МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

В. Д. Бочкарева

Алгебра в примерах и задачах.

Внутренние бинарные операции и алгебраические структуры

Учебно-методическое пособие

Саранск 2012

Алгебраические структуры
Под алгебраической структурой (иногда говорят об универсальных алгебрах) понимается множество , на котором определена некоторая система внутренних операций и отношений, подчиняющихся тем или иным законам – аксиомам соответствующих структур. Само множество называется носителем алгебраической структуры.

Принято как саму структуру, так и ее носитель обозначать одной и той же буквой.

Под внутренней операцией понимается при этом, по существу, функция (не обязательно всюду определенная) нескольких аргументов из со значениями в , то есть

.

Число называется арностью операции. При говорят об унарной; при – бинарной, при – тернарной операциями и так далее.

В важнейших классических алгебраических структурах, изучаемых в стандартных программах курса алгебры, рассматриваются почти всегда бинарные операции.

К алгебраическим структурам с одной внутренней бинарной операцией относятся группоиды, полугруппы и группы, квазигруппы.

Важнейшими алгебраическими структурами с двумя внутренними бинарными операциями являются кольца (коммутативные и некоммутативные), поля, тела. Другой тип алгебраических структур с двумя бинарными операциями образуют так называемые решетки.

При изучении алгебры студент обязан научиться различать основные алгебраические структуры (группа, кольцо, поле), их виды, знать основные стандартные примеры этих структур. При этом удобно пользоваться специальной таблицей аксиом:

1. На определено «сложение» (алгебраичность сложения):

◄ГРУППОИД◄

2. Ассоциативность сложения:

◄ПОЛУГРУППА◄

3. Существует «нуль» - нейтраль-ный элемент по сложению:

◄МОНОИД◄

4. Для существует противоположный элемент – симметричный по сложению:

◄ГРУППА◄

5. Коммутативность сложения:

◄АБЕЛЕВА ГРУППА◄

6. На определено «умножение» (алгебраичность умножения):

7. Ассоциативность умножения:

8. Правая дистрибутивность умножения:

9. Левая дистрибутивность умножения:

◄КОЛЬЦО◄

10. Существует «единица» - нейтральный элемент по умножению:

◄КОЛЬЦО С 1◄

11. Для существует обратный к элемент – симметричный по умножению:

◄ТЕЛО, если ◄

12. Коммутативность умножения:

◄ПОЛЕ◄

Задача 1. Установить, является ли группой множество относительно операции :

.

Решение. Для того, чтобы установить наличие на структуры группы, проверим выполнимость аксиом группы:

1) алгебраичность операции ().

, , ,

т. е. операция алгебраическая на множестве ;

2) ассоциативность операции ( для )

, ,

, .

Операция не является ассоциативной, т. к. тождество ассоциативности нарушается, например, при , ,

.

Следовательно, группой не является.

Задача 2. Определить, является ли группой множество подстановок относительно обычного умножения подстановок, где

,	,	,
,	,	.

Решение 1 способ. Составим таблицу Кэли для умножения на :

1. 
   Алгебраичность операции. Все клеточки внутри таблицы заполнены элементами из , причем однозначно. Следовательно операция – алгебраична.
   
2. 
   Существует нейтральный элемент , т. к. и при любом значении из .
   
3. 
   Операция обратима, т. к. для любого значения из в существует :
   

,	,		,		,		,		.
Действительно,		,		,		,		,

, .

4. 
   Операция ассоциативна, т. к. тождество ассоциативности
   

выполняется при всех значениях , , из . Действительно, пусть принял значение , принимает значение , принимает значение , где , независимо друг от друга пробегает множество . Тогда

, следовательно, , т. е. умножение на ассоциативно.

Следовательно, – группа.

2 способ. Из комбинаторики известно, что для множества состоящего из трех элементов имеется в точности различных подстановок и они образуют мультипликативную симметрическую группу. Множество состоит из шести различных подстановок трех элементов. Следовательно, – симметрическая группа.

Задача 3.

Является ли кольцом (полем) множество кольцом относительно обычных операций сложения и умножения вещественных чисел?

Решение.

,	, ,
,
,

Проверим выполнение аксиом кольца.

1. Алгебраичность сложения:

следовательно, т. е. .

2. Коммутативность сложения:

, т. е. , т. е. в , так как , т. е. сложение в коммутативно.

3. Ассоциативность сложения:

, т. е. в , т. е. в , так как , т. е. в ассоциативно.

4. Наличие нейтрального элемента по сложению (ноль ).

Если ноль существует, то это элемент множества , т. е. имеет вид , , и удовлетворяет условию для , т. е. . Тогда , т. е. , т. е. , т. е. , где , т. е. .

5. Симметризуемость операции сложения.

Для каждого элемента существует в элемент , удовлетворяющий условию . Действительно, если , то . Так как , то , то есть .

6. Алгебраичность умножения.

т. к. .

7. Ассоциативность умножения.

т. е. в , т. е. , так как . То есть в ассоциативно.

8. Умножение двоякодистрибутивно относительно сложения.

т. е. , т. е. , т. е. умножение двоякодистрибутивно относительно сложения в .

Следовательно, – кольцо.

9. Проверим, является ли это кольцо коммутативным.

, т. е. в , т. е. в , т. к. , т. е. умножение в коммутативно.

10. Проверим, имеет ли кольцо единицу .

Если из , то , , причем, для , т. е. . Тогда

, т. е. .

Решим линейную систему относительно неизвестных и методом Крамера:

,

,

.

, т. к. если бы , то и должно быть иррациональным числом, что противоречит условию . Значит, система имеет только одно решение, которое можно найти по формулам Крамера: , , т. е. . Следовательно, , т. к. . Так как умножение в коммутативно, то с выполнением следует выполнение .

11. Выясним, обратим ли каждый, отличный от элемент в .

Возьмем , , т. е. , где и удовлетворяют

, .

Если существует в , то , и , т. е. .

Значит , т. е.

.

Решим систему методом Крамера относительно неизвестных и .

,

,

.

Для указанных ограничений на и следует, что и тогда , . Значения и существуют в , то в не обязательно. Например, при имеем , , т. е. не обязан существовать в для .

Вывод: – коммутативное кольцо с единицей, но не поле.

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.
   
2. 
   Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.
   
3. 
   Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. – 160 с.
   
4. 
   Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.
   
5. 
   Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. – 144 с.
   
6. 
   Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.
   
7. 
   Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.
   
8. 
   Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1969. – 276 с.
   
9. 
   Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.
   
10. 
    Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
    
11. 
    Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
    
12. 
    Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во МГУ, 1965. – 40 с.
    
13. 
    Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. – 183 с.
    
14. 
    Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. – 302 с.
    
15. 
    Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. – 332 с.
    
16. 
    Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.
    
17. 
    Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. – 228 с.
    
18. 
    Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1982. – 223 с.