Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

(МГТУ им.Н.Э.Баумана)

АННОТАЦИЯ

Дифференциальные геометрия и основы тензорного исчисления
Автор: Хорькова Н.Г.

Кафедра ФН-2, «Прикладная математика»

Курс «Дифференциальная геометрия и основы тензорного исчисления» читает кафедра
ФН-2 для студентов 2-го курса факультета ФН специальности «Прикладная математика». Этот курс занимает важное место среди математических дисциплин, определяющих теоретический уровень профессиональной подготовки бакалавров и дипломированных специалистов в области прикладной математики. Дифференциальная геометрия – раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа, в первую очередь – дифференциального исчисления. Синтез методов, используемых в различных разделах математики, позволяет расширить область геометрического исследования и решать проблемы, первоначально возникшие в других областях математики, а также различные прикладные задачи. Такая демонстрация эффективности соединения методов, изучаемых в различных разделах курса «Высшая математика», очень важна для формирования естественнонаучного мировоззрения студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика».

Содержание дисциплины:

Гладкая кривая на плоскости и в пространстве. Натуральный параметр кривой. Кривизна и кручение кривой. Репер Френе. Сопровождающий трехгранник кривой. Формулы Френе, их механический и геометрический смысл. Натуральные уравнения кривой. Теорема существования и единственности кривой с данными кривизной и кручением.

Гладкая поверхность в пространстве. Способы задания поверхностей. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности, площадь поверхности. Внутренняя геометрия поверхности. Изометричные поверхности. Теорема о первых квадратичных формах изометричных поверхностей. Развертывающиеся поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности, ее геометрический смысл. Классификация точек поверхности. Соприкасающийся параболоид. Кривизна кривой на поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье. Главные направления и главные кривизны поверхности. Формула Эйлера. Линии кривизны. Асимптотические линии. Гауссова и средняя кривизна поверхности. Минимальные поверхности. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности. Геодезические линии на поверхности. Теорема о главной нормали геодезической. Уравнение геодезической. Основные уравнения теории поверхностей (обзор). Деривационные формулы. Формулы Гаусса и Петерсона-Майнарди-Кодацци. Теорема Гаусса. Теорема Бонне.

Криволинейные системы координат в области евклидова пространства. Локальный базис. Длина кривой в криволинейной системе координат. Риманова метрика (метрический тензор). Риманово пространство. Евклидовы метрики. Гладкая k-мерная поверхность. Задача о вычислении длины кривой на поверхности. Индуцированная метрика на поверхности. Индефинитные метрики. Псевдоримановы пространства. Псевдоевклидовы метрики. Пространство Минковского. Модели геометрии Лобачевского.

Примеры тензоров и тензорных полей. Координатное определение тензора и тензорного поля. Задание тензора (тензорного поля) его компонентами в некоторой системе координат. Обратный тензорный признак. Тензоры как полилинейные функции. Модуль тензоров типа (p,q). Тензорное умножение. Тензорная алгебра модуля. Базис модуля тензоров типа (p,q), координаты (компоненты) тензора.

Алгебраические операции над тензорами (сложение, умножение на скаляр, свертка, тензорное умножение, поднятие и опускание индекса в присутствии метрики, перестановка индексов одного типа, симметрирование и альтернирование). Свойства алгебраических операций. Поливекторы и внешние формы. Внешнее умножение, его свойства. Базис модуля внешних форм. Векторные поля. Производная по направлению векторного поля, ее свойства. Векторное поле как дифференцирование алгебры гладких функций. Коммутатор векторных полей, его свойства. Алгебра Ли векторных полей. Гидродинамическая интерпретация векторного поля. Фазовый поток векторного поля. Внешние дифференциальные формы. Внешнее произведение дифференциальных форм. Внешний дифференциал, его свойства. Градиент, ротор и дивергенция как внешние дифференциалы в комплексе де Рама трехмерного пространства.

Ковариантное (инвариантное) дифференцирование тензорных полей. Символы Кристоффеля, их кинематический смысл. Закон преобразования символов Кристоффеля. Абстрактное определение ковариантного дифференцирования (аффинной связности). Свойства ковариантного дифференцирования. Тензор кручения аффинной связности. Римановы связности. Теоремы существования и единственности симметричной связности, согласованной с римановой метрикой. Дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных координатах. Ковариантное дифференцирование вдоль кривой. Параллельный перенос векторов. Геодезические аффинной связности. Уравнение геодезических.