Министерство образования республики Беларусь
Белорусский национальный технический
университет
Кафедра физики
Изучение температурной зависимости сопротивления полупроводника
Методические указания к лабораторной работе по физике
для студентов строительных специальностей
Минск 2007
УДК 537.311.322 (076.5)
ББК 22.3я7
И 39
Составители: В.С. Позняк, В.В. Павлюченко
Рецензенты: А.А. Баранов, Е.А. Шашков
Рассмотрены вопросы зонной теории твердых тел, электрической проводимости собственных и примесных полупроводников. Изложен метод определения температурной зависимости сопротивления полупроводника и температурного коэффициента. Даны понятия энергии и уровня Ферми.
© Позняк В.С., Павлюченко В.В.
составление, 2007
© БНТУ, 2007
Лабораторная работа
Изучение температурной зависимости
сопротивления полупроводника.
Цель работы: 1. Ознакомиться с зонной теорией твердых тел, с электропроводностью собственного и примесного полупроводников.
2. Изучить температурную зависимость сопротивления полупроводника и определить температурный коэффициент сопротивления изучаемого полупроводника при комнатной температуре и при 100С.
Приборы и принадлежности: исследуемый полупроводник, нагреватель с воздушной баней, термометр, универсальный цифровой прибор – мультиметр ВР-11.
1. Понятие о зонной теории твердых тел.
В классической теории металлов считается, что электроны проводимости могут обладать любыми значениями энергии. Согласно квантовой теории энергия электронов в любом кристаллическом теле, как и энергия электронов в атоме, квантуется, т.е. она может принимать лишь дискретные (разделенные определенными промежутками) значения, соответствующие так называемым энергетическим уровням. Дозволенные уровни энергии в кристалле группируются в зоны.
В изолированном атоме каждый электрон обладает одним из разрешенных значений энергии, т.е. занимает один из дозволенных энергетических уровней. Кроме этого электроны подчиняются принципу запрета Паули, который гласит, что в любой квантовой системе (атоме, молекуле, кристалле и т.д.) на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов, причем собственные моменты (спины) электронов, занимающих одновременно один и тот же уровень, должны иметь противоположные направления. На рис. 1 схематически показано размещение электронов по уровням в основном состоянии атома, имеющего пять электронов. Стрелки указывают направления спинов.
Ч
Рис. 1
тобы понять происхождение зон, рассмотрим воображаемый процесс объединения атомов в кристалл. Пока атомы изолированы друг от друга, они имеют полностью совпадающие схемы энергетических уровней. Заполнение уровней электронами осуществляется в каждом атоме независимо от заполнения аналогичных уровней в других атомах.
По мере сближения атомов в процессе образования кристаллической решетки между ними возникает все усиливающееся взаимодействие, которое приводит к изменению положения уровней. Вместо одного одинакового для всех N атомов уровня возникает N очень близких, но не совпадающих уровней. Таким образом, каждый уровень изолированного атома расщепляется в кристалле на N густо расположенных уровней, образующих полосу или зону. N – порядка числа Авогадро N А = 6,021023 моль–1.
На рис. 2 показано расщепление уровней энергии изолированных атомов при их сближении как функция расстояния r между атомами и образование энергетических зон твердого тела.
Рис. 2
Отмеченные на рисунке значения r1 и r2 соответствуют расстояниям между атомами в двух различных кристаллах. Из схемы видно, что возникающее в кристалле расщепление уровней, занятых внутренними электронами, очень мало. Заметно расщепляются лишь уровни, занимаемые валентными электронами. Такому же расщеплению подвергаются и более высокие уровни, не занятые электронами в основном состоянии атома. При достаточно малых расстояниях между атомами может произойти перекрывание зон, соответствующих двум соседним уровням атома (см. пунктирную прямую, соответствующую расстоянию r2 между атомами). Число уровней в такой слившейся зоне равно сумме количеств уровней, на которые расщепляются оба уровня атома.
На основании расщепления уровней можно сказать, что внутренние электроны атомов твердого тела ведут себя практически так же, как и в изолированных атомах, а внешние (валентные) электроны коллективизированы: они принадлежат всему твердому телу, а не отдельным атомам. Энергия валентных электронов может находиться только в пределах заштрихованных областей, называемых разрешенными энергетическими зонами. Эти зоны разделяются промежутками, называемыми запрещенными зонами.
К зонной теории приводит в принципе решение основного уравнения динамики в нерелятивистской квантовой механике – уравнение Шредингера, описывающего поведение квантомеханической системы кристалла. Но поскольку как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц, то эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущимся в заданном внешнем поле.
2. Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории.
Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.
Наибольший интерес с точки зрения электропроводности твердых тел представляют валентные электроны и соответствующие для них разрешенные зоны.
Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. Если при этом какой-то энергетический уровень полностью заполнен, то образующаяся энергетическая зона также заполнена целиком.
Валентные электроны заполняют попарно уровни разрешенной зоны, возникшей из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома. Эта полностью заполненная зона (бывает частично заполненная) называется валентной. Более высокие разрешенные зоны будут от электронов свободны. Свободная зона, являющаяся соседней по отношению к валентной зоне, называется зоной проводимости.
Если валентная зона не полностью занята электронами или валентная зона частично перекрывается с зоной проводимости, то такие твердые тела являются металлами (рис. 3)
Рис. 3
Частичное заполнение валентной зоны (в случае металла ее называют зоной проводимости) может произойти, если на последнем занятом уровне в атоме находится только один электрон.
Если полностью заполненная валентная зона отделена запрещенной зоной от зоны проводимости, то твердое тело является диэлектриком (изолятором) или полупроводником. Различие лишь в том, что ширина запрещенной зоны у диэлектриков значительно больше ширины этой зоны у полупроводников (рис. 4).
Электроны в кристаллах могут переходить из одной разрешенной зоны в другую, а также совершать переходы внутри одной и той же зоны. Для перехода из валентной зоны в зону проводимости нужно затратить энергию, равную ширине запрещенной зоны W (W ~ нескольких электронвольт). Для перехода внутри разрешенной зоны требуется весьма малая энергия.
У диэлектриков запрещенная зона порядка 6 эВ. Следовательно, внешнее электрическое поле не может перевести электроны из целиком заполненной валентной зоны в зону проводимости, т.е. заставить двигаться электроны в определенном направлении и создать электрический ток.
В металлах же, вследствие малости энергетического расстояния между соседними уровнями (~ 10-23 эВ), под действием даже малого внешнего электрического поля электроны способны переходить на соседние свободные уровни, образуя электрический ток.
3. Собственная проводимость полупроводников и температурная зависимость сопротивления полупроводников.
По величине электрической проводимости полупроводники занимают промежуточное положение между металлами и изоляторами. Однако характерным для них является не величина проводимости, а то, что их проводимость растет с повышением температуры (у металлов она уменьшается). Типичными представителями полупроводников являются германий, кремний, теллур, селен и др. Полупроводниками являются также оксиды, сернистые соединения (сульфиды), соединения металлов с селеном (селениды). Ширина запрещенной зоны у чистых полупроводниковых материалов около 1 эВ.
П
роводимость чистых полупроводников (собственная проводимость) возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости (рис. 5). При этом в зоне проводимости появляется некоторое число носителей тока – электронов, занимающих уровни вблизи дна зоны; одновременно в валентной зоне освобождается такое же число мест на верхних уровнях. Такие свободные от электронов места на уровнях заполненной при абсолютном нуле валентной зоны называются дырками. На освободившееся от электрона место – дырку – может переместиться электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, откуда ушел электрон, и т.д. Такой процесс заполнения дырок электронами равносилен перемещению дырки в направлении, противоположном движению электрона, так, как если бы дырка обладала положительным зарядом, равным по величине заряду электрона. В отсутствие внешнего электрического поля электроны проводимости и дырки движутся хаотически. Важно заметить, что дырка – квазичастица, она не может в отличие от электрона существовать в вакууме.
Переход электронов из валентной зоны в зону проводимости достигается путем сообщения им добавочной энергии W, не меньшей ширины запрещенной зоны. Если W не очень велика, то дополнительная энергия может быть получена за счет тепловой или лучистой энергии.
Электроны, перешедшие в зону проводимости, а также образовавшиеся в валентной зоне в таком же числе дырки, являются носителями тока.
В физике твердого тела доказывается, что распределение электронов, учитывающее принцип запрета Паули, описываемое функцией Ферми, переходит в области больших энергий (намного бóльших kT) в распределение Больцмана. В итоге получено, что вероятность заполнения электронами нижних уровней в зоне проводимости можно находить по формуле
(1)
где W – ширина запрещенной зоны, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.
Количество электронов, перешедших в зону проводимости, будет пропорционально вероятности (1). Поскольку эти электроны, а также образовавшиеся дырки, являются носителями тока, и поскольку проводимость пропорциональна числу носителей, то она должна быть пропорциональна выражению (1). Следовательно, электропроводимость полупроводников быстро растет с температурой, изменяясь по закону
(2)
где – удельная электрическая проводимость собственных полупроводников, 0 – постоянная, характерная для данного полупроводника.
Отвлекаясь от квантовых представлений, рассмотрим механизм электропроводности собственных полупроводников на примере кремния. Атомы кремния или германия имеют во внешнем электронном слое по четыре электрона, которые называют валентными. Эти четыре электрона связаны с ядром атома слабее остальных электронов. Упрощенная плоская схема расположения атомов кремния в кристалле показана на рис. 6. Связь двух соседних атомов обусловлена парой электронов, образующих ковалентную связь (парноэлектронную связь). Сущность такой связи состоит в том, что ядро каждого атома в кристалле взаимодействует не только с собственными валентными электронами, но и с валентными электронами соседних атомов. На рис. 6 кружки со знаком «Si» обозначают положительно заряженные ядра кремния, кружки со знаком «–» – валентные электроны, двойные линии – валентные связи.
Рис. 6
Когда при низких температурах все валентные электроны участвуют в образовании связей между атомами, то они не могут участвовать в образовании электрического тока в кристалле. С повышением температуры тепловое движение может разорвать отдельные связи, освободив один электрон (такой случай показан на рис. 6). Разрыву ковалентной связи на энергетической схеме соответствует переход электрона из валентной зоны в зону проводимости. Покинутое электроном место перестает быть нейтральным, в его окрестности возникает избыточный положительный заряд +е – образуется дырка. На это место может перескочить электрон одной из соседних пар. В результате дырка начнет также странствовать по кристаллу, как и освободившийся электрон. С увеличением температуры число электронов проводимости, а следовательно и дырок, увеличивается.
В отсутствие электрического поля электроны проводимости и дырки движутся хаотически. При включении поля на хаотическое движение накладывается упорядоченное движение: электронов против поля и дырок – в направлении поля. Направленное движение электронов и дырок приводит к переносу заряда, т.е. к образованию электрического тока.
Проводимость полупроводника, обусловленная движением электронов в зоне проводимости, называется электронной проводимостью. Проводимость, обусловленная движением дырок в валентной зоне, называется дырочной проводимостью. В чистых полупроводниках существует одновременно электронная и дырочная проводимости. Такого рода проводимость называется собственной.
В полупроводниках наряду с процессом генерации электронов и дырок идет процесс рекомбинации: электроны переходят из зоны проводимости в валентную, отдавая энергию решетке и испуская кванты электромагнитного излучения. В результате для каждой температуры устанавливается определенная равновесная концентрация электронов и дырок, изменяющаяся с температурой согласно выражению (1).
В полупроводнике на носители заряда (электроны проводимости и дырки) действует не только внешнее электрическое поле, но также еще и периодическое внутреннее электрическое поле кристалла. Действие поля кристалла можно учесть введением понятия эффективная масса электрона проводимости 
и дырки 
. Эта масса вводится так, чтобы в ней учитывалось действие, например, на электрон внутреннего поля кристалла, и чтобы можно было считать, что электрон с эффективной массой движется только под влиянием одного внешнего поля.
Удельная электрическая проводимость и удельное сопротивление связаны между собой соотношением
. (3)
Имея в виду (2), видим, что удельное сопротивление и, следовательно, сопротивление R полупроводников с ростом температуры уменьшается по экспоненциальному закону (рис. 7). Все это хорошо согласуется с экспериментом.
4. Определение температурного коэффициента сопротивления полупроводников.
Поскольку квантовая и классическая механика дают экспоненциальную зависимость удельного сопротивления от температуры для чистого полупроводника, то в дальнейшем воспользуемся результатом классической механики. Зависимость удельного сопротивления от температуры в не слишком широком температурном интервале согласно классической механике можно выразить следующим экспоненциальным законом
, (4)
где А1 и В – постоянные, зависящие от физических свойств полупроводника, Т – термодинамическая температура Кельвина. Подставив значение Т в формулу сопротивления 
, получим
, (5)
где RТ – сопротивление полупроводника при температуре Т. Постоянная 
зависит от природы полупроводника и размеров образца.
Если написать формулу (5) для двух температур и разделить уравнения по частям, то получим выражение
, (6)
из которого можно найти постоянную В. Прологарифмировав выражение (6), получим
,
откуда находим
(7)
Когда постоянная В определена для данного полупроводника, удобнее для практических целей пользоваться формулой
(8)
которая позволяет находить сопротивления полупроводника при любой температуре, зная его сопротивление для какой-нибудь одной температуры.
В общем случае температурный коэффициент сопротивления определяется уравнением
(9)
Продифференцировав уравнение (5) и подставив значение в формулу (9), получим
. (10)
Из уравнения (10) следует, что температурный коэффициент определяется постоянной В и сильно зависит от температуры. Поэтому в случае полупроводника имеет смысл вычислять только для определенных температур.
5. Примесная проводимость полупроводников.
Электрические свойства полупроводников существенно зависят также от наличия примесей. Примеси обычно усиливают электропроводность полупроводника, причем одни примеси усиливают электронную проводимость, другие – дырочную проводимость. Следовательно, введением примесей можно изменить механизм электропроводности полупроводника.
Под примесями подразумевают как атомы или ионы посторонних элементов, так и различного рода дефекты и искажения в кристаллической решетке. К дефектам относятся, например, вакансии в узлах (отсутствие атомов, ионов), сдвиги, возникающие при деформациях кристалла, трещины и т.п. Все эти примеси и включения вносят дополнительные изменения в периодическое поле кристалла и влияют на поведение электронов и их энергетические состояния. Если в основную кристаллическую решетку полупроводника вносятся примесные атомы, то независимо от того, где эти атомы располагаются, энергетические состояния их валентных электронов не размещаются в разр
ешенных энергетических зонах основного кристалла. В результате наличия примесей возникают примесные энергетические уровни, расположенные в запрещенной зоне.
Рассмотрим решетку четырехвалентного германия с примесью пятивалентных атомов фосфора (рис. 8, а). Четыре электрона фосфора образуют ковалентные связи с соседними атомами германия, а пятый валентный электрон оказывается как бы лишним и легко отщепляется от атома за счет энергии теплового движения, образуя странствующий свободный электрон. В результате отщепления электрона не происходит нарушения ковалентных связей, т.е. дырка не образуется. Следует отметить, что в окрестности атома примеси возникает избыточный положительный заряд, но он связан с атомом и перемещаться по решетке не может. Таким образом, в полупроводнике с пятивалентной примесью имеется только один вид носителей тока – электроны. Соответственно говорят, что такой полупроводник обладает электронной проводимостью или является полупроводником n-типа (от слова negativ – отрицательный). Атомы примеси, поставляющие электроны, называются донорами.
Донорные примеси искажают поле решетки, что приводит к возникновению на энергетической схеме локальных уровней, расположенных в запрещенной зоне кристалла, недалеко от дна зоны проводимости (рис. 8, б). В этом случае энергия теплового движения даже при обычных температурах оказывается достаточной для того, чтобы перевести электрон с донорного уровня в зону проводимости. Этому процессу соответствует отщепление пятого валентного элеткрона от атома примеси.
При наличии электрического поля отщепленные электроны будут двигаться направлено и против поля, образуя электрический ток.
Далее рассмотрим еще условно решетку четырехвалентного кремния с примесью трехвалентных атомов бора (рис. 9, а). Трех валентных электронов атома бора недостаточно для образования связей со всеми четырьмя соседями. Поэтому одна из связей окажется неукомплектованной и будет представлять собой место, способное захватить электрон. при переходе на это место электрона одной из соседних пар возникает дырка, которая будет кочевать по кристаллу. Заметим, что имеющийся вблизи атома примеси избыточный отрицательный заряд связан с данным атомом и не может стать носителем тока. таким образом, в полупроводнике с трехвалентной примесью возникают носители тока только одного знака – дырки. Проводимость в этом случае называется дырочной, а полупроводник принадлежит к р-типу (от слова positiv – положительный). Примеси, вызывающие возникновение дырок, называются акцепторными.
Н
Рис.9
а схеме уровней (рис. 9, б) акцепторные уровни расположены недалеко от потолка валентной зоны в запрещенной зоне. Образованию дырки отвечает переход электрона из валентной зоны на акцепторный уровень (рис. 9, б).
Итак, в отличие от собственной проводимости, осуществляющейся одновременно электронами и дырками, примесная проводимость полупроводников обусловлена в основном носителями одного знака: электронами – в случае донорной примеси, дырками – в случае акцепторной. Эти носители тока называются основными. Кроме основных носителей в полупроводнике имеются и неосновные носители: в полупроводнике n-типа – дырки, в полупроводнике р-типа – электроны.
Следует еще отметить, что с ростом температуры концентрация примесных носителей тока быстро достигает насыщения, т.е. практически освобождаются все донорные или заполняются электронами все акцепторные уровни. Но вместе с этим все больше начинает сказываться собственная проводимость полупроводника, обусловленная переходом электронов непосредственно из валентной зоны в зону проводимости.
При помещении полупроводника р-типа в электрическое поле дырки в нем будут перемещаться по полю, образуя электрический ток.
6. Об уровне Ферми в полупроводниках.
В квантовой теории при рассмотрении электропроводности твердого тела используются понятия энергия Ферми и уровень Ферми. В металле под энергией Ферми WF понимается максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости при 0 К.
Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми WF, которую имеют электроны на этом уровне.
В собственном полупроводнике уровень Ферми находится на середине запрещенной зоны, т.е.
. (11)
Действительно, для переброса электрона с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости затрачивается энергия активации, равная ширине запрещенной зоны W. При появлении же электрона в зоне проводимости в валентной зоне обязательно возникает дырка. Следовательно, энергия, затраченная на образование пары носителей тока, должна делиться на две равные части. Так как энергия, соответствующая половине ширины запрещенной зоны, идет на переброс электрона и такая же энергия затрачивается на образование дырки, то начало отсчета для каждого из этих процессов должно находиться в середине запрещенной зоны. Энергия Ферми в собственном полупроводнике представляет собой энергию, от которой происходит возбуждение электронов и дырок.
Наличие примесных уровней в полупроводниках существенно изменяет положение уровня Ферми WF. Расчеты показывают, что в случае полупроводника n-типа уровень Ферми WF0 при 0 К расположен посередине между зоной проводимости и донорными уровнями (рис. 10). С повышением температуры все большее число электронов переходит с донорных состояний в зону проводимости, но, помимо этого, возрастает и число тепловых флуктуаций, способных возбуждать электроны из валентной зоны и перебрасывать их через запрещенную зону энергий. Поэтому при высоких температурах уровень Ферми имеет тенденцию смещаться вниз (рис. 10 – сплошная кривая) к своему предельному положению в центре запрещенной зоны, характерному для собственного полупроводника.
Уровень Ферми в полупроводниках р-типа при 0 К WF0 располагается посередине между потолком валентной зоны и акцепторными уровнями (рис. 11). Сплошная кривая опять-таки показывает его смещение с повышением температуры. При температурах, при которых примесные атомы оказываются истощенными и увеличение концентрации носителей происходит за счет возбуждения собственных носителей, уровень Ферми располагается посередине запрещенной зоны, как и в собственном полупроводнике.
7. Описание и схема установки.
Установка состоит из электрического нагревателя и воздушной бани, а также измерительного прибора. Схема установки показана на рис. 12.
Рис. 12
Исследуемый образец R1 или R2 размещается внутри бани на штыревом держателе. Для измерения температуры в бане на уровне образца используется жидкостный термометр с ценой деления 2С. Регулировка нагревателя осуществляется реостатом, встроенным в корпусе нагревателя. Для измерения сопротивления образца используется универсальный цифровой прибор – мультиметр ВР-11.
8. Подготовка установки к работе.
Закрыть печь, подключить нагреватель к сети переменного тока напряжением 220 В и дать ему прогреться в течение 3 минут.
Подготовить мультиметр к работе. Для этого переключатель рода работ поставить в положение к, переключатель пределов измерения в положение 2, вставить вилку шнура питания в розетку цепи, прогреть прибор в течение двух минут.
9. Порядок выполнения работы.
Измерить сопротивление полупроводника при температурах 30130С. Полученные данные занести в таблицу:
-
t, С
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
R, Ом
После измерений нагреватель отключить и открыть его дверцу, а также отключить мультиметр.
Построить график зависимости сопротивления полупроводника от температуры
.
По формуле (7)
вычислить постоянную В и по формуле
определить температурный коэффициент сопротивления изучаемого полупроводника при 30С и при 100С. При вычислениях в указанные формулы подставлять термодинамическую температуру Кельвина (в К).
Вопросы к зачету.
Объяснить сущность зонной теории твердых тел.
Объяснить с точки зрения зонной теории деление твердых тел на металлы, диэлектрики и полупроводники.
В чем состоит механизм собственной электрической проводимости полупроводников?
Как зависят электропроводность и сопротивление полупроводника от температуры? Нарисовать график.
Почему вводят понятия эффективной массы электрона проводимости и дырки?
Вывести формулу для температурного коэффициента сопротивления полупроводника.
Какие примеси называются донорными и акцепторными?
В чем состоит механизм проводимости полупроводника n-типа?
В чем состоит механизм проводимости полупроводника р-типа?
Какие носители заряда являются основными в полупроводниках n-типа и р-типа, а какие – неосновными?
Объяснить понятия энергии и уровня Ферми в полупроводниках.
Л и т е р а т у р а
Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1999. §§240-243.
Савельев И.В., Курс общей физики. М.: Наука, 1973, т. 2.§§71,72.
Учебное издание
Изучение температурной зависимости
сопротивления полупроводника
Методические указания к лабораторной работе по физике
для студентов строительных специальностей
Составители:
Позняк Владимир Сергеевич
Павлюченко Владимир Васильевич
Смотрите также: