Лекция №11

Тема: «Проводники в электрическом поле»
План лекции.

1. 
   Равновесие зарядов на проводниках.
   
2. 
   Электроемкость. Конденсаторы.
   
3. 
   Энергия заряженных проводников.
   

1. Равновесие зарядов на проводниках.

Свободные электрические заряды в проводнике могут перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому равновесие зарядов в проводнике может наблюдаться только при выполнении следующих условий:

1. Напряженность электрического поля внутри проводника должна быть равна нулю, т.е.

= 0. (1)

Это означает, что потенциал внутри проводни­ка остается постоянным.

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности. Следовательно, в случае равнове­сия зарядов, поверхность проводника является эквипотенциальной поверхно­стью

Если бы эти условия не выполнялись, то на свободные заряды, имеющиеся в каждом проводнике, действовала сила, и равновесие было бы нарушено.

Земля также является проводником, и заряды на ней находятся в равнове­сии. Поэтому можно считать, что всё точки земли имеют одинаковый потенци­ал. По этой причине постоянную точку при измерении потенциала часто выби­рают на поверхности земли и говорят о потенциале относительно земли.

Так как при равновесии зарядов на проводнике напряженность поля в нем равна нулю, то поток вектора напряженности через любую замкнутую поверх­ность, проведенную внутри проводника, равен нулю. Из теоремы Гаусса 1.9 следует, что в этом случае поверхность электрических зарядов не охватывает. Следовательно, при равновесии, внутри проводника не может быть электриче­ских зарядов. Все они расположатся на поверхности проводника с некоторой поверхностной плотностью о. Заряды в состоянии равновесия распределяются по поверхности проводника всегда, независимо от того каким образом возни­кают эти заряды.

Так как в состоянии равновесия зарядов внутри проводника нет, то удале­ние вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не от­ражается на распределении зарядов. Это озна­чает, что избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т.е. на его наружной поверхности. На поверх­ности полости заряды располагаться не могут. Это явление широко используется в электро­статической защите и генераторе Ван-де-Граафа.

К аналогичному результату мы придем,

рассматривая незаряженный проводник, поме­щенный во внешнее электрическое поле.

Под действием внешнего электрического поля в проводнике носители за­ряда, приводят в движение: положительные по полю, Рис.2.1.Электрическое поле отрицательные –против поля. В результате перемещения зарядов на

в проводнике. поверхности проводника возника­ют заряды противоположных

знаков (рис. 21), называемые индуцированными зарядами, а само явление - электростатической индукцией.

Ранее мы показали, что напряженность электрического поля у поверхности проводника Е' = . Поле этих зарядов направлено против внешнего поля и ослабляет его. Перемещение зарядов будет происходить до тех пор, пока напря­женность поля в проводнике не станет равна нулю, а заряды при этом распре­делятся по поверхности проводника. Следовательно, нейтральный проводник, внесенный во внешнее электрическое поле, разрывает часть линий напряженности - они заканчиваются на отрицательном заряде и начинаются на положи­тельном (рис. 21).

Распределение зарядов по поверхности проводника зависит от его формы. Опыт показывает, что поверхностная плотность зарядов различна в различных точках поверхности проводника: она близка к нулю в углублениях и макси­мальна вблизи острия.

Но напряженность электрического поля пропорциональна поверхностной плотности заряда ст. Поэтому напряженность поля у поверхности проводника сложной формы также весьма неодинакова. Она особенно велика возле участ­ков с малым радиусом кривизны, т.е. у заострений. Это приводит к своеобраз­ному явлению «стекания» зарядов с металлического острия.
2. Электроемкость. Конденсаторы.

Опыт показывает, что независимо от способа электризации тела, его заряд всегда пропорционален потенциалу, т.е. введём понятие электроёмкость.

(2)

Коэффициент пропорциональности между зарядом тела и его потенциа­лом называется электроемкостью (или просто емкостью) проводника.
Из (2) следует, что
(3)

Единица измерения емкости в системе СИ называется Фарадой. Фарада (Ф) - это емкость такого проводника, потенциал которого повышается на 1 Вольт при сообщении ему заряда в 1 Кулон. [Ф=] .

Для уединенной сферы потенциал определяется по формуле 1.17. и тогда для

емкости сферы получим выражение

(4)
Из (4) следует, что емкость уединенного проводника зависит от его геометри­ческих размеров, а также диэлектрических свойств среды.

Уединенные проводники обладают малой емкостью и поэтому не могут накапливать большой заряд. На практике нам необходимы устройства способ­ные при малых размерах и сравнительно низких потенциалах накапливать значительные заряды.

Конденсатором называются два проводника, разделенных слоем диэлек­трика, толщина которого во много раз меньше размеров проводника.

Чтобы внешние тела не влияли на емкость конденсатора, проводникам придают такую форму, что электрическое поле сосредоточено только между проводниками. Этому условию удовлетворяют: две пластины, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра, две концентрические сферы.

Поскольку электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, то ли­нии напряженности начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, заряды обкладок равны по величине и противоположны по зна­ку.

Под емкостью конденсатора понимается величина равная отношению за­ряда одной из обкладок к разности потенциалов между ними.

. (5)

Величина емкости конденсатора определяется его геометрическими размерами, а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей конденсатор. В зависимости от формы обкладок, конденсаторы бывают плоскими, сферическими и цилиндрическими.

Примеры расчета емкости конденсатора.

Плоский конденсатор. Если на плоские пластины подать равные по ве­личине и противоположные по знаку заряды, то напряженность электрического поля между пластинами, согласно 1.12, будет определяться по формуле

Если расстояние между пластинами равно d, то разность потенциалов между ними будет равна

Подставляя найденное выражение в формулу (5) емкости конденсатора, получим



Цилиндрический конденсатор. Если на обкладках конденсатора имеется электрический заряд q, то напряженность электрического поля между обклад­ками определяется по формуле Е = и тогда для разности потенциалов

между ними можно получить . И для

емкости сферического конденсатора получим

Если расстояние между пластинами d = R₂-R₁ значительно меньше ра­диусов цилиндров, то

и тогда для емкости цилиндрического конденсатора получим

.

Аналогичное выражение можно получить и для сферического конденсато­ра. Из полученных выражений следует, что емкость конденсатора определяется геометрическими размерами конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей конденсатор.

Емкости конденсаторов

Тип конденсатора	Схематическое изображение	Формула для расчета емкости	Примечания
Плоский конденсатор			S площадь пластины; d расстояние между пластинами.
Сферический конденсатор			R1 и R2 радиусы внешней и внутренней обкладок.
Цилиндрический конденсатор			h – высота цилиндров.

При параллельном соединении напряжение на всех обкладках одинаковое U₁=U₂=U₃=U а емкость батареи равняется сумме емкостей отдельных конденсаторов С = С ₁ + С₂+С₃.

При последовательном соединении заряд на обкладках всех конденсаторов одинаковQ₁=Q₂=Q₃=Q, а напряжение батареи равняется сумме напряжений отдельных конденсаторов U= U₁+U₂+U₃. Емкость всей системы последовательно соединенных конденсаторов рассчитывается из соотношения: 1/С = U/Q = 1/С ₁ + 1/С ₂+ 1/С ₃.

Емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов всегда меньше, чем емкость каждого из этих конденсаторов в отдельности.
3. Энергия взаимодействия точечных зарядов.

Энергия заряженных проводников.
Ранее мы показали, что электрический заряд, находящийся в электриче­ском поле, обладает энергией, которую можно найти по формуле 1.18. Поэтому энергия системы двух точечных зарядов q₁ и q₂, расположенных на расстоянии r друг от друга может быть определена следующим образом. Пусть заряд q, на­ходится в электрическом поле, создаваемым вторым зарядом. Тогда

(6)

Очевидно, справедливо и обратное утверждение: заряд q₂ в поле первого заряда будет обладать энергией

(7)

Из (6) и (7) следует, что W₁ = W₂ = W , и общую энергию системы двух то­чечных зарядов можно записать в виде:

(8)

Для системы состоящей из N точечных зарядов выражение (8) запишется в виде:

(9)

Где ik

Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать, как систему точечных зарядов dq. Поэтому заряженный проводник будет обладать

энергией. Найдем величину этой энергии.

Пусть заряд проводника равен q, его емкость С, а потенциал . Для уве­личения заряда тела на величину dq нужно совершить работу dA = q. Диф­ференцируя выражение (2) получим dq = С и тогда dA = С. Интегри­руя полученное выражение найдем, что

(10)

Естественно считать энергию незаряженного проводника равной нулю, тогда постоянная интегрирования будет равна нулю и для энергии заряженного про­водника получим выражение

(11)

Как и всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией

(12)

В случае плоского конденсатора , и тогда выражение (12) примет вид

(13)

Введем величину,

которую будем называть объемной плотностью энергии. Тогда для электриче­ского поля в конденсаторе получим, что

(15)

С учетом того, что D = выражение 3.15 примет вид

(16)

Тот факт, что объемная плотность энергии выражается через характери­стики электрического поля ( и ), говорит о том, что само поле обладает энергией.