Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

“Тульский государственный университет”

Кафедра физики

Методические указания

по выполнению самостоятельной

внеаудиторной работы

по дисциплине

“Теоретическая физика”

Направление подготовки: 010800 Механика и математическое моделирование

Профиль подготовки: магистерская программа

010800 Механика и математическое моделирование

Форма обучения (очная)

Тула 2012

Методические указания составлены проф. Ю.Н. Колмаковым, обсуждены на заседании кафедры физики ЕН факультета

протокол № 6 от " 24 " января 2012 г.

Зав. кафедрой физики ___________ Д.М. Левин

Методические указания пересмотрены и утверждены на заседании кафедры физики ЕН факультета

протокол № от « » 20 г.

Зав. кафедрой физики ___________ Д.М. Левин

Назначение и сроки выполнения мероприятий по реализации всех форм самостоятельной работы.

Самостоятельная работа планируется и выполняется в соответствии с Государственными образовательными стандартами направления подготовки для специальности 010800 Механика и математическое моделирование (профиль подготовки: магистерская программа) и в соответствии с учебным планом и рабочей программой дисциплины «Теоретическая физика» для студентов очной формы обучения специальности 010800 Механика и математическое моделирование (профиль подготовки: магистерская программа) ТулГУ.

Самостоятельная работа студентов осуществляется в течение 2-го семестра срока обучения.
I. Цели и задачи выполнения самостоятельной работы по дисциплине «Теоретическая физика»:

1) закрепить знания и навыки, полученные студентами при изучении раздела курса дисциплины «Теоретическая физика» на лекционных и практических занятиях;

2) получить систему практических навыков использования этих знаний для постановки математической задачи описания любого явления или процесса, связанного с изучаемыми законами теоретической физики, и последовательного решения этой задачи;

3) сформировать у студентов единую, логически непротиворечивую физическую картину, связывающую все изучаемые явления, теории и модели их описания. При этом решается задача формирования научного мировоззрения и современного физического мышления;

4) научиться самостоятельно работать с учебной и научной литературой, справочниками и энциклопедиями.
II. Содержание самостоятельной работы по дисциплине «Теоретическая физика».

Самостоятельная работа является неотъемлемой частью рабочей программы учебного плана студента в рамках изучения курса «Теоретическая физика».

На выполнение самостоятельной работы отводится заданное учебным планом и рабочей программой количество часов самостоятельных занятий студента. Мероприятия по самостоятельной работе выполняется в течение всех семестров изучения дисциплины «Теоретическая физика».

В качестве элементов самостоятельной внеаудиторной работы по дисциплине «Теоретическая физика» студенты специальности 010800 Механика и математическое моделирование (профиль подготовки: магистерская программа) выполняют следующие виды работ:

1) изучение разделов дисциплины, вынесенных для самостоятельной работы в соответствии с разделом 4.6 рабочей программы, а также тех тем (по указанию преподавателя), которые были не рассмотрены по причине пропуска аудиторных занятий из-за праздничных дней и привлечения студентов к дежурствам;

2) подготовка к двум текущим аттестационным процедурам контроля текущей успеваемости и к итоговому зачетному занятию по дисциплине «Теоретическая физика» в конце семестра, в ходе которых студенты обязаны выполнить контрольные практические задания в виде тестов, проверочных вопросов и простых модельных задач, образцы которых приведены в разделе 6 рабочей программы;

3) самостоятельное выполнение индивидуальных практических заданий по указанию преподавателя из числа тех заданий по курсу «Теоретическая физика», условия которых приведены в Приложении 1.

Самостоятельная работа выполняется с привлечением всех информационных возможностей (библиотека ТулГУ – учебная, монографическая, периодическая литература, электронные средства информации – Inet, другое.

III. Методика выполнения самостоятельной работы

1) Отчеты по выполненным заданиям представляются студентом на одном из последних занятий семестра, предназначенном для контрольных мероприятий в виде конспекта или тетради с решениями заданий.

2) Решения сопровождаются текстовыми пояснениями, как это делается при написании научной статьи или отчета.

3) В текстовом пояснении необходимо обосновать выбор метода решения, выбор используемых теоретических посылок, объяснять путь решения;

4) окончательный ответ получается в виде формулы в общем виде. Должны быть проделаны все этапы получения этой формулы без пропусков. Для получения числового ответа в полученную формулу должна быть сделана подстановка всех используемых данных в системе СИ. Числовой ответ должен быть получен в единицах системы СИ с точностью не менее трех значащих цифр;

5) все используемые данные из справочной литературы (коэффициенты, постоянные, математические преобразования) должны быть приведены с указанием на источник цитирования.

Приложение 1.
УСЛОВИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

для выполнения самостоятельной работы по дисциплине

«Теоретическая физика»

Свободная частица.

1.1. В момент времени свободная частица описывается волновой функцией . Определить коэффициент и область, где локализована частица. найти плотность тока , созданного ее движением.

1.2. Для свободной частицы, состояние которой описывается волновой функцией , найти средние координату, импульс, вычислить и проверить соотношение неопределенностей.

1.3. Считая, что волновая функция, приведенная в предыдущей задаче, определяет волновой пакет в начальный момент времени , найти , плотность вероятности и плотность тока (рассмотреть расплывание волнового пакета со временем).

Квантовомеханические операторы и их свойства:

2.1. Вычислить коммутаторы проекций операторов радиус-вектора и импульса: .

2.2. Найти коммутатор операторов и .

2.3. Найти коммутатор оператора и оператора Лапласа.

2.4. Найти операторы трансляции, переводящие:

а) в ; б) в ; в , где - угловая переменная (это оператор поворота пространства на угол ).

2.5. Найти собственные функции и собственные значения оператора .

2.6. Найти собственные функции и собственные значения оператора .

2.7. Определить квадрат оператора .

2.8. Для операторов и , удовлетворяющих коммутационному условию , найти: а) ; б)..

2.9. Доказать справедливость соотношения

.

2.10. Найти оператор, эрмитово-сопряженный оператору .

2.11. Найти оператор, эрмитово-сопряженный произведению операторов и .

2.12. Доказать самосопряженность оператора Лапласа.

2.13. Из выражения оператора момента импульса в декартовой системе координат , получить выражения для операторов в сферической системе координат.

2.14. Доказать следующие коммутационные соотношения для проекций операторов координаты, импульса и момента импульса:

а) ; , где - антисимметричный единичный тензор 3-го ранга, для которого , (1,2,3 - соответствуют индексам x, y, z);

б) ; ;

в) , ; ;

г) ;

д) показать, что в состоянии с определенным значением , (для которого ) средние значения и равны нулю.
Соотношения неопределенностей:

3.1. Показать, что если два оператора и удовлетворяют перестановочному соотношению , причем и - эрмитовы, то имеет место соотношение: . Используя это соотношение, найти соотношение неопределенности для операторов и , если и удовлетворяют перестановочному соотношению . (Указание: функцию представить в виде ряда Тейлора

3.2. Оценить энергию основного состояния осциллятора, используя соотношение неопределенностей.

3.3. Оценить энергию электрона на К оболочке атома с порядковым номером Z в нерелятивистском и релятивистском случае.

3.4. Оценить энергию основного состояния двухэлектронного атома, заряд ядра которого равен Z, с помощью соотношения неопределенностей.

3.5. Найти волновую функцию такого состояния для одномерного движения частицы, чтобы произведение неопределенностей квантовомеханических операторов и , т.е. было минимальным.

Уравнение Шредингера и зависимость величин от времени:

4.1. Волновая функция в произвольный момент времени определяется через волновую функцию в начальный момент времени с помощью некоторого оператора , зависящего от времени: . Показать, что оператор подчиняется дифференциальному уравнению , где - оператор Гамильтона, а в том случае, когда не зависит от времени, то оператор имеет вид .

4.2. Составить операторы .

4.3. Показать, что основное уравнение классической динамики , где импульс, сила, действующая на частицу, для пространственных средних (математических ожиданий) имеет место и в квантовой механике. Показать, что для системы частиц при отсутствии внешних сил импульс системы будет интегралом движения.

4.4. Показать, что среднее значение импульса в стационарном состоянии дискретного спектра .

4.5. Для классической скобки Пуассона выполнено соотношение , где - функции, представляющие физические величины. Считая, что данное соотношение выполняется и для операторов, определить выражение для квантовой скобки Пуассона.

Квазиклассическое приближение, теория Бора-Зоммерфельда:

5.1. Пользуясь постулатом Бора-Зоммерфельда, проквантовать движение одномерного квантового гармонического осциллятора с потенциальной энергией .

5.2. Используя постулат Бора-Зоммерфельда, найти уровни энергии электрона, движущегося по эллиптической орбите вблизи ядра с зарядом .

5.3. Частица массы вертикально падает на горизонтальную пластину и упруго от нее отражается. Используя постулат Бора-Зоммерфельда, проквантовать движение частицы, определить разрешенные высоты и вычислить уровни энергии.

5.4. Определить в квазиклассическом приближении спектр энергии частицы в одномерном потенциальном поле .

5.5. Определить в квазиклассическом приближении среднее значение кинетической энергии стационарного состояния и найти в этом приближении среднюю кинетическую энергию одномерного осциллятора в поле

5.6. Вычислить в квазиклассическом приближении коэффициенты прохождения и отражения частицы с массой и с энергией , падающей на одномерный прямоугольный потенциальный барьер ширины и высоты .

5

.7. Вычислить в квазиклассическом приближении коэффициент прохождения электронов с энергией через поверхность металла под действием сильного электрического поля с напряженностью , направленной перпендикулярно к поверхности металла (вдоль оси x, см. рисунок). Найти границы применимости расчета.
5


.8. В действительности изменение потенциальной энергии для электрона вблизи поверхности металла (см. задачу 5.7) происходит непрерывно. Так закон (метод зеркального отображения) действует на больших расстояниях от поверхности (см. рис.). Определить коэффициент прохождения D электронов через поверхность металла с учетом этого закона в квазиклассическом приближении.

5

.9. Потенциальное поле для некоторой частицы имеет вид N одинаковых потенциальных ям, разделенных одинаковыми потенциальными барьерами (см. рисунок). Считая выполненным условие квазиклассичности, определить уровни энергии в поле .

5.10. Частица с массой и с энергией пролетает над одномерной прямоугольной потенциальной ямой ширины и глубины . Определить в квазиклассическом приближении условие абсолютной прозрачности этой ямы.

Потенциальные барьеры и потенциальные ямы:

6

.1. Определить уровни энергии и волновые функции частицы, находящейся в несимметричной потенциальной прямоугольной одномерной яме, изображенной на рисунке. В частности, рассмотреть случай .
6.2. Показать, что для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины с бесконечно высокими стенками, имеют место следующие соотношения для средних величин : , . Показать, что для больших значений последний результат совпадает с соответствующим классическим.

6.3. Состояние частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме, стенки которой расположены при и , описывается волновой функцией . Найти для нее распределение по энергиям, среднюю энергию и .

6

.4. При изучении эмиссии электронов из металла надо принять во внимание, что электроны с энергией , достаточной для выхода из металла, будут, согласно квантово-механическим свойствам, отражаться от его границы. Рассматривая одномерную модель с потенциальной энергией при (для электрона внутри металла) и при (для электрона вне металла, см. рисунок), определить коэффициент отражения электрона с энергией от поверхности металла.

6.5. Частица двигалась в положительном направлении оси х с отрицательной энергией и встретила потенциальный порог (ступеньку) изображенную на рисунке к предыдущей задаче 6.4. Определить волновую функцию и вычислить плотность тока отраженной и прошедшей волн. Найти коэффициент прохождения и отражения частиц от барьера.

6.6. Определить коэффициент прохождения частицы с энергией через прямоугольный потенциальный барьер высоты , изображенный на рисунке, а также коэффициент надбарьерного отражения от барьера в случае .

6.7. Рассмотреть поведение частицы в следующем потенциальном поле: Ограничиться случаем . Исследовать волновую функцию частицы, когда амплитуда во внутренней области () гораздо меньше, чем во внешней ().

6.8. Найти уровни энергии и волновые функции частицы в одномерной кулоновской потенциальной яме, задаваемой потенциальной энергией .

6.9. Определить волновые функции заряженной частицы в однородном поле с потенциальной энергией .

6

.10. Найти волновые функции и уровни энергии частицы в поле с потенциальной энергией , (одномерная потенциальная яма, изображенная на рисунке), и показать, что энергетический спектр совпадает со спектром одномерного осциллятора.

6

.11. Определить уровни энергии для частицы, находящейся в потенциальном поле , изображенном на рисунке.

6

.12. Определить зоны разрешенной энергии для частицы, движущейся в периодическом одномерном потенциальном поле, изображенном на рисунке. Исследовать предельный случай , при условии, что .

6.13. Слева на потенциальный -образный барьер падает поток частиц с энергией . Показать, что наличие барьера приводит к появлению разбегающейся в обе стороны от него "рассеянной волны".

Квантовый гармонический осциллятор:

7.1. Гамильтониан одномерного осциллятора равен , где и удовлетворяют перестановочному соотношению . Определить нормированные волновые функции и уровни энергии осциллятора.

7.2. Частица движется в потенциальном поле (одномерный осциллятор). Определить вероятность нахождения частицы вне классических границ для основного состояния.

7.3. Найти уровни энергии и волновые функции одномерного гармонического осциллятора, помещенного в постоянное электрическое поле . Заряд частицы .

7.4. Найти уровни энергии трехмерного гармонического осциллятора с потенциальной энергией .

7.5. Одномерный гармонический осциллятор находится на -м уровне энергии. Найти для него и среднюю потенциальную энергию.

Частица в центрально-симметричном поле:

8.1. Рассмотреть решение уравнения Шредингера для нейтрона с массой , находящегося в серически-симметричной потенциальной яме радиуса , задаваемой потенциальной энергией (поле ядра). Определить условие, при котором в яме может существовать единственный разрешенный уровень энергии для такого нейтрона.

8.2. Решить уравнение Шредингера для частицы в бесконечно глубокой сферически симметричной потенциальной яме, задаваемой потенциальной энергией Рассмотреть случай .

8.3. Решить уравнение Шредингера для сферически симметричного трехмерного осциллятора с потенциальной энергией . Сравнить с результатами решения задачи 7.4.

8.4. Электрон находится в атоме водорода в основном состоянии. Определить для этого случая средние значения величин , и показать, что наиболее вероятное значение радиуса электронной орбиты равно .

8.5. Показать, что в основном состоянии атома водорода следующие средние значения равны: а) ; б) , где наиболее вероятное значение радиуса электронной орбиты.

8.6. Электрон в кулоновском поле ядра заряда находится в основном состоянии. Показать, что средний электростатический потенциал в пространстве, создаваемый ядром и электроном, равен

, где .

8.7. Считая, что нуклон в легком ядре движется в усредненном потенциальном поле вида , определить число частиц одного сорта (нейтронов или протонов) в заполненных оболочках. Под оболочкой следует понимать совокупность состояний с одним и тем же значением энергии.

8.8. Взаимодействие между протоном и нейтроном можно приближенно описать потенциалом . Найти волновую функцию основного состояния . Найти энергию связи дейтрона, если , .

8.9. Считая, что постоянная -распада и коэффициент прозрачности барьера связаны соотношением , вычислить , если модель потенциала задается следующим образом: при , а при

-частицы взаимодействуют с ядром, заряд которого , по закону Кулона. Принять, что .
Операторы момента импульса:

9.1. Выразить результат преобразования скалярной функции при бесконечно малом вращении системы координат через операторы момента импульса.

9.2. Получить выражения для операторов в сферических координатах, исходя из того, что являются операторами бесконечно малого поворота.

9.3. Непосредственным вычислением в координатном представлении проверить, что для системы из частиц имеют место перестановочные соотношения , где - оператор момента импульса сис темы в целом, а - координаты ее центра масс.

9.4. Полный момент частицы равен , проекция момента на ось z имеет максимальное значение. Определить вероятности различных значений проекции момента на направление, образующее угол с осью z.
Импульсное и энергетическое представления:

10.1. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме (см. задачу 6.2.)в состоянии, отвечающем энергии . Определить вероятность того, что она имеет импульс в интервале от до . Найти распределение вероятностей различных значений импульса для частицы, находящейся в этой яме в -м энергетическом состоянии.

10.2. Решить уравнение Шредингера, т.е. найти волновую функцию для одномерного движения частицы вблизи точки поворота , где , .

10.3. Определить выражения операторов импульса и координаты в представлении, и вычислить коммутатор этих операторов.

Матричные элементы и теория возмущений:

11.1. Найти собственные значения энергии одномерного гармонического осциллятора и матричные элементы координаты и импульса в энергетическом представлении. Найти также матричные элементы операторов и этого осциллятора в энергетическом представлении.

11.2. Найти разрешенные уровни энергии одномерного ангармонического осциллятора с потенциальной энергией , где малые константы.

11.3. Определить матричные элементы дипольного момента, и для частицы в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме, расположенной в области .

11.4. Жесткий плоский ротатор с моментом инерции м дипольным моментом вращается в слабом однородном электрическом поле с напряженностью . Вычислить поправки к энергии ротатора в первом и втором приближениях.

11.5. Некоторый уровень энергии двукратно вырожден и соответствует двум ортогональным волновым функциям и . Известно, что в начальный момент система находится в состоянии с волновой функцией , и включается слабое внешнее возмущение с оператором возмущения , под действием которого система может перейти в состояние с волновой функцией . Найти вероятность того, что в момент времени система окажется в состоянии с волновой функцией .

11.6. Атом водорода в первом возбужденном состоянии помещают во внешнее однородное электрическое поле с напряженностью . Определить расщепление уровней энергии под действием этого поля (линейный эффект Штарка).

11.7. Показать: что для атомов первой группы, у которых уровни энергии определяются значениями квантовых чисел и , линейный эффект Штарка (т.е. расщепление линий во внешнем однородном электрическом поле) отсутствует. Показать, что при помещении атома водорода в однородное электрическое поле энергия состояния с квантовыми числами в линейном по полю приближении не изменяется, а состояния, отличающиеся только знаком проекции момента, имеют одну и ту же энергию.

Вариационные методы решения квантовомеханических задач:

12.1. Параметризуя в основном состоянии атома водорода волновую функцию в виде , где параметр, вычислить с помощью метода Ритца значение энергии в этом состоянии.

12.2. Используя результат предыдущей задачи, и параметризуя волновую функцию электрона в атоме водорода в состоянии в виде , где параметры, вычислить с помощью метода Ритца энергию электрона в этом состоянии.
Операторы спина:

13.1. Найти волновые функции системы из двух частиц со спином, , которые являются собственными функциями коммутирующих операторов квадрата и проекции на ось z суммарного спина.

13.2. Вычислить скалярное произведение спинов двух частиц в триплетном и синглетном состояниях. Спин частицы .

13.3. Система состоит из двух частиц, Спин одной равен 1/2, другой 0. Показать: что при любом законе взаимодействия этих частиц орбитальный момент импульса является сохраняющейся величиной.

13.4. Вычислить квадрат проекции спина на произвольное направление.

13.5. Найти собственные функции и собственные значения операторов и (спиновые матрицы Паули).

13.6. Наиболее общий вид спиновой функции частицы со спином 1/2 в “z”-представлении есть Эта функция описывает такое состояние частицы, в котором вероятность значения проекции спина +1/2 (или -1/2) на ось z равна (или ). Каков будет результат измерения проекции спина на совершенно произвольное направление ?
Движение частицы во внешнем электромагнитном поле:

14.1. Релятивистский бесспиновый мезон с массой и зарядом движется в поле тяжелого кулоновского центра с зарядом . Вычислить разрешенные уровни энергии такого “атома”.

14.2. Водородоподобный атом помещен в слабое внешнее однородное магнитное поле с индукцией . Найти возникшее расщепление энергетических уровней, если , где расстояние между уровнями тонкой структуры.

14.3. На сколько подуровней расщепится первоначально вырожденный уровень энергии, соответствующий водородоподобному атому с квантовыми числами , который помещают во внешнее сильное однородное магнитное поле с индукцией ? Каким будет величина этого расщепления?

14.4. Показать, что в случае наличия магнитного поля для операторов компонент скорости выполняются следующие правила коммутации: ; ; .

14.5. Определить уровни энергии свободного электрона, движущегося в однородном магнитном поле с индукцией , направленном вдоль оси z.

14.6. Определить энергетический спектр заряженной частицы, движущейся в однородном электрическом и однородном магнитном полях, направления напряженности и индукции которых взаимно перпендикулярны.

14.7. Составить вектор плотности тока для частицы с зарядом и массой , движущейся в магнитном поле.

14.8. На электрон, помещенный в центральное поле, дополнительно воздействует однородное магнитное поле с индукцией . Определить стационарные состояния электрона и найти поправки к уровням энергии. Считать электрон нерелятивистским, и не учитывать его спин.

14.9. Пользуясь теорией возмущения, найти поправку к уровням энергии атома водорода за счет релятивистской зависимости массы от скорости (учесть член порядка ).

14.10. Взаимодействие собственного магнитного момента электрона, , с его собственным орбитальным моментом описывается в гамильтониане членом вида . Определить обусловленное этим взаимодействием расщепление энергетических уровней.

Многоэлектронный атом:

15.1. Используя теорию возмущений, вычислить энергию гелиеподобного атома в основном состоянии. Пользуясь полученной формулой определить энергию ионизации атома гелия в основном состоянии.

15.2. Вычислить энергию гелиеподобного атома, используя метод Ритца (параметризовать волновую функцию этого состояния в виде , где координаты электронов, параметр). Получить энергию ионизации атома гелия и сравнить с результатом предыдущей задачи.

15.3. Указать возможные значения полного момента у состояний .

15.4. Какие состояния (термы) могут осуществляться для двух электронов: а) ; б) ; в) ; г) .

15.5. Указать возможные термы следующих конфигураций: а) ; б) ; в) .

15.6. Определить четность основных термов элементов: K , Zn , B , C , N , O , Cl.

15.7. Найти пределы изменения множителя Ланде при заданных значениях и .

15-8. Вывести формулу для оператора спин-орбитального взаимодействия для нуклона в атомном ядре, и с ее помощью рассчитать расщепление энергетического уровня нуклона, находящегося в подоболочке с квантовым числом , за счет спин-орбитального взаимодействия.

Спин в магнитном поле:

16.1. Рассмотреть поведение магнитного момента электрона во внешнем магнитном поле , где , . Движение электрона не учитывать. Определить средние значения проекций магнитного момента электрона на оси координат в данной задаче.

Изменение состояния квантовомеханической системы под внешним воздействием, зависящим от времени:

17.1. Тяжелая частица массы с зарядом пролетает мимо атома водорода на расстоянии , практически не отклоняясь от прямой траектории. Атом первоначально находился в основном состоянии, а на большом удалении частица имела скорость . Получить формулу для вероятности перехода атома водорода в возбужденное состояние с квантовым числом после пролета частицы. Рассмотреть случаи большой и малой скорости .

17.2. Ядро водородоподобного иона с зарядом , находившегося в основном состоянии , испытало распад. Найти вероятность, что образовавшийся атом окажется в первом возбужденном состоянии . Вычислить эту вероятность для иона He и иона Li.

Рассеяние частиц.

18.1. Пучок нейтронов рассеивается на атомном ядре, для которого потенциальная энергия взаимодействия с нейтроном . Найти условие применимости борновского приближения в теории рассеяния.

18.2. В первом борновском приближении определить сечение рассеяния нейтронов на атомном ядре, для которого где радиус ядра. Показать, что условие применимости борновского приближения выполнено.

18.3. Показать, что в первом борновском приближении при рассеянии электронов на точечном кулоновском центре получается классическая формула Резерфорда.

18.4. В первом борновском приближении вычислить дифференциальное сечение рассеяния электронов на ядрах, считая, что плотность электрического заряда ядра сферически симметрична. Полученные результаты применить к случаю, когда заряд распределен по объему ядра с постоянной плотностью и вычислить форм-фактор рассеивающего ядра.

18.5. В первом борновском приближении вычислить дифференциальное сечение рассеяния электронов на экранированном кулоновском потенциале: , где .

18.6. Рассчитать дифференциальное сечение рассеяния в поле отталкивания в борновском приближении и согласно классической механике. Определить пределы применимости полученных формул.

18.7. Используя борновское приближение, найти дифференциальное и полное сечение упругого рассеяния быстрых электронов:

а) атомом водорода; б) атомом гелия.

18.8. Рассчитать сечение упругого рассеяния электрона на электроне и частицы на частице.

Молекула:

19.1. Найти формулу, определяющую электронные термы при взаимодействии атома гелия с атомом водорода при условии, что оба атома находятся в основных состояниях.

19.2. Определить момент инерции и расстояние между ядрами в молекуле , если разность частот двух соседних линий во вращательно-колебательной (инфракрасной) полосе H ¹Cl ³⁵ равна . Вычислить соответствующее в спектре .

19.3. Вычислить отношение разностей энергии между двумя первыми вращательными и двумя первыми колебательными уровнями молекулы HF. Момент инерции молекулы HF равен , а частота колебаний .

19.4. Определить энергию диссоциации молекулы , если энергия диссоциации и нулевая энергия колебания молекулы равняются и соответственно.

19.5. Для аппроксимации хода кривой потенциальной энергии двухатомной молекулы часто используется функция ; , предложенная Морзе. Определить энергетический спектр колебаний при .

19.6. Молекулы, имеющие две или несколько осей симметрии третьего или более высокого порядка (например, CH₄). Представляют сферический волчок. У таких молекул эллипсоид инерции вырождается в сферу . Определить уровни энергии сферического волчка.

19.7. Определить зеемановское расщепление терма двухатомной молекулы; терм относится к случаю а. Магнитное поле предполагается малым, т.е. энергия взаимодействия спина с внешним магнитным полем мала по сравнению с разностью энергий между последовательными вращательными уровнями.

19.8. Определить расщепление в электрическом поле терма двухатомной молекулы, имеющей постоянный дипольный момент . Расщепляемый терм относится к случаю а.

19.9. При помощи теории возмущений определить закон взаимодействия двух невозбужденных атомов водорода, находящихся на большом расстоянии друг от друга.

19.10. Рассмотреть прямым вариационным методом задачу дейтрона. Потенциальная энергия взаимодействия между протоном и нейтроном задается как . В качестве приближенной волновой функции взять Найти связь между параметрами и , при которой для энергии получается экспериментально установленное значение (считать, что .

19.11. Вращение большого класса молекул можно трактовать как вращение твердого тела, если не учитывать колебания ядер и даижения электронов. Пусть молекула имеет форму симметричного волчка с моментом инерции относительно оси молекулы и моментом инерции относительно любой из перпендикулярных осей: проходящих через ее центр масс. Исходя из классической функции Гамильтона, получить уравнение Шредингера для свободных вращений и определить собственные значения энергии.

19.12. Два атома водорода, находящиеся в основном состоянии, расположены на расстоянии друг от друга. Считая ядра атомов покоящимися, показать, что в первом порядке теории возмущений энергия взаимодействия атомов равна нулю, и что учет второго порядка теории возмущений приводит к силам притяжения Ван-дер-Ваальса. В той части гамильтониана, которая ответственна за взаимодействие, оставить только главные члены, пропорциональные наинизшей отрицательной степени .

19.13. Найти энергию основного состояния и равновесный размер нейтральной молекулы водорода.