Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный университет – Высшая школа экономики

Факультет математики

Программа дисциплины

«Коммутативная алгебра»

Направление:	010100.68 «Математика»
Подготовка:	магистр
Форма обучения:	очная

Автор программы: профессор Артамкин И.В.

Рекомендовано
секцией УМС по математике
Председатель
_____________________________________
«___» ________________________2009 г.
Утверждена УС		Одобрена на заседании
факультета математики		кафедры алгебры
Ученый секретарь доцент		Зав. кафедрой, д. ф.-м. н., профессор
_________________________Ю.М.Бурман		_______________________А.Н. Рудаков
«___» ________________________2008 г.		«___» ______________________2008 г.

Москва

2008

Рабочая программа дисциплины «Коммутативная алгебра» [Текст]/Сост. Артамкин И.В.; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–5 с.

Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».

Составитель; д.ф.-м.н. проф. И.В Артамкин (artamkin@mail.ru)

©	И.В Артамкин, 2008.
©	Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.

1. 
   Пояснительная записка
   

Автор программы: профессор, доктор физ-мат. наук Артамкин Игорь Вадимович
Аннотация
Данная дисциплина входит в магистерскую программу «Математика». Изучение дисциплины предполагает наличие высшего профессионального образования по специальности «Математика». Дисциплина преподается в течение первого года магистратуры, в первом и втором модуле. Курс служит основой для более абстрактных специальных курсов по различным направлениям алгебры.
Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе
1.1 Цель изучения дисциплины. Коммутативная алгебра представляет собой раздел математики, в котором свойства коммутативных колец рассматриваются с «геометрической» точки зрения, согласно которой кольца рассматриваются как кольца функций на пространстве даже в ситуации, когда они таковыми не являются. Цель курса состоит в том, чтобы ознакомить слушателей с соответствующей идеологией и снабдить их инструментарием, позволяющим самостоятельно работать с «геометрическими» методами теории коммутативных колец.
с проблемами, стоящими в этой области, и подготовить их к самостоятельным исследованиям
1.2 Задачи курса: ознакомить студентов с геометрическим смыслом простых идеалов коммутативного кольца и обучить их технике, позволяющей обосновывать соответствующую геометрическую интуицию и эффективно работать с коммутативными кольцами.

3. 
   Перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: алгебра, топология по программе бакалавриата.
   

Тематический план

№	Название темы	Всего часов по дисциплине	В том числе аудиторных			Самостоятельная работа
			Всего	Лекции	Сем. и практ. занятия
1	Простые идеалы и спектр коммутативного кольца. Кольца частных; локализация. Структурный пучок над спектром кольца. Понятие аффинной схемы.	12	5	3	2	7
2	Модули над коммутативными кольцами. Модули гомоморфизмов и тензорные произведения. Поведение модулей при локализации. Пучок модулей над спектром кольца. Структура проективных и плоских модулей	12	4	2	2	8
3	Неприводимые компоненты и минимальные простые идеалы. Ассоциированные простые идеалы. Примарное разложение.	12	4	2	2	8
4	Целая зависимость; теоремы Нётер о нормализации и Гильберта о нулях.	12	4	2	2	8
5	Условия конечности. Нетеровы кольца. Артиновы кольца и модули. Дискретные нормирования, дедекиндовы кольца.	12	4	2	2	8
6	Аффинные алгебраические многообразия. Теорема Гильберта о базисе.	12	4	2	2	8
7	Градуированные кольца и модули. Проективный спектр. Проективные алгебраические многообразия.	12	4	2	2	8
8	Пополнение колец и модулей.	12	4	2	2	8
9	Теория размерности. Регулярные последовательности и их связь с комплексом Кошуля. Регулярные и нормальные кольца. Факториальность. Глубина локального кольца; кольца Коэна-Маколея. Горенштейновы кольца.	12	4	2	2	8
	Итого:	108	37	19	18	71

Формы текущего контроля:	Текущие домашние задания + 1 контрольная работа (1 модуль)
Форма итогового контроля:	Экзамен (2 модуль)
Темы контрольных работ:	простые идеалы и спектр кольца; целые расширения колец
Итоговая оценка:	0,2*(средняя оценка за текущие домашние задания)+ 0,3*(оценка за контрольную работу)+ 0,5*(оценка за экзаменационную работу)

Образец контрольной работы.

1. Нарисовать отображение спектров, соответствующее вложению кольца целых чисел в кольцо целых гауссовых (эйзенштейновых) чисел.

2. Доказать, что спектр кольца несвязен тогда и только тогда, когда кольцо разлагается в прямое произведение колец.

3.Вычислить тензорное произведение колец вычетов по модулю m и n над кольцом целых чисел.

4. Докажите, что носитель суммы модулей является объединением их носителей.

5. Пусть f --- гомоморфизм кольца A в кольцо B, f* --- соответствующее отображение их спектров. Докажите, что если всякий простой идеал кольца B является расширением идеала

из A, то f* сюръективно. Верно ли обратное утверждение?
Образцы экзаменационных задач.

1.Докажите, что фактор-модуль данного модуля по его подмодулю кручения не имеет кручения.

2. Известно, что локализация кольца по любому его простому идеалу не имеет делителей нуля. Верно ли, что кольцо не имеет делителей нуля? Если да, то докажите это, если нет, то приведите пример.

3. Докажите, что плоскость модуля есть локальное свойство.

4. Привести пример максимального идеала m и некоторого m-примарного идеала, который не являлся бы степенью идеала m.

5. Привести пример нерегулярного факториального кольца.

6. Является ли локальное кольцо вершины квадратичного конуса регулярным, целозамкнутым, нормальным, факториальным, кольцом Коэна-Маколея, горенштейновым кольцом?

7.Тот же вопрос для вершины полукубической параболы и для двойной особой тоски декартова листа.

Основная литература
1. Н.Бурбаки Коммутативная алгебра.

2. М.Атья, И.Макдональд Введение в коммутативную алгебру. 2003, Факториал Пресс

3. Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. -М.: МЦНМО, 2007

Дополнительная литература
1. Майлз Рид Алгебраическая геометрия для всех Мир 1991

2. В. И. Данилов. Алгебраические многообразия и схемы. Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.23. Алгебраическая геометрия – 1. М.: ВИНИТИ. 1988

Автор программы: _____________________________ И.В Артамкин