МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

“Кемеровский государственный университет” (КемГУ)

Физический факультет

Кафедра теоретической физики

УТВЕРЖДАЮ

Декан физического факультета

Титов Ф.В.

_______________________

"_____"__________20__ г.

Рабочая программа дисциплины

Дополнительные главы математики (Теория групп)

Направление подготовки

011200 «Физика».

Магистерская программа

“физика конденсированного состояния”

Квалификация (степень) выпускника

Магистр

Форма обучения

Очная

Кемерово

2011 г.

II. Рабочая программа дисциплины

1. Цели освоения дисциплины

Основными целями и задачами освоения дисциплины Дополнительные главы математики (Теория групп) по специальности являются усвоение основ теории групп и теории представлений групп, приобретение практических навыков в применении теории групп к физическим проблемам, что будет способствовать выполнению научно-исследовательской работы, подготовке магистерской диссертации.

2. Место дисциплины в структуре ООП магистратуры

Дисциплина дисциплины Дополнительные главы математики (Теория групп) по специальности представляет собой дисциплину цикла ДНМ. Дисциплина Дополнительные главы математики (Теория групп) базируется на курсах цикла дисциплин естественнонаучных и профессиональных дисциплин, входящих в модули Математика, Теоретическая физика, на материалах дисциплин модуля Информатика и на материалах дисциплин по выбору Физика конденсированного состояния вещества, Компьютерное моделирование в физике твердого тела. Студенты, обучающиеся по данному курсу должны знать основы аналитической геометрии, линейной алгебры, векторного и тензорного анализа, теории функций комплексного переменного, общей и теоретической физики, компьютерного моделирования в физике твердого тела.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Дополнительные главы математики (Теория групп)»: способность демонстрировать углубленные знания в области математики и естественных наук (ОК-3):

• 
  Знать: 1. Основные положения и базовые понятия теории групп и теории представлений групп симметрии. 2. Основные методы теории групп и способы их применения для решения задач в предметных областях. 3. Условия применимости теории групп для той или иной физической системы. 4. Особенности построения моделей физических явлений с учетом их свойств симметрии.
  

• 
  Уметь: 1. Применять методы группового анализа для решения конкретных задач. 2. Применять математический аппарат теории групп к решению задач квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики. 3. Строить модель физического явления с учетом ее симметрии;
  
• 
  Владеть: 1. Навыками работы с литературой по теории групп симметрии и смежным дисциплинам. 2. Навыками сведения некоторых физических задач к теоретико-групповым. 3. Основными методами теории групп. 4. Методикой исследования физических явлений с учетом их свойств симметрии.
  

4. Структура и содержание дисциплины «Дополнительные главы математики (Теория групп)»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы 108 емкости по ГОС, из которых 18 часов – лекции, 18 часов – практические занятия и 70 часов – самостоятельная работа, учебное время распределено в первом семестре.

4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (в часах)

4.1.1. Объём и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом

Вид учебной работы	Всего часов
Общая трудоемкость базового модуля дисциплины	108
Аудиторные занятия (всего)	36
В том числе:
Лекции	18
Семинары	18
КСР	2
Самостоятельная работа	70
В том числе:
реферат	0
Индивидуальные работы	70
Вид итогового контроля зачёт	Зачёт

4.1.2. Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоемкость по видам занятий (в часах)

№ п/п	Раздел Дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Общая трудоёмкость (часах)	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)				Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
					Учебная работа		В.т.ч. активных форм	Самостоятельная работа
				всего	лекции	Практ.
	Основы теории групп	1	1 -2	11	2	2	3	7	Вопросы и задачи к разделу 1
	Точечные группы симметрии	1	3-4	11	2	2	4	7	Вопросы и задачи к разделу 2
	Теория представлений групп	1	5-6	11	2	2	4	7	Вопросы и задачи к разделу 3
	Геометрия кристаллического пространства	1	7-8	11	2	2	2	7	Вопросы и задачи к разделу 4
	Пространственные группы симметрии	1	9-10	13	2	4	4	7	Вопросы и задачи к разделу 5. Контрольная работа.
	Группа волнового вектора	1	11-12	11	2	2	3	7	Вопросы и задачи к разделу 6
	Симметрия в квантовой механике	1	13	7	1	1	1	5	Вопросы и задачи к разделу 7
	Симметрия молекулярных колебаний, нормальных колебаний кристаллической- решетки	1	14-15	13	2	2	4	9	Вопросы и задачи к разделу 8
	Приложение теории групп в физике твердого тела	1	16-17	11	2	2	2	7	Вопросы и задачи к разделу 9
	Приложение теории групп к задачам атомной и ядерной физики	1	18	9	1	1	1	7	Вопросы и задачи к разделу 10
	Всего за семестр	1		108	18	18	28	70	зачёт

4.2 Содержание дисциплины

Содержание лекций базового обязательного модуля дисциплины

№	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела дисциплины
1	Основы теории групп	Введение. Историческая справка. Теория групп и физика. Значение теории групп для физики и химии твердого тела. Преобразования симметрии, понятие группы, матричная запись точечных преобразований симметрии, умножение операций симметрии. Элементы абстрактной теории групп, классы.
2	Точечные группы симметрии	Точечные группы симметрии, некубические группы, кубические группы, некристаллографические точечные группы симметрии, распределение элементов по классам, классификация точечных групп, символика Шенфлиса, Германа-Могена
3	Теория представлений групп	Приводимые и неприводимые представления, характеры, прямое произведение представлений групп, неприводимые представления точечных групп, матричные представления преобразований симметрии точечных групп, теоремы о свойствах неприводимых представлений, ортогональность характеров неприводимых представлений, неприводимые представления циклических групп, прямого произведения групп, нециклических групп.
5	Геометрия кристаллического пространства	Кристаллическая решетка, индексы узлов решетки, узловых рядов и узловых плоскостей, первая основная теорема решетчатой кристаллографии, обратная решетка, вторая основная теорема решетчатой кристаллографии.
6	Пространственные группы симметрии	Пространственные группы симметрии, сингонии, решетки Бравэ, элементы симметрии пространственных групп, теоремы об умножении операций пространственной симметрии кристаллических структур, орбиты пространственных групп, международные обозначения точечных групп, неприводимые представления группы трансляций
7	Группа волнового вектора	Группа волнового вектора, неприводимые представления группы волнового вектора
8	Симметрия в квантовой механике	Симметрия в квантовой системе, вырождение и классификация по симметрии собственных значений и собственных функций, правила отбора и матричные элементы, нарушение симметрии при возмущении
9	Симметрия молекулярных колебаний, нормальных колебаний кристаллической решетки.	Роль симметрии в молекулярных колебаниях, классификация нормальных мод, правила отбора для ИК- и КР-спектров. Построение симметризованного базиса кристаллических орбиталей.
10	Приложение теории групп в физике твердого тела	Принципы симметрии в кристаллофизике, взаимосвязь точечных групп и подгрупп симметрии, симметрия состояний кристалла и связь с вырождением
11	Приложение теории групп к задачам атомной и ядерной физики	Группа SUn и её подгруппы, неприводимые представления группы SUт, классификация состояний систем тождественных частиц по группе SU, принцип Паули, атомные спектры в схеме связи Рассела-Саундерса, формула расщепления масс, электромагнитные эффекты

Содержание практических занятий базового обязательного модуля дисциплины

№	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела дисциплины	Результат обучения, формируемые компетенции
1	Основы теории групп	Матричная запись точечных преобразований симметрии. Умножение операций симметрии. Определение элементов симметрии квадрат, их запись в матричной форме. Квадрат Кейли.	ОК-1 Знать:1. Уметь:1 Владеть:1.
2	Точечные группы симметрии	Точечные группы симметрии, некубические группы, кубические группы, некристаллографические точечные группы симметрии. Характеристики точечных групп. Классификация точечных групп, символика Шенфлиса, Германа-Могена. Определение группы симметрии конкретных структур.	ОК-1 Знать:1. Уметь:1. Владеть:1, 3.
3	Теория представлений групп	Приводимые и неприводимые представления. Характер. Характеры неприводимых представлений циклических групп. Разложение приводимых представлений на неприводимые. Векторное представление группы. Прямое произведение представлений групп, неприводимые представления точечных групп, матричные представления преобразований симметрии точечных групп. Ортогональность характеров неприводимых представлений. Неприводимые представления прямого произведения групп, нециклических групп.	ОК-1 Знат:1,2. Уметь:1. Владеть:1,3.
4	Геометрия кристаллического пространства	Кристаллическая решетка, индексы узлов решетки, узловых рядов и узловых плоскостей. Прямая и обратная решетка (их построение).	ОК-1 Знать:1,2,3 Уметь: 1,2 Владеть:1, 3.
5	Пространственные группы симметрии	Группа трансляций. Пространственные группы симметрии. Точечные группы, которые могут быть реализованы в пространственных группах. Сингонии, их категории. Решетки Браве, параметры ячеек Браве. Элементы симметрии пространственных групп, международные обозначения пространственных групп, неприводимые представления группы трансляций. Зона Бриллюэна.	ОК-1 Знать: 1,2,3 Уметь:1, 2, 3. Владеть:1, 2, 3, 4
6	Группа волнового вектора	Группа волнового вектора, звезда волнового вектора. Определение число векторов звезды в конкретном случае. Неприводимые представления группы волнового вектора. Составление таблиц нагрузок и нагруженных неприводимых представлений пространственных групп. Соотношение совместности.	ОК-1 Знать:1, 2, 3 Уметь:1,2 Владеть:1, 2, 3.
7	Симметрия в квантовой механике	Симметрия в квантовой системе, вырождение и классификация по симметрии собственных значений и собственных функций, правила отбора и матричные элементы, нарушение симметрии при возмущении.	ОК-1 Знать: 1,2,3,4 Уметь:1, 2, 3 Владеть:1, 2, 3, 4
8	Симметрия молекулярных колебаний, нормальных колебаний кристаллической решетки.	Роль симметрии в молекулярных колебаниях, классификация нормальных мод, правила отбора для ИК- и КР-спектров. Классификация колебаний, Определение векторов поляризации. Построение симметризованного базиса кристаллических орбиталей.	ОК-1 Знать: 1,2,3,4 Уметь:1, 2, 3 Владеть:1, 2, 3, 4
9	Приложение теории групп в физике твердого тела	Принципы симметрии в кристаллофизике, взаимосвязь точечных групп и подгрупп симметрии, симметрия состояний кристалла и связь с вырождением	ОК-1 Знать: 1,2,3,4 Уметь:1, 2, 3 Владеть:1, 2, 3, 4
10	Приложение теории групп к задачам атомной и ядерной физики	Группа SUn и её подгруппы, неприводимые представления группы SUт, классификация состояний систем тождественных частиц по группе SU, принцип Паули, атомные спектры в схеме связи Рассела-Саундерса, формула расщепления масс, электромагнитные эффекты	ОК-1 Знать: 1,2,3,4 Уметь:1, 2, 3 Владеть:1, 2, 3, 4

5. Образовательные технологии:

Лекции, семинары, практические занятия, индивидуальные работы, самостоятельные работы, разбор конкретных ситуаций, зачет.

При реализации программы дисциплины Дополнительные главы математики (Теория групп) используются различные образовательные технологии – во время аудиторных занятий (36 часов) занятия проводятся в виде лекций и практических занятий в образовательно-теоретическом модуле лаборатории прикладных исследований и разработок физического факультета КемГУ с использованием специальных и вычислительных программ. Часть занятий посвящена разбору конкретных ситуаций, а самостоятельная работа студентов подразумевает работу под руководством преподавателей (консультации и помощь при выполнении практических работ) и индивидуальную работу студента в образовательно-теоретическом модуле лаборатории прикладных исследований и разработок физического факультета КемГУ.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

6.1. Контрольные вопросы и задания для промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

В течение преподавания курса Дополнительные главы математики (Теория групп) в качестве форм текущей аттестации студентов используются такие формы, как собеседование при приеме результатов практических работ с оценкой. В процессе чтения лекций и проведения семинаров часть материала, требующего объемных вычислений или компьютерного моделирования, выносится на самостоятельную проработку. По выполнению этого материала назначаются консультации, результаты выполняются в письменной форме. По итогам обучения в 1-ом семестре проводится зачет.

Примерный вариант контрольной работы:

1. 
   Какие координаты получит точка с координатами x, y, z после действия следующей операции симметрии ?
   
2. 
   Какая операция симметрии связывает точки с координатами: x, y, z и y, x, z? Записать ее в матричном виде.
   
3. 
   Найти матрицу преобразования симметрии, эквивалентную последовательному действию двух операций симметрии и определить, какой операции симметрии она соответствует: .
   
4. 
   Вывести точечную группу симметрии, если генераторы заданы следующими операциями симметрии: последовательные повороты вокруг двух взаимно перпендикулярных осей второго порядка.
   
5. 
   Если результат последовательных применений операций симметри не зависит от их порядка, то такие преобразования называют ….
   
6. 
   Проверить, будут ли выполняться соотношения: .
   
7. 
   Какая получится точечная группа при добавлении необходимых операций симметрии к множеству элементов: .
   
8. 
   Всегда ли будет циклическая группа являться абелевой?
   
9. 
   Определить, сингонию, кристаллический класс, к которым относятся: .
   
10. 
    Записать матрицы преобразований группы: .
    
11. 
    Может ли существовать точечная группа S₃?
    
12. 
    Является ли совокупность элементов группой {E, , }?
    

Примерные вопросы и задания для индивидуальной и самостоятельной работы.

1. 
   Рассмотрим систему, обладающую симметрией O. Предположим, что на эту систему наложено возмущение, которое понижает симметрию до симметрии группы . Найдите, как уровни, принадлежащие представлениям , и группы , расщепляются в результате наложенного возмущения.
   
2. 
   Построить кристаллическую орбиталь для кристалла (группа симметрии
   

).

3. 
   Построить молекулярную орбиталь иона (группа симметрии ). В качестве базисных функций и для кислорода и для азота использовать s, 3p - функции.
   
4. 
   Найти соотношения совместности для плоской квадратной решетки с группой симметрии .
   
5. 
   Правила отбора для прямых переходов в кристаллах.
   
6. 
   Правила отбора для непрямых переходов в кристаллах
   

Найти соотношения совместности для групп волновых векторов простой кубической решетки.

7. 
   Определить возможные в дипольном приближении оптические переходы и их поляризационную зависимость в атоме с электронной структурой, представленной на рисунке, если известно, что группа симметрии гамильтониана .
   
8. 
   Найти неприводимые нагруженные представления групп , .
   

Вопросы к зачету.

1. 
   Преобразования симметрии, понятие группы, матричная запись точечных преобразований симметрии, умножение операций симметрии.
   
2. 
   Точечные группы симметрии, некубические группы, кубические группы, некристаллографические точечные группы симметрии.
   
3. 
   Распределение элементов по классам, классификация точечных групп, символика Шенфлиса, стереографические проекции, орбиты точечных групп.
   
4. 
   Приводимые и неприводимые представления, характеры, прямое произведение представлений групп, неприводимые представления точечных групп, матричные представления преобразований симметрии точечных групп.
   
5. 
   Теоремы о свойствах неприводимых представлений, ортогональность характеров неприводимых представлений, неприводимые представления циклических групп, прямого произведения групп, нециклических групп, операторы проектирования.
   
6. 
   Кристаллическая решетка, индексы узлов решетки, узловых рядов и узловых плоскостей, первая основная теорема решетчатой кристаллографии.
   
7. 
   Обратная решетка, вторая основная теорема решетчатой кристаллографии, условие параллельности узлового ряда и узловой плоскости, кристаллографические проекции, градусные сетки.
   
8. 
   Пространственные группы симметрии, сингонии, решетки Бравэ, элементы симметрии пространственных групп, теоремы об умножении операций пространственной симметрии кристаллических структур.
   
9. 
   Орбиты пространственных групп, международные обозначения точечных групп, неприводимые представления группы трансляций.
   
10. 
    Группа волнового вектора, неприводимые представления группы волнового вектора.
    
11. 
    Симметрия в квантовой системе, вырождение и классификация по симметрии собственных значений и собственных функций, правила отбора и матричные элементы, нарушение симметрии при возмущении.
    
12. 
    Роль симметрии в молекулярных колебаниях, классификация нормальных мод, правила отбора для ИК- и КР-спектров.
    
13. 
    Принципы симметрии в кристаллофизике, взаимосвязь точечных групп и подгрупп симметрии, симметрия состояний кристалла и связь с вырождением
    
14. 
    Группа SUn и её подгруппы, неприводимые представления группы SUт, классификация состояний систем тождественных частиц по группе SU, принцип Паули, атомные спектры в схеме связи Рассела-Саундерса, формула расщепления масс, электромагнитные эффекты.
    

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1. 
   Чупрунов Е.В., Хохлов А.Ф., Фаддеев М.А. Основы кристаллографии. – М.: Физматлит, 2004. – 500 с.
   
2. 
   Киреев П.С. Введение в теорию групп и ее применение в физике твердого тела. – М.: Высшая школа, 1979. – 207 с.
   
3. 
   Кудрявцева Н.В. Теория симметрии. – Томск: ТГУ, 1987. – 232 с.
   
4. 
   Аминов Л.К. Теория симметрии (конспекты лекций и задачи). Учебное пособие для студентов третьего курса и магистрантов физического факультета. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 192 с.
   
5. 
   Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. – М.: УРСС, 2002. – 588 с.
   
6. 
   Ковалев О.В. Неприводимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп. – М.: Наука, 1986. - 368 с.
   
7. 
   Введение в теорию симметрии: учеб.-метод. Псобие / ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»; сост. Ю.Н. Журавлев, Н.Г. Кравченко. – Кемерово: Кузбассвузиздат, 2008. – 96 с.
   

б) дополнительная литература:

1. 
   Фларри Р. Группы симметрии. Теория и химическое приложение. – М.: Мир, 1983. – 400 с.
   
2. 
   Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. – М.: Наука, 1970. – 424 с.
   
3. 
   Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике. – М.: Мир, 1983 г. – Т 1, 2.
   
4. 
   Болотин А.Б., Степанов Н.Ф. Теория групп и ее применение в квантовой механике молекул. – Вильнюс: Элком, 1999. – 246 с.
   
5. 
   Эварестов Р.А., Смирнов В.П. Методы теории групп в квантовой химии твердого тела. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. – 375 с.
   
6. 
   Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. – М.: Наука, 1978. – Т. 3, С. 408-449.
   
7. 
   Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. – М.: Мир, 1978. – Т. 1, 2.
   
8. 
   Штрайтвольф Г. Теория групп в физике твердого тела. – М.: Мир, 1972.
   

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

1. 
   Diamond - Crystal and Molecular Structure Visualization http://www.crystalimpact.com/diamond/
   
2. 
   Mathcad Education – University Edition.
   

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Дополнительные главы математики (Теория групп)»

Для материально-технического обеспечения дисциплины Дополнительные главы математики (Теория групп) используется: образовательно-теоретический модуль лаборатории прикладных исследований и разработок физического факультета КемГУ.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки 011200 Физика – магистерская программа Физика конденсированного состояния.

Автор: Николаева Е.В. (ассистент).

Рецензент: декан физического факультета Титов Ф.В.

Рабочая программа дисциплины обсуждена на

заседании кафедры теоретической физики
Протокол № ______ от «______»_______________2011 г.
Зав. кафедрой ________________________Поплавной А.С.
Одобрено методической комиссией физического факультета
Протокол № ______ от «______»_______________2011 г.
Председатель _________________________Золотарев М.Л.