено теми же методами, что и в теории упругости: прямым, обратным и полуобратным. Эффективным является приближенный метод упругих решений, предложенный А.А.Ильюшиным.

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Что такое пластичность?
   
2. 
   Что такое активное и пассивное деформирование?
   
3. 
   Как отличаются друг от друга простое и сложное нагружения?
   
4. 
   Что такое инварианты деформированного состояния?
   
5. 
   Назовите условия пластичности. Как они связаны с теориями прочности сопротивления материалов?
   
6. 
   На каких законах основывается теория малых упруго-пластических деформаций?
   
7. 
   В чем суть теоремы А.А.Ильюшина о простом нагружении?
   
8. 
   Что называется разгрузкой тела?
   
9. 
   Как определяются параметры напряженно-деформированного состояния в соответствии с теоремой о разгрузке?
   
10. 
    Как устанавливаются зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций?
    
11. 
    Какой материал является идеальным упруго-пластическим?
    
12. 
    Сколько неизвестных содержит задача теории пластичности? Перечислите их.
    
13. 
    Назовите уравнения теории пластичности.
    
14. 
    Перечислите способы и методы математического решения задачи теории пластичности.