Теория оптимального управления 

I.       Рабочая программа дисциплины
1.      Цели и задачи дисциплины  
Целью преподавания дисциплины являются ознакомление студентов с основами теории оптимального управления на базе функционально-аналитического подхода к системам и моделям экономической динамики, а также развитие практических навыков в постановке и исследовании типичных задач оптимального управления применительно к моделям экономических и социально-экономических процессов.      Задачи дисциплины – обеспечить приобретение студентами умений и навыков в постановке задач оптимального управления для реальных экономико-математических моделей, в целесообразном выборе методов исследования задач оптимального управления и использовании современных инструментальных средств, используемых при решении задач оптимального управления. Дисциплина состоит из следующих разделов:-         введение в функциональный анализ (элементы теории линейных пространств и линейных операторных уравнений);-         элементы теории экстремальных задач.

2. 
   Требования к уровню освоения содержания дисциплины 
   

В результате изучения дисциплины студент должен:-         овладеть основными понятиями и положениями теории линейных пространств, операторов и операторных уравнений и научиться применять их при исследовании задач прогнозирования, управления и краевых задач для моделей экономической динамики;-         получить представление об основах теории экстремальных задач;-         научиться применять на практике необходимые условия экстремума (в том числе необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина) и достаточные условия оптимальности в форме условий В.Ф. Кротова;-         получить практические навыки использования математической системы MAPLE  при исследовании типовых задач оптимального управления;-         иметь представление о численных методах решения задач оптимизации и их компьютерной реализации. 

 Примечание. Лабораторный практикум не предусмотрен. 

2. 
   Содержание курса
   

Тема 1. Введение. Представление о динамических моделях экономики и задачах их исследования. Модель динамики производственной сферы. Макромодель многоотраслевой экономики. Постановка основных задач: задачи прогнозирования, управления, оптимального управления, краевые задачи экономической динамики. Общая схема математического моделирования. Триада А.А. Самарского. Общая структура курса «Теория оптимального управления».

Тема 2.  Элементы функционального анализа. Банаховы пространства. Основные понятия и определения. Неравенства Гельдера и Минковского. Примеры пространства последовательностей и функциональные банаховы пространства.

Тема 3. Гильбертовы пространства. Основные понятия и определения. Ортогональность. Теорема о ближайшем элементе. Теорема об ортогональном разложении. Ортогональные системы. Ортогонализация Грама-Шмидта.  

Тема 4. Интеграл Лебега. Мера на прямой, плоскости, в конечномерной пространстве. Измеримые функции, простые функции. Определение интеграла Лебега от неотрицательной измеримой функции. Свойства интеграла Лебега. Интеграл Лебега с переменных верхним пределом. Абсолютно непрерывные функции. Банаховы пространства суммируемых функций и абсолютно непрерывных функций.

Тема 5. Элементы теории операторов и операторных уравнений

5.1. Основные определения и свойства линейных операторов. Непрерывность, ограниченность, существование обратного оператора. Примеры.

5.2. Банахово пространство линейных ограниченных операторов. Сходимость равномерная и точечная.

5.3. Первые результаты о линейном уравнении. Линейный принцип Банаха. Ряд Неймана, оценка погрешности приближенного решения. Примеры.

5.4. Теорема об обратном операторе и ее применения. Исследование разрешимости линейных уравнений (системы линейных алгебраических уравнений, системы линейных интегральных уравнений). Обобщенный принцип Банаха.

Тема 6.  Краевые задачи и задачи управления

6.1. Интегральные и дифференциальные модели экономических систем с учетом последействия (запаздывания). Линейные краевые задачи и их регуляризация. Матрица Грина. Краевые задачи с неравенствами. Конструктивное исследование линейных краевых задач.

6.2. Задачи управления для линейных моделей экономической динамики.  Обобщенная управляемость.

6.3. Задачи импульсного управления для линейных моделей экономической динамики.

Тема 7. Элементарные сведения о нелинейных операторных уравнениях

7.1. Задачи экономической динамики, сводящиеся к нелинейным операторным уравнениям. Некоторые свойства нелинейных операторов  в банаховых пространствах.

7.2. Принцип Банаха и его применение к нелинейным моделям экономической динамики. Непрерывная зависимость решений операторных уравнений от параметров, применение к исследованию разрешимости нелинейных краевых задач экономической динамики.  

7.3. Принцип Каччаполи-Банаха и его применение к нелинейных задачам экономической динамики.

7.4. Производная и дифференциал Фреше. Дифференируемость по Фреше интегральных операторов. Метод Ньютона для решения нелинейных операторных уравнений и его применение к решению нелинейных краевых задач экономической динамики.

Тема 8.  Введение в экстремальные задачи

8.1. Краткая историческая справка по экстремальным задачам. Примеры задач оптимального управления одноотраслевой экономикой. Общая постановка задач оптимизации.

8.2. Решение задачи оптимального управления одноотраслевой экономикой прямым методом. Обсуждение результатов.

Тема 9.  Задачи вариационного исчисления

9.1. Задачи классического вариационного исчисления. Постановка, определение решения, слабый экстремум, сильный экстремум. Общая идея метода вариаций.

9.2. Необходимое условие локального экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления. Лемма Дюбуа-Реймона. Уравнение Эйлера, экстремали.

9.3. Вариационная задача с общими линейными краевыми условиями. Вариационная задача с запаздывающим аргументом. Задача Больца. Условия трансверсальности.

Тема 10.  Принцип максимума Понтрягина. Формулировка, доказательство методом игольчатых вариаций. Применение принципа максимума Понтрягина к задаче оптимального управления одноотраслевой экономикой. Зависимость момента переключения от параметров задачи.

Тема 11. Достаточные условия оптимальности в задачах оптимального управления. Основная теорема и ее доказательство. Модифицированная теорема о достаточных условиях оптимальности, построение минимизирующих последовательностей. Задачи, линейные по управлению. 

 Тема 12.  Задача оптимального управления для нелинейной макроэкономической модели. Условие магистрального развития.

Тема 13.  Задачи оптимального управления для процессов с дискретным временем.

Тема 14. Метод Гамильтона-Якоби-Беллмана. Непрерывный и дискретный случаи. Применение к задаче оптимизации инвестиционного процесса.

Тема 15. Вычислительные методы теории оптимального управления и их компьютерная реализация.  

2. 
   Темы практических и семинарских занятий
   
3. 
   
   

Тема 1. Динамические модели экономики и задачи их исследования.

Тема 2.  Элементы функционального анализа. Банаховы пространства.

Тема 3. Гильбертовы пространства.

Тема 4. Интеграл Лебега.

Тема 5. Элементы теории операторов и операторных уравнений

Тема 6.  Краевые задачи и задачи управления

Тема 7. Элементарные сведения о нелинейных операторных уравнениях

Тема 8.  Введение в экстремальные задачи.

Тема 9.  Задачи вариационного исчисления

Тема 10.  Принцип максимума Понтрягина.

Тема 11. Достаточные условия оптимальности в задачах оптимального управления.

Тема 12.  Задача оптимального управления для нелинейной макроэкономической модели.

Тема 13.  Задачи оптимального управления для процессов с дискретным временем.

Тема 14. Метод Гамильтона-Якоби-Беллмана.

Тема 15. Вычислительные методы теории оптимального управления и их компьютерная реализация.

 

2. 
   Лабораторные работы
   

Лабораторный практикум не предусмотрен. 

2. 
   Тематика курсовых/контрольных работ/рефератов
   

Курсовые работы по дисциплине «Теория оптимального управления» не предусмотрены. Предусмотрена аудиторная контрольная работа по разделу “Задачи классического вариационного исчисления”. 

7.      Учебно-методическое обеспечение
7.1    Список литературы

Основной

1. 
   Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. - М.: Финансы и статистика, 2003.
   

Дополнительный

1.        Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. - М.: Экономика, 1985.

1. 
   Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. - М.: Высшая школа, 1990.
   
2. 
   Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-диф-ференциальных уравнений/ ПГУ, ПСИ,  ПССГК. - Пермь, 2003.
   
3. 
   Максимов В.П. Теория оптимального управления: Вводный курс лекций. - Пермь, 2004.
   
4. 
   Лутманов С.В. Курс лекций по методам оптимизации. - Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001.
   
5. 
   Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи.  - М.: Эдиториал УРСС, 2000.
   
6. 
   Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. - М.: Изд-во МГУ, 1989.
   
7. 
   V. Maksimov, Optimal control of dynamic economic models. An elementary introduction. – Second edition/ Perm State University. – Perm, 2006.
   
8. 
   Теория оптимального управления: Программа курса, варианты индивидуальных заданий, вопросы к итоговому экзамену / Автор-сост. В.П. Максимов. - Пермь, 2001.
   
9. 
   Треногин В.А. Функциональный анализ.  - М.: Наука,  2002.
   
10. 
    Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. - М.: Наука, 2002.
    

7.2 . Материально-техническое и информационное обеспечение дисциплины

Курс лекций:Максимов В.П. Теория оптимального управления. Вводный курс лекций/ Перм. ун-т. – Пермь, 2004.Maksimov V.P. Optimal control of dynamic economic models. An elementary introduction/ Perm State University. – Perm, 2006. Учебное пособиеМаксимов В.П. Теория оптимального управления. Программа курса, варианты индивидуальных заданий, вопросы к итоговому экзамену/ Перм. ун-т. – Пермь, 2004.  Дистанционный курсМаксимов В.П. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в задачах экономической динамики.  Пермь: Перм. регион. центр дистанц. образования, 2005.   www.cde.perm.ru/         Перечень технических средств обучения, используемых в учебном процессе, и способы их применения:-   компьютерное и мультимедийное оборудование для проведения аудиторных занятий;-   пакеты прикладных программ для проведения вычислительных экспериментов.

3. 
   Методические указания студентам
   

Перечень учебно-методических изданий, рекомендуемых студентам для подготовки к занятиям и выполнения самостоятельной работы, а также методические материалы на бумажных и/или электронных носителях, выпущенные кафедрой своими силами и предоставляемые студентам во время занятий:

1.              Максимов В.П. Теория оптимального управления //Сборник учебных программ экономического факультета ПГУ по специальности 061800 «Математические методы в экономике».\Пермский университет - Пермь, 2006.

2.              Максимов В.П. Теория оптимального управления. Вводный курс лекций/ Перм. ун-т. – Пермь, 2004.

3.              Maksimov V.P. Optimal control of dynamic economic models. An elementary introduction/ Perm State University – Perm, 2006.

4.              Максимов В.П. Теория оптимального управления. Программа курса, варианты индивидуальных заданий, вопросы к итоговому экзамену/ Перм. ун-т. – Пермь, 2004. 

Задания для самостоятельной работы студентов  и методические указания к ним содержатся в издании [4]. Результаты самостоятельной работы контролируются преподавателем и учитываются при аттестации студента (зачет, экзамен). При этом проводятся: экспресс-опросы на семинарских и практических занятиях, заслушивание сообщений-докладов, проверка письменных работ.