Бодренко Дарья Викторовна. 5 класс моу «Шишинская сош»

Дроби.

Учебно-практическая конференция «Первые шаги в науку»

Выполнила: Бодренко Дарья Викторовна. 5 класс МОУ «Шишинская СОШ».

Учитель: Самохина Светлана Викторовна.

	8 / 13	$\frac{8}{13}$	числитель
	знаменатель		знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида $\pm \frac{m}{n}$ и десятичные. Запись рационального числа в виде $\pm \frac{m}{n}$ или $\pm m/n$ . Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Виды дробей

Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби $3 \over 4$ .

История возникновения термина «Дробь» Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от латинского fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.

Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский. Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке. В 1585 году, с выходом книги Симона Стевина «Десятая», начинается широкое применение десятичных дробей.

В древней Руси дроби называли долями или ломаными числами. Термин дробь, как аналог латинского fractura, использует в «Арифметике» Магницкого, как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

½
1/2 или / ₂
выключная формула: $\frac{1}{2}$
строчная формула: $\tfrac{1}{2}$

Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби $\frac{3}{5}$ , $\frac{7}{8}$ и $\frac{1}{2}$ — правильные дроби, в то время как $\frac{8}{3}$ , $\frac{9}{5}$ , $\frac{2}{1}$ и $\frac{1}{1}$ — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, $2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}$ . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

$\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots$ .

В данном случае часть, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа, а стоящая после запятой — дробной частью. Десятичная запись дроби всегда либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Чаще всего употребляется десятичная система счисления, хотя возможно применение любых других.

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

$\frac p r = \frac{c\cdot p}{c\cdot r}$

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

$\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}$

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

$~\frac {12}{16} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4}$ — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме.

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

0,999... = 1 — две разные дроби соответствуют одному числу.

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ . Порядок действий:

Находим наименьшее общее кратное знаменателей: M =.
И знаменатель первой дроби на M / b.
Умножаем числитель, и знаменатель второй дроби на M / d.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают. Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей.

Сравнение Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с большим числителем будет больше.

$\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}$

Следовательно, $\frac{3}{4} < \frac{4}{5}$

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{6}$ + $\frac{2}{6}$ = $\frac{5}{6}$

НОК знаменателей равно 6. Приводим дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.

Получилось $\frac{3}{6}$ . Приводим дробь $\frac{1}{3}$ к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось $\frac{2}{6}$ .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

$\frac{1}{2}$ — $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ — $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$

НОК знаменателей равно 4. Приводим дробь $~\frac{1}{2}$ к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем $~\frac{2}{4}$ .

Умножение

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

$\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2$

Деление

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую на дробь, обратную второй:

$\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}$

Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель. Дробь, обратная $\frac{1}{3}$ , есть дробь $\frac{3}{1}$ , то есть число 3.

Введение

Дроби необходимы для более точного выражения характеристик предмета или процесса, который на него воздействует. Объём вес, длина, и так далее. С натуральными числами такой точности не достичь. Дроби нужны везде и всегда.

Содержание

Виды дробей. Обыкновенные дроби. 1
История возникновения термина «дробь». 2
Обозначения обыкновенных дробей. 2
Правильные и не правильные дроби. 2
Смешанные дроби. 2
Десятичные дроби. 3
Приведение к общему знаменателю. 4
Сравнение. 4
Сложение и вычитание. 5
Умножение. 5
Деление. 6

Заключение.

Я думаю, что дроби нужны всегда, они нужны для более точной характеристики предмета, или процесса происходящего с ним. Например: без знания дробей нельзя стать юристом. Изучение дробей способствует развитию логического мышления, более углубленному пониманию, конкретного смысла понимания числа.

А операции над дробями такие как сравнение, деление, умножение и т.д. – это увлекательное занятие.

Список литературы.

Большая школьная энциклопедия. Точные науки. / Сост. П. Кошель. – М.: ОЛМА – ПРЕСС; ОАО ПФ «Красный пролетарий», 2005. – 416 с.
Геллер Е.Число, фигуры, задачи. – М.: Просвещение, 2001. – 237с.

Волина В. Праздник числа (занимательная математика для детей): книга для учителей и родителей. – М.: Знание, 1993. – 336 с.
Математическая энциклопедия (в 5 томах) – М.: Советская энциклопедия, 1982.- Т. 2.
Ускова Г.А. Математические задачи на логику, смекалку и воображение. – М.: Просвещение, 1998. – 80 с.
Шмаков С.А. Числа - язык науки. – М.: Новая школа 1995. 240 с.