Примеры решения заданий из ЕГЭ

1. Сколько единиц в двоичной записи числа: 195; 194,5 ?
Решение:

	195	2									194	2
	1	97	2								0	97	2
		1	48	2								1	48	2
			0	24	2								0	24	2
				0	12	2								0	12	2
					0	6	2								0	6	2
						0	3	2			0,5 х 2					0	3	2
							1	1			1,0						1	1
19510 = 110000112											194,510 = 11000010,12
	Ответ: 4 единицы.										Ответ: 4 единицы.

2. Найти значение выражения. Ответ записать в двоичной системе счисления:
Решение (один из способов):

		а)1016+108×102= 1610 +810 х 210=3210=1000002	32	2
		1016=1х161+0х160=16+0=1610	0	16	2
		108=1х81+0х80=8+0=810		0	8	2
		102=1х21+0х20=2+0=210			0	4			2
						0			2			2
									0			1
	б) А616+758= 16610 +6110 =22710=111000112						227	2
	А616=10х161+6х160=160+6=16610						1	113		2
	758=7х81+5х80=56+5=6110									....и так далее ....

3. Чему равна сумма чисел 43₈ и 56₁₆?
Решение:
1-й способ

1. Перевести оба числа в десятичную СС.

2. Найти сумму получившихся десятичных чисел.

3. Перевести полученную сумму последовательно в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную СС и сравнить с представленными ответами, выбрать правильный ответ.

2-й способ

1. Перевести оба числа в двоичную СС (по три и четыре знака (0 и 1) соответственно).

2. Найти сумму получившихся двоичных чисел.

3. Перевести полученную сумму последовательно в восьмеричную, шестнадцатеричную СС и сравнить с представленными ответами, выбрать правильный ответ.

4. Дано a=D7₁₆, b=331₈. Какое из чисел с, записанных в двоичной системе счисления, отвечает условию a<c<b ?
Решение.
1-й способ

1. Перевести числа а и b в десятичную СС.

a = D7₁₆ = 13х16¹ + 7х16⁰ = 208 + 7 = 215₁₀.

b = 331₈ = 3х8² + 3х8¹ + 1х8⁰ = 192 + 24 + 1 = 217₁₀.
2. Перевести двоичные числа в десятичную СС.

с = 11011001₂= 2⁷+ 2⁶+ 2⁴+ 2³+ 2⁰ = 217₁₀

с = 11011100₂= 2⁷+ 2⁶+ 2⁴+ 2³+ 2² = 220₁₀

с = 11010111₂= 2⁷+ 2⁶+ 2⁴+ 2²+ 2¹ + 2⁰ = 215₁₀

с = 11011000₂= 2⁷+ 2⁶+ 2⁴+ 2³ = 216₁₀
3. Определить значение с, отвечающее условию 215₁₀< c <217₁₀
2-й способ

1. Перевести оба числа в двоичную СС (по четыре и три знака (0 и 1) соответственно).

2. Определить значение с, отвечающее условию a < c < b

5. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
Решение:
1-й способ

1. СС с основаниями 2, 3, 4 можно исключить сразу (по определению).

2. Поочередно делим число 22 на оставшиеся основания СС (5, 6, 7, ... 21).

3. Выбираем то частное, где первый остаток равен 4 (это нужные нам СС).

2-й способ

1. Находим разность между числами 22 и 4 (22 – 4 = 18).

2. Выбираем все делители числа 18, большие 4 (6, 9, 18).

3. Проверяем, в порядке ли возрастания записаны найденные делители (это и есть ответ).

6. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

(Смотрите задание № 5).

7. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11.
Решение:
1-й способ

1. Поочередно делим числа 5, 6, 7, ..., 25 на 4.

2. Выбираем то частное, где последних два остатка 1 и 1 (это нужные нам десятичные числа (делимые)).

3. Проверяем, в порядке ли возрастания записаны нужные нам десятичные числа (это и есть ответ).

8. Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11, соответственно). Вычислить, что получится, если таким образом закодировать последовательность символов БАВГ и записать результат шестнадцатеричным кодом.
Решение:
1. Привести в соответствие буквы А, Б, В, Г и коды (составить таблицу).

А	Б	В	Г
00	01	10	11

2. Закодировать следующую последовательность букв БАВГ (получилось двоичное число 01001011).

3. Перевести 1001011₂ в шестнадцатеричную СС.
1-й способ
- перевести 1001011₂ в десятичную СС.

1001011₂= 2⁶+ 2³+ 2¹+ 2⁰ = 64 + 8 + 2 + 1 = 75₁₀
- перевести 75₁₀ в шестнадцатеричную СС.

	75	16
	11	4

75₁₀ = 4В₁₆
2-й способ
- добавить впереди числа 1001011₂ цифру 0 для получения двух групп по четыре цифры в каждой (01001011).
- сгруппировать число 01001011 по четыре цифры, начиная справа налево.

0100 1011

- перевести полученные двоичные числа в десятичную СС соответственно.

0100₂ = 2² = 4₁₀

1011₂ = 2³ + 2¹ + 2⁰ = 11₁₀
- записать числа 4 и 11 вместе. Известно, что в шестнадцатеричной СС все числа больше 10 заменяются буквами. Соответственно в нашем примере число 11 меняется на букву В. Получится шестнадцатеричное число 4В₁₆.