Для поступающих в 8 класс.

Вариант состоит из трех блоков.

Блок А (Задачи 1 – 4) — направлен на проверку основных алгоритмических навыков учащихся и состоит из задач на

преобразование числовых и алгебраических выражений и решение линейных уравнений.

Блок В (Задачи 5 – 8) — направлен на проверку навыков решения текстовых задач и владения математическим языком, в частности, содержащимися в программе 7 класса понятиями арифметики и алгебры, пройденным материалом по геометрии, понятиями линейной функции и ее графического изображения.

Блок С (Задачи 9 – 12) — проверка готовности к решению задач повышенной трудности: задач, требующих изобретательности, преодоления трудностей логического характера, содержащих параметры (в явной или неявной форме), и задач комбинированного типа.


Задача 1.

Вычислить .

Задача 2.

Решить уравнение .

Задача 3.

а) Разложить на множители: .

б) Упростить выражение .
Задача 4.

Вычислить .

Задача 5.

Найти все трехзначные числа, делящиеся на 15, сумма первой и третьей цифры у которых равна 7.

Задача 6.

Изобразить на числовой прямой точки и и отметить точки, расположенные в три раза ближе к точке , чем к точке (если такие существуют).

Задача 7.

Построить на одном чертеже графики функций и , указав точки пересечения обоих графиков с осями координат и между собой, если такие точки существуют. Выяснить при каких значениях a точка с координатами лежит хотя бы на одной из этих прямых.

Задача 8.

В треугольнике угол равен . Биссектрисы углов и пересекаются в точке . Угол равен . Найти углы и треугольника , а также углы и .

Задача 9.

Найти .

Задача 10.

Пешеход идет вдоль дороги. Мимо него проезжают попутные автобусы с интервалом 12 минут. С каким интервалом в минутах автобусы проезжают мимо остановки, если скорость автобуса в шесть раз больше скорости пешехода?

Задача 11.

Пусть — точка пересечения прямых и . Напишите уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающейся с прямой в точке, лежащей на оси . Постройте эту прямую.

Задача 12.

Найти последнюю цифру числа .

Для поступающих в 9 класс.
Вариант состоит из трех блоков.

Блок А (Задачи 1 – 4) — проверка основных алгоритмических навыков учащихся: навыков преобразования числовых и алгебраических выражений, решение линейных и квадратных уравнений, решение линейных неравенств.

Блок В (Задачи 5 – 8) — проверка навыков решения текстовых задач и владения математическим языком, в частности, понятиями арифметики и алгебры, пройденным материалом по геометрии, понятиями линейной и квадратичной функции и их графического изображения.

Блок С (Задачи 9 – 12) — проверка готовности к решению задач повышенной трудности: задач, требующих изобретательности, преодоления трудностей логического характера, содержащих параметры (в явной или неявной форме), и задач комбинированного типа.

Задача 1.

Вычислить при ,

Задача 2.

Решить уравнение .

Задача 3.

а) Разложить на множители: .

б) Найти значение выражения при .
Задача 4.

Решить неравенство и изобразить все его решения на числовой прямой.

Задача 5.

На столе лежат груши и яблоки. Если добавить одну грушу, то груш будет в два раза больше, чем яблок; если количество груш удвоить, то общее количество плодов будет 38. Сколько груш и сколько яблок находится на столе?

Задача 6.

Найти все такие числа , для которых выражение имеет смысл, и число — целое.

Задача 7.

Построить на одном чертеже графики функций и , указав точки пересечения обоих графиков с осями координат и между собой, если такие точки существуют.

Задача 8.

Внутри треугольника отмечена точка так, что . Угол равен , угол равен . Найти углы треугольника .

Задача 9.

Найти значение выражения , если известно, что .

Задача 10.

Автомобилист выехал из города в город и проехал пути, когда вдогонку за ним отправился мотоциклист. Догнав автомобиль, мотоциклист тут же повернул обратно и вернулся в город в тот момент, когда автомобилист достиг города . Найти отношение скорости автомобиля к скорости мотоцикла, считая, что в течение всего времени движения скорости обоих транспортных средств не изменялись.

Задача 11.

Найти все значения параметра , при которых сумма квадратов корней уравнения равна 5.

Задача 12.

Найти все нечетные однозначные числа, которые могут служить дискриминантами квадратного трехчлена с целыми коэффициентами.

Для поступающих в 10 класс..
Вариант состоит из трех блоков.

Блок А (Задачи 1 – 4) — проверка основных алгоритмических навыков учащихся:

преобразование числовых и алгебраических выражений, решение линейных и квадратных уравнений, решение неравенств, метод интервалов.

Блок В (Задачи 5 – 8) — проверка навыков решения текстовых задач и владения математическим языком, в частности, содержащимися в программе 9 класса понятиями арифметики и алгебры, пройденным материалом по геометрии, понятием линейной, квадратичной и других простейших функций и их графического изображения, а также графическое решение уравнений и неравенств.

Блок С (Задачи 9 – 12) — проверка готовности к решению задач повышенной трудности: задач, требующих изобретательности, преодоления трудностей логического характера, содержащих параметры (в явной или неявной форме), и задач комбинированного типа.

Задача 1.

Вычислить при , .

Задача 2.

Решить уравнение .

Задача 3.

Решить уравнение .

Задача 4.

Решить систему неравенств

.
Задача 5.

Стоимость 20 тарелок и 5 чашек составляет 202 рубля. Какова стоимость тарелки, если известно, что чашка стоит на 5 % больше тарелки?

Задача 6.

Построить график функции .

Задача 7.

Построить на одном чертеже графики функций и , указав точки пересечения обоих графиков с осями координат и между собой.

Задача 8.

В треугольнике сторона , сторона , а длина высоты (где точка лежит на отрезке ) равна 10.

а) Найти площадь треугольника .

б) Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника , вершины и которого лежат на сторонах и (соответственно), вершина прямого угла лежит на стороне , а гипотенуза параллельна стороне .

Задача 9.

Найти значение выражения , если известно, что .

Задача 10.

Числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма всех членов этой прогрессии с нечетными номерами равна 255. Найти сумму всех членов этой же прогрессии с четными номерами.

Задача 11.

При каких значениях параметра уравнение имеет ровно одно решение?

Задача 12.

На сторонах , , , прямоугольника взяты точки , , , , соответственно, причем . Найти длины сторон и исходного прямоугольника, если известно, что они выражаются целыми числами и (где ), а площадь четырехугольника равна 52.