II.Метод численного моделирования проникновения магнитного потока

Численное интегрирование уравнения (5) производится путем проектирования функций J, A, E на эквидистантную сетку: и . В расчете принимается и . Далее каждая точка нумеруется одним индексом , , при этом функции J, E, A можно представить в виде векторов с N компонентами, а интегральное ядро – в виде матрицы .Обратное ядро соответственно представляется в виде матрицы обратной к матрице . Вычисление обратной матрицы выполняется одни раз в начале программы[7].

Уравнение (5) можно переписать в виде:

(6)

В начальный момент времени плотность тока во всем сечении образца равна нулю . Далее, изменяя с шагом , можно вычислить ток в любой момент времени: . Шаг каждый раз выбирается обратно пропорционально максимальному сопротивлению : , где , . Этот выбор обеспечивает алгоритму оптимальную скорость и устойчивость. Суммарное время счета оказывается пропорциональным . Расчет производится в рамках модели Бина, показатель n=120.

Вычислив компоненты вектора , можно по формуле (2) вычислить компоненты . Как уже отмечалось выше, силовые линии вектора индукции магнитного поля совпадают с изолиниями вектор – потенциала.

Расходимость в диагональных элементах матрицы удается избежать, заменив матричные элементы на , где , [7,8].

III.Результаты численного моделирования проникновения магнитного потока в пластинку конечных размеров

1. 
   Перпендикулярное магнитное поле
   

Результаты, приведенные в этой части были получены и обсуждались в работе Брандта[7]. Расчеты показали, что под действием перпендикулярного внешнего поля вихри проникают в объем пластинки изогнутыми, Рис.4a. Такую форму вихри приобретают под действием силы Ампера от экранирующего мейсснеровского тока, текущего по поверхности, и силы пиннинга. Сила Ампера соответственно сильнее действует на концы вихря, чем на его центральную часть, что и придает вихрям изогнутую форму. При уменьшении внешнего поля сила Ампера меняет знак и изгибает вихри в обратную сторону, Рис.4b. В нулевом внешнем поле возникает картина силовых линий изображенная на Рис.5. Характерно, что на краях пластинки абрикосовские вихри образуют замкнутые кривые, окружающие область, в которой с магнитное поле равно нулю и протекает мейсснеровский ток, т.н. «мейсснеровская дыра»[21,22]. Она препятствует схлопыванию вихрей и создает потенциальный барьер для выхода вихрей из центральной части пластинки. . Чем больше амплитуда внешнего поля, тем глубже проникает «мейсснеровская дыра» в образец. Это ясно видно на более толстом образце, Рис.6. При частичном проникновении вихри не скручиваются в замкнутые кривые.

На Рис.5a,c приведены кривые распределения нормальной составляющей индукции магнитного поля на поверхности образца

Рис.4: картина силовых линий: a) при увеличении внешнего поля и b) уменьшении. Отношение b/a=0.1;

Рис.5: картина силовых линий при b) полном и d) частичном проникновении. Распределение поля на поверхности образца при a) полном и a) частичном проникновении. Отношение b/a=0.1

Рис.6: картина силовых линий при a) полном и c) частичном проникновении. Распределение поля на поверхности образца при b) полном и d) частичном проникновении. Отношение b/a=0.5;

Рис.7: картина силовых линий при a) полном и c) частичном проникновении. Распределение поля на поверхности образца при b) полном и d) частичном проникновении. Отношение b/a=3;

На Рис.7a, c изображены картины силовых линий в случае очень толстого образца, геометрический фактор b/a=3. Видно, что для столь толстого образца в поле больше «мейсснеровская дыра» уже не проникает в образец. Другим существенным отличием от тонной пленки является то, что вихри в толстой пластинке почти прямые. Изменение формы вихрей в свою очередь оказывает влияние на крип. В углах образца при частичном проникновении наблюдаются особенности, Рис.7c.

Чем толще образец, тем больше у него поле полного проникновения, это следует и из теоретических расчетов. В модели Бина зависимость поля полного проникновения от b имеет вид [7]. Для пластинки с отношением , а для пластинки с . Распределения поля, приведенные выше, получены без учета нижнего критического поля .

В следующих примерах берется равным половине амплитуды внешнего поля. На Рис.8a, c приводятся картины силовых линий в тонкой сверхпроводящей пластинке для данного случая. Из картин силовых линий видно, что линий индукции внутри образца стремятся оставаться перпендикулярными поверхности. Поле слабее проникает в глубь образца, и как следствие «мейсснеровская дыра» возникает ближе к граням, чем в случае нулевого нижнего критического поля. Это же можно видеть и на более толстых пластинках, Рис.9. Значение поля полного проникновения увеличивается на величину .

Рис.8: картина силовых линий при b) полном и d) частичном проникновении. Распределение поля на поверхности образца при a) полном и c) частичном проникновении. Отношение b/a=0.1, ;

Рис.9: картина силовых линий при a) полном b/a=0.5, c) частичном проникновении b/a=0.5, e) частичном проникновении b/a=3. Распределение поля на поверхности образца при b) полном b/a=0.5, d) частичном проникновении b/a=0.5, f) частичном b/a=3.;

b. Качающееся магнитное поле
Под качающимся магнитным полем понимается, что плоскостное поле вморожено в образец, , а y-компонента увеличивается от нуля до некоторого максимального значения, а затем уменьшается обратно до нуля, Рис.10. В расчетах нижнее критическое поле здесь и ниже принимается равным нулю. На Рис.11 приведены результаты расчета для тонкого образца. Продольное распределение магнитного поля в образце и на его поверхности оказывается несимметричным, соответствующие области на Рис.11d выделены прямоугольником. Такая асимметрия наблюдается при любых углах качания и обусловлена существованием пиннинга вихрей.

Рис.10: а) картина качающегося внешнего поля b) зависимость перпендикулярной

компоненты внешнего поля от времени;

Рис.11: картина силовых линий при a) полном и c) частичном проникновении. Распределение поля на поверхности образца при b) полном и d) частичном проникновении. Отношение b/a=0.1, максимальный угол отклонения ;

Рис.12: картина силовых линий при a) полном и c) частичном проникновении. Распределение поля на поверхности образца при b) полном и d) частичном проникновении. Отношение b/a=0.5, максимальный угол отклонения ;

На толстых образцах асимметрия проявляется сильнее, Рис.12. В частности, становится заметной разница величины индукции в максимумах на кривой распределения поля на поверхности, Рис.12d. Эта разница зависит главным образом от амплитуды поля и параметра b/a, и слабо зависит от угла качания поля.

с. Наклонное магнитное поле

Характер проникновения магнитного потока в сверхпроводник в случае наклонного поля, когда x- и y- компоненты поля включаются одновременно, принципиально отличается от проникновения качающегося поля. Причиной тому являются необратимые магнитные свойства жёстких сверхпроводников, т.е. зависимость количества и распределения вихрей в образце в данный момент от внешнего магнитного поля в предыдущие моменты времени [10]. Примером необратимых свойств служит гистерезисное поведение магнитного момента сверхпроводящей пластинки в зависимости от внешнего поля.

В наклонном магнитном поле направление вектора индукции постоянно,, а меняется только его величина, Рис.13. В таком поле вихри проникают в пластинки с углов, при этом формы вихрей и кора, области в образце, где магнитное поле и плотность тока равны нулю, соответствуют наклону внешнего поля, Рис.14. Формулы, описывающие форму кора в наклонном магнитном поле, приведены в работе Брандта [11].При значении внешнего поля выше , где определяется из уравнений:

область кора не соприкасается с плоскостями пластинки. Поле полного проникновения для тонкой пластинки равно .

Рис.13: зависимость x-и y- компоненты внешнего поля от времени.

Рис.14: картина силовых линий: a) при увеличении внешнего поля и b) уменьшении. Отношение b/a=0.1, максимальный угол отклонения ;

На Рис.14b представлена картина силовых линий при уменьшении внешнего поля. При этом вихри под действием силы Ампера со стороны экранирующего тока искривляются в обратную сторону. Когда внешнее поле уменьшается до нуля, в объёме пластинки возникает «мейсcнеровская дыра», Рис.15a,c, в то время как в качающемся поле «мейсснеровская дыра» не образуется.

Рис.15: картина силовых линий при b) полном и d) частичном проникновении. Распределение поля на поверхности образца при a) полном и c) частичном проникновении. Отношение b/a=0.1, максимальный угол отклонения ;

В тонкой пластинке, b/a=0.1, наблюдается асимметрия в распределении поля на поверхности образца при частичном проникновении, Рис.15c. В сильном поле, т.е. при полном проникновении, распределение индукции не отличается от случая перпендикулярного поля. При уменьшении угла наклона максимум на кривой распределения индукции, Рис.15b, оказывается более сглаженным.

В наклонном поле «мейсснеровская дыра» возникает в углах образцах, что влияет на картину распределения поля на поверхности пластинки. При увеличении амплитуды поля она сдвигается к центру, что хорошо видно на толстых образцах, b/a=0.5, Рис.16a,c. При уменьшении угла наклона, сглаживаются максимумы на кривых распределения поля на поверхности, см. Рис.17b,d.

Рис.16: картина силовых линий при a) полном и c) частичном проникновении. Распределение поля на поверхности образца при b) полном и d) частичном проникновении. Отношение b/a=0.5, максимальный угол отклонения ;

Рис.17: картина силовых линий при a) полном и c) частичном проникновении. Распределение поля на поверхности образца при b) полном и d) частичном проникновении. Отношение b/a=0.5, максимальный угол отклонения ;