Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Золотова Г.П., Момджи Т.Д.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Методические указания для студентов фак.ИУ

по “Инженерной графике”

Москва

2002
Геометрические построения

В данном разделе рассматриваются геометрические построения в виде задач на построения, которые используются в современной инженерной графике наиболее часто. Эти задачи могут выполняться вручную обычными чертежными инструментами (линейкой, циркулем), а также на компьютере с помощью автоматизированной графической системы.

Для того чтобы лучше понять суть геометрических построений и успешно применять их на практике, рекомендуется следующая последовательность в работе над материалом данного раздела:

 изучить теорию и выполнить все примеры вручную;

 из "Рабочей тетради" выполнить пример на построение эквидистанты;

 ознакомиться с "Методическими указаниями к лабораторным работам";

 выполнить следующие лабораторные работы:

1).Базовые графические примитивы Геометрические элементы чертежа. Элементы оформления чертежа;

2).Редактирование изображений;

3)Геометрические построения.
Задачи на построения

§1.Построение перпендикулярных прямых

1. Построить перпендикуляр к прямой и разделить отрезок на две равные части (рис.1а).

Из концов отрезка АВ провести две дуги радиусом R, величина которого немного больше половины отрезка, и продолжить их до взаимного пересечения в точках C и D. Прямая CD перпендикулярна отрезку АВ и делит его пополам, а точка К является серединой отрезка.

2.Опустить перпендикуляр из данной точки на прямую (рис.1b).

Из данной точки А провести дугу окружности произвольного радиуса так, чтобы она пересекла прямую CD в точках К и М. Из этих точек описать две дуги окружности радиусом R, величина которого немного больше половины отрезка KM, и продолжить их до взаимного пересечения в точке N. Прямая AN является перпендикуляром к заданной прямой CD.

3.Построить перпендикуляр в конце отрезка прямой (рис.1c).

Из произвольной точки О на данной прямой провести дугу радиусом R=OA. Затем, из конца отрезка А провести дугу того же радиуса R=OA до пересечения с предыдущей дугой в точке С. Провести прямую ОС, и на ее продолжении отложить отрезок СD=CO, т.е. равный радиусу R, и соединить точку D с точкой A. Прямая DA перпендикулярна отрезку AВ.

4.Определение центра и величины радиуса дуги окружности, проходящей через три точки (рис.1d).

Для определения центра дуги окружности необходимо последовательно соединить заданные точки А, В, С прямыми; затем через середины этих прямых восставить перпендикуляры и продолжить их до взаимного пересечения в точке О. Эта точка является центром дуги окружности, а величина радиуса дуги равна R=ОА=ОВ= ОС.

Рис.1.
5.Построение уклонов и конусности (рис.2).

Наклон одной прямой линии по отношению к другой определяется уклоном, т.е. величиной тангенса угла между ними n=tg β .Для построения прямой АС с уклоном, например n=1:5, надо построить прямоугольный треугольник с вершиной прямого угла в точке В, и катетами ВА=10мм и ВС=50мм. Тогда гипотенуза АС в этом треугольнике будет иметь уклон заданной величины (рис.2а).

К
онусностью называется отношение диаметра D окружности основания конуса к его высоте h. Если конус усеченный, то конусность определяется в виде отношения или в процентах по формулам:

П

о ГОСТ 2.307-68 перед размерным числом, определяющим конусность, наносится условный знак конусности в виде равнобедренного треугольника (рис.2b).

Рис.2.

§2.Построение углов

1.Проведение биссектрисы угла.

Для того, чтобы провести биссектрису угла, надо из его вершины А описать дугу окружности произвольного радиуса R так, чтобы она пересекла стороны угла в точках С и В, из которых затем описать две дуги окружности радиуса r величиной немного большей половины хорды СВ, до их взаимного пересечения в точке D. Прямая AD – биссектриса угла (рис.3a).

2.Деление прямого угла на три равные части.

Из вершины K прямого угла MKN произвольным радиусом R описать дугу окружности до пересечения со сторонами угла в точках D и A, из которых затем провести дуги того же радиуса R до пересечения их с дугой DA в точках C и B. Точки C и B соединить с вершиной угла. Образующиеся при этом углы DKC, CKB, BKA равны 1/3 прямого угла, т.е. 30° (рис.3b).

Рис.3.

§3.Сопряжения линий

Сопряжением называется плавный переход одной линии в другую. Общая для этих линий точка называется точкой сопряжения или точкой перехода. Точки касания прямой и окружности, двух окружностей также являются точками сопряжения этих линий. Точка сопряжения двух дуг окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

1.Сопряжение сторон прямого, острого и тупого углов дугой радиуса R.

Построение выполняется следующим образом. Параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые до их взаимного пересечения в точке О. Эта точка является центром сопрягающей дуги и называется центром сопряжения. Из центра сопряжения опускают перпендикуляры на стороны угла для того, чтобы определить точки сопряжения, и провести между ними дугу, плавно переходящую в стороны угла (рис.4,а,b,c).

Рис.4.

2.Сопряжение дуги окружности радиуса R и прямой линии n дугой радиуса r с внешним касанием.

Для выполнения такого сопряжения вычерчивают дугу окружности радиуса R и прямую n. Параллельно заданной прямой проводят вспомогательную прямую m на расстоянии, равном радиусу r. Из центра О проводят дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов R+r до пересечения ее с прямой m в точке О1. Эта точка является центром сопрягающей дуги. Для определения точки сопряжения С2 следует провести линию центров ОО1 до пересечения ее с дугой радиуса R. Точка сопряжения С3 дуги с прямой n определяется как основание перпендикуляра, опущенного из центра О1 на эту прямую (рис.5а).

3. Сопряжение дуги окружности радиуса R и прямой линии n дугой радиуса r с внутренним касанием.

Центр дуги сопряжения О1 находится на пересечении вспомогательной прямой m, проведенной параллельно данной прямой на расстоянии r, с дугой вспомогательной окружности, проведенной из центра О радиусом, равным R-r. Точка сопряжения С1 дуги с прямой п определяется как основание перпендикуляра, опущенного из центра О1 на эту прямую. Точка сопряжения C находится на пересечении линии центров OO1 с заданной окружностью (рис.5b).

Рис.5.

4.Сопряжение окружностей радиусов R! и R2 дугой радиуса R внешнее.

Центр дуги сопряжения О находят в пересечении вспомогательных дуг, проведенных из центров О1 и О2 радиусами R+R1 и R+R2 соответственно. Точки сопряжения А и В лежат на прямых ОО1 и ОО2 в пересечении с заданными окружностями (рис.6а).

5.Сопряжение окружностей радиусов R! и R2 дугой радиуса R внутреннее.

Центр дуги сопряжения О находят в пересечении вспомогательных дуг, проведенных из центров О1 и О2 радиусами R-R1 и R-R2 соответственно. Точки сопряжения А и В лежат на прямых ОО1 и ОО2 в пересечении с заданными окружностями (рис.6b).

6.Сопряжение окружностей радиусов R! и R2 дугой радиуса R смешанное.

Центр дуги сопряжения О находят в пересечении вспомогательных дуг, проведенных из центров О1 и О2 радиусами R-R1 и R+R2 соответственно. Точки сопряжения А и В лежат на прямых ОО1 и ОО2 в пересечении с заданными окружностями (рис.6с).

Рис.6.

Пример выполнения чертежа контура детали с применением различных геометрических построений
Задание. Вычертить контур детали по заданным размерам

Рис.7

Анализ задания

Чертеж контура детали состоит из совокупности элементарных геометрических объектов: точек, прямых линий, окружностей или дуг окружностей, которые находятся между собой в отношениях принадлежности, пересечения или сопряжения.

Выполнение чертежа сводится к нахождению точек пересечения и сопряжения прямых и окружностей, причем прямые задаются набором точек, через которые они проводятся, а окружности – своими центрами и радиусами. Координаты некоторых точек определяются размерами, проставленными на чертеже, и могут быть построены непосредственно по заданным размерам. Но координаты целого ряда точек, прежде всего точек сопряжения, – неизвестны и находятся с помощью геометрических построений, которые осуществляются в определенной последовательности и опираются на точки, определенные ранее.

Анализ чертежа заключается в следующем:

 выявление типовых способов задания точек контура: координатами, пересечением или сопряжением прямых и окружностей;

 определение видов геометрических построений для нахождения неизвестных точек;

 установление последовательности построений, начиная с точек привязки.

Выполнение чертежа плоского контура вручную

1.Выбрать формат стандартного размера (А4 для данного задания).

2.Произвести разметку листа так, чтобы на нем поместилось изображение контура со всеми проставленными размерами.

2.На основе проведенного анализа выбрать точки привязки и от них начать построение контура в установленной последовательности. Последовательность выполнения чертежа контура показана на рис.8.

Рис.8

Выполнение двумерной модели контура на ЭВМ

Создание двумерной модели контура по выполненному чертежу осуществляется по следующему плану.

1) Выполнение некоторых установок, упрощающих процесс работы:

 создание слоев (LAYER);

 создание формата (LIMITS);

 определение размера шага экранной сетки (GRID).

Слои. При создании геометрической модели обычно приходится выполнять ряд вспомогательных построений, которые в окончательном варианте, на чертеже, просто не нужны. Вместе с тем, чертеж состоит не только из геометрических элементов, но также и из элементов оформления чертежа: размеров, текстовой информации, штриховки и т. п. Поэтому, целесообразно иметь возможность разделения всей информации (как графической, так и неграфической) по слоям. Слой – это условный носитель информации, за которым могут быть закреплены цвет и тип линии. В каждом слое хранится определенный вид информации. Например, на одном слое могут храниться все геометрические построения, на другом – размеры, на третьем – основная надпись и т. д. Слои могут иметь несколько состояний: текущее, включенное, выключенное, замороженное, размороженное. Слой можно заморозить или отключить, и тем самым не выводить на экран информацию, содержащуюся на этом слое (текущий слой не замораживается и не отключается).

В нашем примере созданы слои: построений (POSTR), основной модели (OSN), осевых линий (OSI).

Состояние слоев можно просмотреть командой LAYER или DDLMODES:

Имя слоя 0 POSTR OSN OSI :

Статус ON (включен) Frozen (замор.) OFF (выключ.) ON (включен)

Цвет 7 white (белый) 3 green (зелен.) 1 red (красный) 7 white (белый)

Тип линий Cont (сплошн.) Cont (сплошн.) Cont (сплошн.) Cent (штрихп.)

Current layer: OSN (текущий активный слой)

Формат. Размеры математического пространства, отводимого для построения чертежа, определяются командой LIMITS (пределы).

Command: LIMITS

ON/OFF/<0.0000>: 0,0

Upper right corner<12,9>: 210,297.

Для нашего примера установлены пределы, соответствующие стандартному формату А4.

Пределы можно контролировать с помощью опций ON/OFF. Если включить контроль (ON), то рисование объектов за пределами будет запрещено.

Сетка. Для того чтобы пределы были видны на экране, они покрываются сеткой. Плотность и видимость сетки устанавливаются с помощью команды GRID:

Command: GRID

Grid spacing(x) or ON/OFF/...<0.00>: 10 (новый шаг сетки)

ON/OFF/ .... : ON (включить).

2) Создание локальной системы координат

Планировка формата на экране – та же, что и на традиционном чертеже. Но для удобства построения модели необходимо выбрать локальную систему координат, с началом в одной из точек привязки:

Command: UCS

Origin/.../Save/: O

(выбрать опцию О – начало локальной системы координат)

Origin point<0,0,0>: (задать координаты нового начала).

3)Начало построений.

Последовательность построений та же, что и на чертеже контура: вначале строятся точки, координаты которых известны, а затем с помощью геометрических построений определяются остальные точки. Вспомогательные построения ведутся в слое POSTR, при этом никакие лишние линии не удаляются, так как вывод окончательного чертежа осуществляется в слое OSN, а слой с построениями будет отключен или заморожен.

4) Окончательное оформление изображения модели.

Обводка контура модели по точкам производится в слое OSN.

Поэтапное выполнение задания

Этап 1. (Рис.9)

Установить слой POSTR. Установить точку привязки А. Построить прямые и окружности по заданным размерам.

Рис.9
Этап 2. (Рис.10)

Построить сопрягающие окружности и прямую, касательную к окружности. Для этого использовать команду CIRCLE (опция TTR требует указания на сопрягаемые прямые и введения радиуса сопрягаемой окружности R=3), а также команду LIN (опция ТAN требует указания на окружность ближе к точке касания).

Рис.10

Этап 3. (Рис.11)

Построить сопряжения двух окружностей третьей заданного радиуса R25.

Для этого использовать команду CIRCLE (опция TTR требует указания на сопрягаемые окружности ближе к точкам касания).


Рис.11

Этап 4. (Рис.12)

Установить слой OSN.

Обвести контур с помощью команды PLINE по вычисленным точкам.

Рис.12

Этап 5. (Рис.13)

Заморозить слой POSTR.

Рис.13