Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Конфигурации магнитного потока в пластинке сверхпроводника 2-го рода в перпендикулярном, наклонном и качающемся магнитных полях.

Амирян С. Л.

Научный руководитель к.ф.м.н. Успенская Л. С.

Июнь 2006, Черноголовка

Оглавление

1. 
   Введение…………………………………………………………………………2
   
   1. 
      Сверхпроводники в магнитном поле………………………………………...2
      
   2. 
      Критическое состояние……………………………………………………….3
      
   3. 
      Резистивное состояние и бессиловые конфигурации………………………4
      

2. Конфигурация магнитного потока в пластинке конечных

размеров………………………………………………………………………….6

3. 
   Метод численного моделирования проникновения магнитного потока…………………………………………………………………………….8
   

4. 
   Результаты численного моделирования проникновения магнитного потока в пластинку конечных размеров…………………9
   

1. 
   Перпендикулярное магнитное поле………………………………………….9
   
2. 
   Качающееся магнитное поле………………………………………………..12
   
3. 
   Наклонное магнитное поле………………………………………………….13
   

5. 
   Эксперимент…………………………………………………………………..16
   

a. Магнитооптический метод визуализации магнитного потока…………...16

2. 
   Описание экспериментальной установки………………………………….17
   
3. 
   Описание образцов………………………………………………………….18
   
4. 
   Результаты экспериментальных наблюдений……………………………..19
   

VI. Заключение…………………………………………………………………….22

I.Введение

a. Сверхпроводники в магнитном поле

Вскоре после открытия явления сверхпроводимости было обнаружено, что сверхпроводящее состояние разрушается при помещении образца в слабое магнитное поле, которое назвали нижним критическим полем . Мейсснер и Оксенфельд обнаружили, что в магнитных полях ниже критического сверхпроводники являются идеальными диамагнетиками, при этом магнитное поле выталкивается из первоначально нормального образца, когда он охлаждается ниже критической температуры . Такие сверхпроводники называются сверхпроводниками первого рода. В отличие от сверхпроводников первого рода, сверхпроводники второго рода не обнаруживают полного эффекта Мейсснера-Оксенфельда. На Рис.1 представлена зависимость индукции магнитного поля в образце от внешнего поля. Видно, что в полях меньших поведение сверхпроводников первого и второго рода сходно, область идеального диамагнетизма. В полях больших, чем сверхпроводимость разрушается, а в промежуточной области существует смешанное состояние.

Рис.1: зависимость индукции магнитного потока В от величины приложенного поля Н для сверхпроводников первого и второго рода.

Проникновение магнитного поля в сверхпроводник второго рода происходит в виде квантованных вихрей[11]. Вихрь имеет нормальную сердцевину, называемую кором вихря, в котором параметр порядка равен нулю. Радиус этого цилиндра – это расстояние, на котором заметно меняется параметр порядка, т.н. длина когерентности . При нулевой температуре  примерно равна размеру куперовской пары. Вокруг кора вихря течет незатухающий сверхпроводящий ток. Создаваемое им магнитное поле направлено вдоль кора и совпадает по направлению с внешним магнитным полем. Этот ток захватывает область радиуса порядка глубины проникновения . Параметр для сверхпроводников второго рода больше , а для ВТСП он много больше 1.

Аналитически полученные зависимости магнитного поля, тока и параметра порядка в вихре от расстояния[1]:

где и - функции Макдональда первого и второго рода, иллюстрируются на Рис.2

Рис.2: структура вихревой нити: a) конфигурация токов и магнитной индукции; b) распределение магнитного поля в вихре; c) поведение параметра порядка вблизи центра вихря.

В смешанном состоянии вихри сильно взаимодействуют друг с другом. Одноименные вихри отталкиваются, причем сила, действующая на единицу длины вихря равна , где - плотность тока созданная первым вихрем в месте нахождения второго. Вихри зарождаются вблизи поверхности, и в чистом сверхпроводнике устремляются вглубь образца. В грязном сверхпроводнике второго рода, когда существует разные виды дефектов (границы зёрен, включения другой фазы, поры, дислокации, двойники), вихри могут на них закрепиться. Закрепление, пиннинг, вихрей происходит, потому что вихрю энергетически выгодно иметь сердцевину в нормальной области, т.к. потенциал Гиббса на единицу длины уменьшится на энергию конденсации в области .
b. Критическое состояние
Если сверхпроводник второго рода находится в смешанном состоянии и направлении перпендикулярном вихрям идет транспортный ток, то на вихри действует сила Лоренца: . В совершенно чистом сверхпроводнике при любой, сколь угодно малом токе вихри двигаются под действием этой силы. В неоднородном сверхпроводнике при наличии пиннинга для отрыва вихрей требуется конечный транспортный ток. Плотность тока, при котором начинается отрыв вихрей от центров пиннинга, называется критической плотностью тока . Материалы, которые обладают высокими значениями плотности тока, носят название жёстких сверхпроводников. Величина силы пиннинга ограничена пороговым значением . Состояние, при котором эти две силы в точности уравновешивают друг друга, называется критическим. Бин предложил феноменологическую модель для описания поведения жестких сверхпроводников в критическом состоянии, предположив линейную зависимость от величины индукции поля B, что приводит к постоянной величине плотности тока (обычно ) в критическом состоянии[2,3].

С помощью этой модели можно рассмотреть процесс проникновения магнитного поля в сверхпроводящую пластинку конечной толщины d, у которой длина и ширина много больше толщины, когда внешнее поле направлено параллельно плоскости пластинки. Оказывается, что профиль магнитного поля в пластинке есть кусочно-линейная функция с наклоном , удовлетворяющая определённым начальным и граничным условиям, Рис.3а.

Рис.3: проникновение магнитного поля в бесконечный сверхпроводник: a) модель Бина; b) модель Андерсона-Кима.

Скачок поля на границе сверхпроводник-вакуум равен . Таким образом индукция линейно убывает от её значения в вакууме до нуля, если поле поля полного проникновения , или до величины определяемой из пересечения прямых, проведённых от границ пластинки. При выключении поля итоговый профиль должен совпадать с внешним полем на границе и с предыдущим распределением магнитной индукции в образце, в области ограниченной пересечением прямых, идущих от границы образца, с исходным профилем.

Ким и др. в результате серии экспериментов на сплавах и выдвинули гипотезу о независимости от B[4]. Профиль индукции, рассчитанный на основе этой модели, приведен на Рис.3b.

c. Резистивное состояние и бессиловые конфигурации
Когда сила Лоренца превосходит силу пиннинга, вихри приходят в движение. В этом случае возникает диссипация энергии, возникает электрическое сопротивление. Такое состояние называется резистивным[5].

На вихри действует сила Лоренца , которая компенсируется силой вязкого трения , где - это скорость движения вихрей. С другой стороны при движении вихрей по закону электромагнитной индукции Фарадея возникает электрическое поле . Из уравнения движения вихря выразим . При этом удельное сопротивление сверхпроводника, которое называется сопротивлением течения потока и обозначается , равно . При низких температурах эксперимент подтверждает линейную зависимость от тока.

Здесь особо следует отметить случай, когда транспортный ток параллелен вихрям. Сила Лоренца, действующая со стороны тока, при этом обращается в ноль, и вихри образуют, т.н. бессиловые конфигурации. Важным для практики моментом здесь является экспериментально установленный факт значительного усиления критического тока в образцах. Этот эффект описывается уже в самых ранних работах по исследованию такого рода структур[6]. Бессиловые конфигурации возникают также в скрещенных полях. При этом в образец при комнатной температуре помещается в поле параллельное плоскости, а после охлаждения ниже включается перпендикулярная составляющая магнитного поля.

1. 
   Конфигурация магнитного потока в пластинке конечных размеров
   

Аналитически рассчитать, как проникает магнитное поле в сверхпроводник, удается только для случая бесконечной плоскости. Уже для пластинки с конечным поперечным сечением и бесконечной вдоль одного направления требуется прибегать к численным методам. Описываемый ниже метод расчета конфигураций магнитного потока в пластинке конечных размеров был предложен Брандтом[7,8]. Автор применял его для расчета конфигураций в перпендикулярном внешнем поле, часть результатов этих расчетов приведена в данной работе. Целью же данного исследования является понимание особенностей проникновения и захвата магнитного потока в сверхпроводник в скрещенных (наклонных и качающихся) магнитных полях в попытке объяснить наблюдаемые экспериментально картины распределения магнитного потока на поверхности образца. Для этих целей метод расчета Брандта был усовершенствован с учетом продольной компоненты внешнего магнитного поля. Рассматривается сверхпроводящая пластинка с прямоугольным сечением в плоскости xy и бесконечная вдоль направления z. В данной геометрии значительно упрощается расчет магнитного поля, т.к. плотность тока J, напряженность электрического поля E, и вектор-потенциал A имеют только одну компоненту вдоль направления z. Как следствие, силовые линии магнитного поля совпадают с изолиниями вектор – потенциала[7,8]. Более того, производная по времени от A дает напряженность электрического поля.

В приводимом ниже расчете нижнее критическое поле пластинки принимается равным нулю, т.е. . Для вольт - амперной характеристики E(J) принимается степенной закон, целесообразность которого подтверждается многочисленными экспериментами:
(1)
где , - критическая плотность тока. Значение n=1 соответствует закону Ома. Для жестких сверхпроводников, для которых справедлива модель Бина, . Ниже везде полагается . Приложенное в плоскости xy внешнее магнитное поле индуцирует на поверхности и в объёме пластинки ток, текущий вдоль z. Этот ток в свою очередь также создает магнитное поле H в плоскости xy. Из уравнений и получаем выражение для плотности тока . Т.к. и ток и вектор-потенциал направлены вдоль z, значки вектора можно опустить и перейти к скалярному уравнению: . Следует отметить, что в последней формуле фигурирует часть вектор - потенциала создаваемая током. Другая часть происходит от внешнего источника магнитного поля и равна . Легко видеть, что при однородном внешнем поле . Это означает, что внешнее магнитное поле выпадает из дифференциального уравнения для J и A и должно быть учтено граничными условиями на H.

Общее решение уравнения имеет вид:

(2)
где , , а интегральное ядро . Интегрирование выполняется по всему сечению пластинки. Из формулы (2) можно выразить плотность тока:
(3)
гдеобратное ядро, определяемое соотношения:
(4)
В данной геометрии закон индукции может быть записан в виде . Известная вольт - амперная характеристика позволяет, исключив из уравнения (3) вектор-потенциал, записать интегро-дифференциальное уравнение для J:
(5)
Это уравнение численно легко интегрируется по времени, положив в начальный момент времени t=0 и в последующие моменты времени, подставляя . По известному распределению плотности тока J в сечении образца из уравнения (2) можно рассчитать вектор-потенциал в любой точке пространства.