ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА МОНОТОННОСТЬ

ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Н.В. Худык

ФГБОУ ВПО «Шадринский государственный педагогический институт», г. Шадринск

Руководитель: к.п.н., доцент Чикунова О.И.

Монотонность функции – одно из свойств, которым учащиеся должны уметь оперировать не только на наглядном и рабочем уровнях, согласно концепции А.Г. Мордковича, но и на формальном уровне (знать и уметь применять строгое определение возрастающей и убывающей функций) уже к окончанию основной школы. В практике обучения зачастую складывается так, что в 10-11 классах после знакомства с аппаратом дифференциального исчисления - признаками монотонности, они остаются единственным средством исследования функции на монотонность. Тем самым огромный потенциальный ресурс элементарного исследования функций на возрастание и убывание остается не реализованным.

Мы считаем важным научить школьников применять для исследования функций на монотонность кроме определения и признаков ряд нижеперечисленных свойств.

1. 
   Если f (x) возрастает (убывает) на множестве М и с - константа, то:
   

1. 
   функция f (x) + с возрастает (убывает) на М,
   
2. 
   функция с · f (x), с>0 возрастает (убывает) на М,
   
3. 
   функция с · f (x), с<0 убывает (возрастает) на М.
   

2. 
   Если f (x) и g(x) возрастают (убывают) на множестве М, то:
   

1. 
   y= f (x)+ g(x) также возрастает (убывает) на М;
   
2. 
   y= f (x)g(x) также возрастает (убывает) на М , где f (x) и g(x) неотрицательны.
   

3. 
   Если f (x) возрастает (убывает) на множестве М, то – f (x) убывает (возрастает) на М.
   
4. 
   Если f (x) монотонна на множестве М и сохраняет постоянный знак, то функция имеет противоположный характер монотонности на М.
   
5. 
   Если f (x) и g(x) возрастают (убывают) на множестве М одновременно, то - возрастает на М.
   
6. 
   Если f (x) и g(x) имеют разный характер монотонности на М, то – убывает.
   

Приведем примеры исследования функций на монотонность с использованием перечисленных свойств.

1) Исследуем на монотонность и экстремумы: .

Решение

Функция является сложной .

Пусть .

, на R. Найдем промежутки монотонности функции g и воспользуемся свойствами 5 и 6.

На промежутке .

На промежутке .

по определению.

.

Ответ: ; ; .

2) Исследуем на монотонность функцию: .

Решение

№ cв-ва			№ cв-ва
5			5
3			4
			3
2

Преобразуем функцию. Введем обозначения и проанализируем монотонность функции на основе свойств на

Ответ: функция возрастает на .

Приведем примеры, иллюстрирующие применение монотонности для решения уравнений, неравенств.

3) Решить уравнение (*)

Решение

Очевидно, что не может являться решением уравнения (*), так как тогда . Для функция непрерывна и строго возрастает по свойству 2б). Значит, в области функция принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Ясно, что является решением уравнения (*), следовательно, это его единственное решение. Ответ: .

4) Решить неравенство (**)

Решение

Каждая из функций , , непрерывная и строго возрастающая на всей оси, значит по свойству 2а) исходная функция является такой же.

Легко видеть, что при функция принимает значение 3, что не удовлетворяет условию задачи - .

В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при имеем , что тоже не удовлетворяет условию.

При имеем .

Следовательно, решениями неравенства (**) являются все .

Ответ: .

Для решения уравнений можно применять следующее свойство: если монотонна на , то уравнение равносильно уравнению .

5) Решим уравнение.

Решение

Имеем уравнение вида . Исследуем функцию на монотонность.

Пусть

Раскроем модуль, построим график

Функция возрастает на всей числовой прямой, следовательно, уравнение вида равносильно уравнению вида.

Составим его: .

Полученное уравнение равносильно системе

; ; . Ответ: 7.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. 
   Бобровская, А.В., Чикунова, О.И. Практикум. Функции и графики: учеб.–метод. пособие для учащихся 9–11 классов. – Изд. 2-е./ А.В. Бобровская, О.И. Чикунова– Шадринск: Шадр. Дом Печати, 2012- 60 с.
   
2. 
   Бобровская, А.В., Чикунова, О.И. Практикум. Уравнения. Неравенства. Системы: учеб.–метод. пособие для учащихся 8–11 классов. – Изд. 2-е./ А.В. Бобровская, О.И. Чикунова.– Шадринск: Шадр. Дом Печати, 2012- 76 с.