אולימפיאדה " אורנג'". שלב ג. כיתות ד'- ה'.
שאלון המשתתף.

טלפון	כיתה	שם פרטי	שם משפחה

עיר	מיקוד	מס' דירה	מס' בית	רחוב

Задачи

В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы, так и подробные решения задач. Ответ к задаче 3 (решения не требуется) можно представить на рисунке в условии.

1. Йоси заплатил 14 шекелей за тетрадь, две ручки и резинку, а Натан – 24 шекеля за две тетради, три ручки и три резинки. Сколько заплатил Алекс за тетрадь, ручку и две резинки?

Все тетради (ручки, резинки) одинаковые.

2. Один из пяти мальчиков разбил стекло. При разбирательстве у директора Ави сказал: “Это не я, не Бени и не Гади”. Бени: “Это не я, не Гади и не Дани”. Гади: “Это не я, не Дани и не Вадим”. Дани: “Это не я, не Вадим и не Ави”. Вадим: “Это не я, не Ави и не Бени”. Сколько мальчиков сказали неправду?

.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.

3. Из указанных на рисунке 36 точек отметьте 12 точек так, чтобы никакие три отмеченные точки не лежали на одной прямой.

סכום	3	2	1	תוצאות

אולימפיאדה " אורנג'". שלב ג. כיתות ד'- ה'.

		4	8
		5	6
+		7	8
	6	3
	6	7	8

4. На доске был записан пример на умножение двух двузначных чисел. Ученик увеличил все цифры в записи примера на одно и то же число (большее 0). Что получилось, показано на рисунке. Восстано­вите исходный пример и объясните, почему это можно сделать только одним способом.


5. Какое наибольшее число прямоугольников 15 можно выре­зать из квадрата 88 ?


6. Составьте прямоугольник из четырех показанных на рисунке фигур.

סכום	6	5	4	תוצאות של בעיות 1 –3

אולימפיאדה " אורנג'". שלב ג. כיתות ו'- ז'.
שאלון המשתתף.

טלפון	כיתה	שם פרטי	שם משפחה

עיר	מיקוד	מס' דירה	מס' בית	רחוב

Задачи

В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы, так и подробные решения задач.

1. Прямоугольник размера 35 разделен на 15 одинаковых квад­ратиков. Центральный квадрат удален. Найдите пять способов разрезания полученной фигуры на две равные части так, чтобы линии разреза шли по сторонам квадратиков. (Способы счита­ются различными, если полученные фигуры не одинаковые).

	4	8
	5	6
	7	8
6	3
6	7	8

2. На доске написан пример на умножение двузначных чисел. Ученик увличил каждую цифру на одно и то же число, после чего получилась запись, изображеная на рисунке. Восстановите исходный пример, и обьясните, почему это можно сделать только одним способом.

3. В равенстве

запись означает двузначное число с цифрами a и b;

запись означает трехзначное число с цифрами a, b и c;
Замените буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным. Сколько решений имеет задача?

סכום	3	2	1	תוצאות

אולימפיאדה " אורנג'". שלב ג. כיתות ו'- ז'.
4. За круглым столом сидят 30 человек: лжецы (которые всегда лгут( и люди, всегда говорящие правду. У каждого спросили: “Есть ли среди двух ваших соседей лжец?”, и каждый ответил: “Да”. Сколько лжецов могло быть за столом?

Укажите все возможные ответы и докажите, что других нет.

5. Какое наибольшее число прямоугольников 15 можно выре­зать из квадрата 88 ?

6. Три прямые разделили плоскость на семь частей. Впишите в эти части целые числа от 1 до 7 так, чтобы сумма чисел по одну сторону от каждой прямой равнялась сумме чисел по другую сторону от этой же прямой. (В каждую часть вписывается толь­ко одно число, каждое число нужно куда-то вписать).

סכום	6	5	4	תוצאות של בעיות 1 –3

אולימפיאדה " אורנג'". שלב ג. כיתות ח'- ט'.
שאלון המשתתף.

טלפון	כיתה	שם פרטי	שם משפחה

עיר	מיקוד	מס' דירה	מס' בית	רחוב

Задачи

В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы, так и подробные решения задач. Ответ к задаче 2 (решения не требуется) можно представить на рисунке в условии.

1. В равенстве

запись означает двузначное число с цифрами a и b;

запись означает трехзначное число с цифрами a, b и c;
Замените буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным. Сколько решений имеет задача?

.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.

2. Из указанных на рисунке 64 точек отметьте 16 точек так, чтобы никакие три отмеченные точки не лежали на одной прямой.
3. Составьте прямоугольник из четырех показанных на рисунке фигур.

סכום	3	2	1	תוצאות

אולימפיאדה " אורנג'". שלב ג. כיתות ח'- ט'.

4. За круглым столом сидят 30 человек: лжецы (которые всегда лгут и люди, всегда говорящие правду. У каждого спросили: “Есть ли среди двух ваших соседей лжец?”, и каждый ответил: “Да”. Сколько лжецов могло быть за столом?

Укажите все возможные ответы и докажите, что других нет.

5. Три прямые разделили плоскость на семь частей. Впишите в эти части целые числа от 1 до 7 так, чтобы сумма чисел по одну сторону от каждой прямой равнялась сумме чисел по другую сторону от этой же прямой. (В каждую часть вписывается толь­ко одно число, каждое число нужно куда-то вписать).

6. Какое наибольшее число прямоугольников 15 можно выре­зать из квадрата 9999 ?

7. Можно ли разделить набор из 20 гирь весом 1 г, 2 г, ..., 19 г, 20 г на несколько групп так, чтобы в каждой группе есть гиря, вес которой в три раза меньше общего веса остальных гирь этой группы?

סכום	7	6	5	4	תוצאות של בעיות 1 –3

אולימפיאדה " אורנג'". שלב ג. כיתות י'- י"ב.
שאלון המשתתף.

טלפון	כיתה	שם פרטי	שם משפחה

עיר	מיקוד	מס' דירה	מס' בית	רחוב

Задачи

В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы, так и подробные решения задач. Ответ к задаче 1 (решения не требуется) можно представить на рисунке в условии.

.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.

1. Можно ли из 25 точек на рисунке отметить
10 точек так, чтобы никакие три отмеченные точки не лежали на одной прямой?


2. Графики функций y = ax + a и y = bx + b пересекаются в одной точке М. Докажите, что график функции y = cx + d проходит через точку М тогда и только тогда, когда c = d.
3. Решите в натуральных числах систему уравнений:


4. Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС), углы при основании которого равны 75, взята точка D так, что треугольник ADC – равносторонний. Докажите, что BD = CD.

סכום	4	3	2	1	תוצאות

אולימפיאדה " אורנג'". שלב ג. כיתות י'- י"ב.

5. Докажите что ну для какого натурального n, число n²+5n+16 не делится на 169.
6. В выпуклом пятиугольнике длина одной из сторон равна 2, а четыре остальные стороны имеют длину 1. Докажите, что в такой пятиугольник нельзя вписать окружность.

7. Найдите число, состоящее из десяти различных цифр и делящееся на 11111.

סכום	7	6	5	תוצאות של בעיות 1 –4