Лабораторная работа № 3

Исследование магнитного поверхностного эффекта в цилиндрах
Цель работы – экспериментальное изучение распределения напряженности магнитного поля по сечению различных проводящих цилиндров и сравнение полученных экспериментальных и теоретических данных.
1. Основные теоретические положения.

Электромагнитное поле в круглом цилиндрическом проводе.
Переменный ток в отличие от постоянного распределяется неравномерно по сечению провода – он имеет наименьшую плотность на оси провода и наибольшую на поверхности. Аналогично распределяется переменный магнитный поток в проводящем теле.

С точки зрения теории электромагнитного поля оба эти случая являются результатами проявления поверхностного эффекта, заключающегося в неравномерном распределении электромагнитного поля в проводящей среде из-за затухания электромагнитной волны.

В технике различают электрический и магнитный поверхностные эффекты.

Под электрическим поверхностным эффектом понимают такой случай затухания электромагнитного поля, когда вектор напряжённости электрического поля направлен вдоль основной оси проводящего тела. Примером может служить случай прохождения переменного тока по линейному проводу, так как в этом случае вектор плотности тока проводимости и вектор направлены вдоль оси проводника.

Соответственно возникает магнитный поверхностный эффект, при котором вектор напряжённости магнитного поля будет направлен вдоль оси проводящего тела. Магнитный поверхностный эффект наблюдается, например, в магнитопроводах трансформаторов; действие этого эффекта выражается в неравномерном распределении магнитного потока по магнитопроводу.

Следует иметь в виду, что это различие чисто условное, так как тот и другой являются результатами одного и того же явления, а именно, затухания электромагнитного поля в проводящей среде.

В технике поверхностный эффект используется при закалке металлических поверхностей, например рабочей поверхности рельса, остается мягкой вся остальная его часть, в асинхронных двигателях со сплошным ротором, в медицине и т. д.

Магнитный поверхностный эффект нашел применение в индуктивных печах, где разогреваемый металл помещается внутрь катушки с током.

Поверхностный эффект имеет и отрицательные стороны, поскольку увеличивает активное сопротивление проводов, увеличивая тем самым потери в них. В данной работе исследуется магнитный поверхностный эффект в цилиндрическом магнитопроводе, который выполнен из электропроводящего материала.

По цилиндру в направлении оси ориентирован вектор и, связанный с ним, вектор магнитной индукции (рис. 1). Это направление задаётся посредством колец Гельмгольца, которые обеспечивают с большой точностью равномерное поле в центральной части области исследования магнитного поля. Кольца Гельмгольца питаются от генератора звуковой частоты, и тогда вместе с магнитным полем образуется, связанное с ним, электрическое поле, где вектор напряжённости в цилиндрической системе координат будет направлен по угловой координате : , т.е. будет ортогонален к вектору , что определено вторым уравнением Максвелла. Это означает, что силовые линии электрического поля будут концентрическими окружностями, повторяющими форму цилиндрического электрода. В проводящей среде с вектором связан вектор плотности тока , что определяет появление концентрических линий тока, плотность которых постепенно убывает к центру цилиндра.

Взаимодействие векторов магнитного и электрического поля характеризуется вектором Пойнтинга, который направлен ортогонально в поверхности цилиндра, т.е. имеет только радиальную составляющую: . Электромагнитная волна проникает внутрь цилиндрического электрода в направлении координаты через его поверхность. Энергия этой волны по величине и направлению определяется выражением. Вектор численно определяет плотность энергии, перемещаемой в единицу времени через единицу поверхности. На рис. 2 показан вектор и векторы на поверхности цилиндра. Здесь величины этих векторов достигают наибольших значений, и их значения можно считать базисными. Электромагнитная волна, проникающая вглубь проводящего цилиндра, затухает вследствие наличия потерь на вихревые точки и перемагничивание. Вместе с тем затухают и векторы и , которые ее характеризуют.

Известно, что свойства проводящей среды в каждом элементарном объёме характеризуются резистивно-индуктивным характером, а это, кроме изменения величины, приводит также и к изменению фазы векторов и вследствие наличия в сопротивлении проводника резистивных и реактивных составляющих.

Электромагнитное поле обладает осевой симметрией, а это означает, что все её составляющие могут изменяться только в направлении радиальной координаты . Закон изменения величины напряженности магнитного поля по радиусу цилиндра определяется комплексным выражением, которое характеризует величину и фазу вектора поля: . Если за базисное значение принять величину и фазу вектора на поверхности цилиндра, то амплитудные и фазовые характеристики в других точках цилиндра можно оценить формулой (1), т.е. в виде отношения комплексных амплитуд в данной точке цилиндра и на её поверхности :

(1)

Здесь и означают соответственно величину модуля и аргумента вектора в зависимости от обобщённой переменной , которая кроме пространственной координаты зависит от угловой частоты , абсолютной магнитной проницаемости и удельной проводимости материала цилиндра . Эта переменная определяет модуль и аргумент функции Бесселя первого рода нулевого порядка.

Эти функции табулированы. На рис. 3 приведены их численные значения в зависимости от обобщённой переменной , где число - внешний радиус цилиндра.

В формуле (1) есть модуль отношения напряженности поля на расстоянии от центра цилиндра к его значению на его поверхности. Фаза вектора относительно поверхности цилиндра на расстоянии есть .

На рис. 3 приведены их численные значения.

По данным расчета можно построить векторную диаграмму – амплитуднофазовую характеристику – (рис. 4), каждый вектор которой определяет относительную величину и начальную фазу напряженности магнитного поля на данном расстоянии от оси. Таким образом, эта диаграмма характеризует распределение магнитного потока по величине и фазе вдоль радиуса провода, т. е. в зависимости от переменной .

Как видно из графиков (см. рис. 3), с увеличением монотонно возрастает, и амплитуда напряженности магнитного поля имеет наибольшее значение на поверхности провода и наименьшее на оси. Это неравномерное распределение поля будет проявляться тем больше, чем больше угловая частота , удельная проводимость , магнитная проницаемость и радиус цилиндра . Что же касается угла , то он также монотонно возрастает с увеличением , поэтому согласно выражению (1) угол - сдвиг фаз между векторами напряженности магнитного поля на поверхности цилиндра и на расстоянии от оси. Таким образом, напряженность магнитного поля по мере проникновения вглубь цилиндра не только уменьшается, но и запаздывает по отношению к фазе на поверхности цилиндра.





2. Основные физические положения.

Поверхностный эффект поясняется рис. 2. Согласно уравнению Максвелла изменение во времени магнитного поля создает вихревое электрическое поле (пунктирная окружность на рис. 2). В проводящем теле вектор согласно закону Ома вызывает ток вдоль той же пунктирной окружности. Этот ток вызывает потери на джоулево тепло . Поэтому электромагнитная волна, проникающая внутрь провода сквозь его поверхность из диэлектрика, окружающего провод, будет затухать по направлению вектора Пойнтинга . Вместе с тем затухают и амплитуды , характеризующие энергию этой волны.

Рассмотрим теперь влияние на поверхностный эффект , являющихся переменными в функции Бесселя - . Очевидно, чем быстрее меняется во времени магнитное поле , т. е. чем больше , тем больше созданное им вихревое электрическое поле , , и тем больше плотность тока (так как ), следовательно, больше потерь. Поэтому с увеличением сильнее проявляется поверхностный эффект. Аналогично, чем больше удельная проницаемость , тем при том же значении будут возникать большие токи, и большие потери, и поверхностный эффект проявится сильнее. В диэлектрике вихревое электрическое поле создается, но тока нет, нет потерь и нет поверхностного эффекта.

Влияние магнитной проницаемости на поверхностный эффект следует из того, что вихревое электрическое поле создается магнитным потоком , а не напряженностью поля (см. уравнения Максвелла). С увеличением увеличивается и, следовательно, , , и потери, поэтому поверхностный эффект проявляется сильнее.

Для сравнения поверхностного эффекта в различных проводниках вводится понятие глубины проникновения поля – , на которой поле уменьшается от поверхности в раз, т. е. на 39,9 %. При экспоненциальном затухании поля .

3. Программа работы.

3.1. Снять зависимость модуля напряженности магнитного поля от изменения расстояния по сечению цилиндра. Зависимость снимается для цилиндров различного радиуса и материала при двух различных частотах (по указанию преподавателя).

3.2. Снять зависимость начальной фазы колебания напряженности магнитного поля от изменения расстояний для цилиндров и при частотах, использованных в п. 1.

3.3. Вычислить по формуле (1) для нескольких значений и заданным параметрам цилиндров изменение модуля и начальной фазы напряженности магнитного поля в цилиндрах и при частотах использованных в п. 1 и 2.

3.4. Построить по найденным экспериментально и теоретически данным графики изменения комплекса напряженности магнитного поля в полярной системе координат, аналогично графикам рис. 4.

4. Порядок выполнения работы.

Для снятия экспериментальных данных используется установка, схема которой дана на рис. 7. Здесь 1 – кольца Гельмгольца, назначение которых создавать равномерное магнитное поле в центральной части колец. Катушки подсоединены последовательно к источнику питания – к напряжению сети , или к звуковому генератору, посредством которого можно исследовать явление поверхностного эффекта на более высоких частотах; 2 – исследуемый цилиндр, который разделён зазором на две части. Вектор магнитной индукции в материале цилиндра и в воздушном зазоре одинаковы, что определено четвёртным основным граничным условием – нормальные составляющие на границе раздела сред равны, независимо от параметров среды: . Это позволяет быть уверенным, что, измеряя поле в зазоре, мы, тем самым, исследуем поле в теле цилиндра, тем более что кроме этого выполняется условие , и можно пренебречь развалом силовых линий поля в области, близкой к поверхности цилиндра.

Распределение магнитного поля по сечению цилиндров измеряется катушкой 3, которая перемещается в зазоре между цилиндрами. Возникшая в этой катушке ЭДС пропорциональна производной от вектора магнитной индукции по времени, геометрии и чисел витков катушки. С осциллографа снимается амплитуда магнитного поля в миллиметрах, так как нас интересует только отношение магнитного поля на расстоянии от оси к его значению на поверхности .

Одновременно со снятием амплитуды поля на каждом фиксированном расстоянии можно снимать и угол сдвига фаз, как разность начальной фазы вектора в точке и начальной фазы вектора на поверхности цилиндра , т.е. разность фаз . Для этого используется двухлучевой осциллограф.

4.1. Снятие зависимости модуля напряженности магнитного поля от изменения расстояния по сечению цилиндрического проводника.
Рекомендуемое положение ручек осциллографа:

«Множитель» «10».

Скорость развертки – 0,1 с/см. Для значения ручкой плавной регулировки величины сигнала «» выбирают вертикальное отклонения луча порядка 60 мм. В дальнейшем положение ручек, определяющих величину сигнала, остается неизменным. На экране осциллографа устанавливается синусоида с амплитудой . Устанавливается расстояние для некоторых указанных в табл. 1 значений, фиксируют амплитуды синусоиды (мм) и заносят в табл.1.

4.2. Снятие зависимости начальной фазы колебания напряженности магнитного поля, от изменения расстояния по сечению цилиндрического проводника.

Рекомендуемое положение ручек осциллографа:

«Множитель» «10».

Скорость развертки – 1 мс/см. При этом на экране осциллографа будет наблюдаться синусоидальный сигнал от измерительной катушки.

Изменяя координату , следует убедиться в том, что синусоидальный сигнал перемещается по горизонтальной оси вправо или влево, что характеризует изменение фазы колебания. Ручкой «Плавно» устанавливается период колебания синусоиды порядка 80 мм. Тогда 1 мм по оси развёртки будет соответствовать: .

Совмещают нулевое значение синусоиды с центром координатной сетки для значения  мм, и эту фазу принимают за «Нуль». Затем, изменяя координату , измеряют в мм смещение синусоиды от центра координатной сетки вправо. Смещение вправо и означает запаздывание сигнала с уменьшением координаты , и ,следовательно, с увеличением отрицательной фазы. Данные заносят в табл. 1.

Здесь , мм – амплитуда синусоиды, пропорциональная напряженности магнитного поля; , - величина амплитуды синусоиды поля на поверхности цилиндра; - определяется экспериментально; [мм] – сдвиг фазы относительно фазы на поверхности цилиндра, т.е. смещение синусоиды относительно ее положения на поверхности цилиндра. Снимается экспериментально.

Измеряется фаза [град], где , , – период синусоидального сигнала в {мм].

Снимается экспериментально.

Рассчитываются по формулам (1) теоретические значения амплитуд и начальных фаз исследуемых сигналов, используя обобщённую переменную и графики функций Бесселя (рис.3).

и .

В табл.2 указаны конструктивные данные цилиндров и их удельные проводимости.

, где .
5. Содержание отчета.
1. Схемы измерения и спецификации приборов.

2. Таблицы результатов измерений и вычислений.

3. Выводы по работе.
6. Контрольные вопросы.
1. Изложите суть явления поверхностного эффекта.

2. В чем выражается поверхностный эффект?

3. В чем отличие электрического и магнитного поверхностного эффекта?

4. Что такое плоское поле, и какие упрощения в уравнениях с ним связаны?

5. Укажите, в каком направлении поступает энергия в провод.

6. Что характеризует вектор Пойнтинга?

7. По каким линиям замыкается вихревой ток при электрическом и магнитном поверхностном эффекте?

8. Как влияет на поверхностный эффект частота изменения магнитного поля?

9. Как зависит поверхностный эффект от магнитной проницаемости?

10. Как зависит поверхностный эффект от удельной проводимости ?

11. Что такое глубина проникновения поля в проводящую среду?

12. Поясните влияние на поверхностный эффект радиуса цилиндра и его отношение к глубине проникновения поля.

13. При весьма малой глубине проникновения поля имеет ли значение радиус цилиндра в неравномерном распределении потока или тока по сечению цилиндра?

14. Почему распределение поля, тока, по сечению цилиндра зависит не от радиуса, а от его отношения к глубине проникновения волны в цилиндре?

15. Как влияет поверхностный эффект на активное и реактивное сопротивление провода?

16. Поясните вытеснение потока в цилиндре, сравнивая магнитный внешний поток и поток от вихревых токов.

17. По проводнику протекает переменный ток, почему при этом уменьшается внутренняя индуктивность проводника?

18. Почему можно считать поле внутри медного цилиндра и в его узком зазоре одинаковым?

19. Может ли существовать поверхностный эффект в диэлектрической среде?

20. Напишите уравнение Максвелла для магнитного переменного поля в проводящей среде.

Литература

Основная литература

1. 
   Теоретические основы электротехники. Том 2. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля. / Под ред. П.А. Ионкина. - Изд. 2 – е. М.: “Высшая школа”. 1976.
   
2. 
   Бессонов Л.А. ТОЭ. Электромагнитное поле: Учебник. – 9-е изд. ( и др. издания). – М.: Гардарики, 2001.
   
3. 
   Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Чечурин Н.В., Чечурин В.Л. ТОЭ, 4 – е изд.( и др. изд.) СПб.: “Питер.” – 2003. – т.3.
   
4. 
   Сборник задач по теоретическим основам электротехники. Под ред. Л.А. Бессонова. М., “Высш. школа”, 1975. ( и др. изд.).
   
5. 
   Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники./ под ред. П.А. Ионкина.- М.: Энергоиздат, 1982. ( и др. изд. ).
   
6. 
   Борисов П.А., Осипов Ю.М. Потенциальные электрические поля. Учебное пособие по курсам ТОЭ (часть вторая) – Теория электромагнитного поля. Электромагнитные поля и волны.- СПб: СПб ГУИТМО, 2006.
   

Дополнительная литература

7. 
   Даревский А.И., Кухаркин Е.С. ТОЭ, Часть 2. Основы теории электромагнитного поля. М.: “Высшая школа”. 1965.
   
8. 
   Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: ”Наука”., 1966. (и другие издания).
   
9. 
   Никольский В.В. Теория электромагнитного поля. М.: “Высшая школа”.,1961. (и другие издания).