МАРТИНГАЛЫ И ЦЕПИ МАРКОВА

асс. М.А. Урусов

1 год, 3-4 курс

Спецкурс для студентов механико-математического факультета, желающих ознакомиться с основными идеями и методами, используемыми в стохастическом анализе.

1. Равномерная интегрируемость семейств случайных величин.

Два эквивалентных определения. Критерий Валле-Пуссена. Равномерная интегрируемость семейства случайных величин, возникающего в ЦПТ. Необходимые и достаточные условия для сходимости случайных величин в . Предельный переход под знаком интеграла при условии равномерной интегрируемости и слабой сходимости.

2. Условные математические ожидания относительно алгебр.

Простейшие свойства. Вынесение измеримой случайной величины из-под знака условного математического ожидания. Неравенство Иенсена. Условное математическое ожидание функции от двух случайных величин относительно алгебры, одна из которых измерима относительно этой алгебры, а другая – не зависит от нее. Предельный переход под знаком условного математического ожидания (сходимость в разных смыслах). Условные математические ожидания относительно случайных величин. Равномерная интегрируемость семейства случайных величин, полученного условными математическими ожиданиями интегрируемой случайной величины относительно произвольного семейства алгебр. Равномерная интегрируемость семейства случайных величин, возникающего в УЗБЧ Колмогорова. Регулярные условные распределения.

3. Супермартингалы, субмартингалы и мартингалы с дискретным временем.

Фильтрованные вероятностные пространства. Моменты остановки и работа с ними. Примеры мартингалов и родственных понятий. Разложение Дуба для стохастических последовательностей. Квадратично интегрируемые мартингалы, угловая и квадратная скобки. Сохранение свойства (супер) мартингальности для ограниченных моментов остановки. Тождества Вальда. Основные неравенства. Сходимость (супер) мартингалов. Равномерно интегрируемые мартингалы. Теорема Дуба об остановке для замкнутых супермартингалов. Обращенные (супер) мартингалы. Применения мартингалов: закон “0–1” Колмогорова, УЗБЧ Колмогорова, полнота системы функций Хаара, исследование поведения бернуллиевских случайных блужданий.

4. Цепи Маркова с дискретным временем.

Построение цепи Маркова с заданными характеристиками. Каноническая постановка, операторы сдвига. Применение цепей Маркова к решению задач.