30. Движение в центральном поле

30. Движение в центральном поле.

1) Основная задача механики – отыскание закона движения материальной точки системы по известному закону сил - по силовому полю – равнозначна отысканию всех интегралов движения, которые по теореме Нетер определяются свойствами симметрии системы. Самая симметричная – центрально или сферически симметричная система, т.е. одна материальная точка, движущаяся в центрально-симметричном силовом поле.

Центральное (центрально-симметричное) силовое поле – поле, в котором сила, действующая на материальную точку с радиус-вектором

относительно некоторой точки

как начала отсчета, направлена вдоль радиус-вектора к центру

или от него.

Эта сила создает момент сил относительно центра

равный нулю, так что одним из первых интегралов движения

является момент импульса материальной точки относительно точечного центрального источника сил.

Стационарное центральное поле – в котором сила, действующая на материальную точку, не зависит явно от времени

и изменяется только вследствие перемещения ее в пространстве.

Потенциальное центральное поле - в котором сила, действующая на материальную точку, потенциальная

В таком поле материальная точка вместе с точечным центральным источником составляет консервативную стационарную систему двух тел со скалярным первым интегралом – полной энергией

Решение основной задачи требует отыскания всех ИД, в том числе – вторых скалярных, получаемых скалярным умножением первых векторных на радиус-вектор

Второй скалярный интеграл движения материальной точки в центральном поле есть скалярное произведение , так что ее траектория лежит в плоскости, нормальной постоянному моменту импульса . За материальная точка в стационарном потенциальном центральном поле (СПЦП) перемещается в плоскости, нормальной на

вдоль отрезка дуги траектории , который с точностью до б.м.в.п. совпадает с дугой окружности кривизны, а своим радиус-вектором покрывает площадь

равную половине площади параллелограмма, построенного на и как сторонах

.

Секторная скорость материальной точки – элемент поверхности, покрываемой радиус-вектором ее за бесконечно малое время

, отнесенный к единице времени

.
Закон площадей (Кеплера): секторная скорость движения материальной точки в СПЦП постоянна и коллинеарна ее сохраняющемуся моменту импульса

2) Закон движения материальной точки в СПЦП определяется системой интегралов движения, в том числе полной механической энергией

и в силу центральной симметрии силового поля вычисляется в сферической при или цилиндрической системах координат с началом в центре поля , в которой полярная ось направлена вдоль сохраняющегося момента импульса

Эффективная потенциальная энергия – сумма потенциальной и центробежной.

Полная энергия материальной точки в СПЦП не зависит от угловых постоянных , так что из интеграла энергии

определяется, поскольку , радиальная, лучевая скорость:

и из интеграла момента импульса – угловая скорость

получается неявное уравнение траектории в квадратурах

Рис. . Траектория.

Из них следуют свойства закона движения.

Траектория симметрична относительно апсиды – прямой .

Перицентр – точка пересечения траектории с апсидой.

Движение вдоль радиальной координаты ограничено точками поворота, определяемыми уравнением

совпадающими с точками остановки , далее которых разность , закон движения становится мнимым, т.е. кинетическая энергия – отрицательной, что невозможно. В точках поворота знаменатель подынтегрального выражения становится равен нулю, т.е. они достигаются за бесконечное время! Вблизи них ЗД отыскивается из ИД: в дифференциальной форме:

Полученное дифференцирование приводит это равенство к виду

и дает дифференциальное уравнение траектории (формула Бине)

Если точки поворота существуют, в них , но

т.е. существует и , то траектория лежит в кольце и * - движение периодическое (колебательное) по лучевой координате, а, следовательно, и по угловой. Если их периоды соизмеримы, .

31. Движение в кулоновском поле.

Основная задача механики – отыскание закона движения материальной точки, движущейся в стационар-

ном потенциальном центральном поле (СПЦП) имеет однозначное решение, если известен закон силы или все интегралы движения, т.е. зависимость потенциальной энергии от радиус-вектора .

Кулоновское (ньютоновское) поле – стационарное потенциальное силовое поле, в котором потенциальная энергия материальной точки обратно пропорциональна расстоянию от нее до силового центра, а сила является силой притяжения или отталкивания (ньютоновская – только притяжение)

В этом поле эффективная потенциальная энергия материальной точки (частицы)

а) при малых расстояниях до центра , преимущественно центробежная, становится положительной и растет с убыванием этого расстояния , центробежное отбрасывание МТ от центра усиливается.

В поле отталкивания полная энергия (!) положительна

,

а в поле притяжения может стать отрицательной ();

б) при больших расстояниях от центра эффективная потенциальная энергия преимущественно центростремительная, если сила – притяжения , отрицательна и растет по величине, приближаясь к нулю;

в) согласно теореме Ролля при некотором среднем значении расстояние до центра существует минимум эффективной энергии, так что материальная точка движется вдоль радиальной координаты в потенциальной яме.

то квадратурное выражение закона движения

действительное - физически существует. Иначе – мнимое, не существующее.

I) Если при этом , т.е. , то существует два действительных конечных корня уравнения

,

Рис. . Эффективная энергия.

в которых кинетическая энергия и скорость МТ равны нулю – точки остановки, в которых радиальная, лучевая скорость меняет знак. Иначе время станет мнимым.

Точки остановки, являющиеся точками поворота лучевого движения, в которых кинетическая энергия движения обращается в ноль.

Разрешенные области движения – в которых ЗД действителен. Запрещенные – мнимый.

Лучевое движение МТ в СПЦП колебания между точками поворота около точки минимума потенциальной энергии . Уравнения точек поворота в этом поле дают их лучевые координаты

Перигей , апогей .

Траектория МТ лежит в кольце между окружностями с этими радиусами и определяется уравнением траектории

.

Период лучевых колебаний совпадает с периодом движения по замкнутой траектории, так как

так как при ,

2. Тогда возникает естественная замена в уравнении траектории

Косинус – четная функция аргумента и модуль - тоже, а знак (-) перед корнем соответствует отрицательным значениям и может быть опущен. Иначе !

Уравнение траектории преобразуется в полярных координатах, связанных с фокусом, к виду

- каноническому виду уравнения конического сечения, в котором произвольная постоянная выбирается из условия: при минимальном должен быть максимален, и ,

следовательно .

Тогда: фокусное расстояние .

Фокальный параметр половины хорды от фокуса от фокуса 1, фокусному расстоянию, до пересечения с траекторией:

.

Эксцентриситет – отношение фокусного расстояния к большой оси

.