К.С. Чистов

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
ПОСТАНОВКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ВЫДЕЛЕНИЯ ЛЕЙКОЦИТОВ НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ ПРЕПАРАТОВ КРОВИ В КОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМАХ ГЕМАТОЛОГИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ
О математической модели выделения лейкоцитов на изображении препарата крови при диагностике острого лейкоза.

Рассмотрим математическую модель выделения лейкоцитов на изображении препарата крови. Проведенный анализ объектной среды показал, что в мазке крови содержатся разнообразные элементы крови, наряду с ними в изображении мазка могут присутствовать и артефакты – некие объекты, в сущности не принадлежащие крови, а образовавшиеся в процессе приготовления препарата – частицы грязи, царапины и др. Отразим это в следующей модели. Введем понятие связного множества.

Точки (х₁, y₁)  X x Y и (х₂, y₂)  X x Y будем называть смежными, если |х₁ — х₂| + |y₁ — y₂| = 1. Будем называть S связным множеством, если S  Х х Y, S  ,  (х₁, y₁)  S и (х₂, y₂)  S  {(x_i, y_i), ... , (x_i+n, y_i+n)}  S: (х₁, y₁) и (x_i, y_i) — смежные точки, (х₂, y₂) и (x_i+n, y_i+n) — смежные точки, и  k  0 и k < n (x_i+k, y_i+k) и (x_i+k+1, y_i+k+1) – смежные точки.

Определим следующие отображения:

1) Предположим, что в анализируемом мазке крови имеется M лейкоцитов, тогда цифровой образ лейкоцитов опишем отображением G: X x Y  {G_m}, где G_m – связное множество, m  {1, …, M}, любая точка (x, y), принадлежащая G_m, находится внутри m-го лейкоцита, при этом любая точка (x, y) , находящаяся внутри m-го лейкоцита, принадлежит G_m (необходимое и достаточное условие принадлежности точки изображения области, соответствующей лейкоциту).

2) Предположим, что в анализируемом мазке крови имеется V эритроцитов, тогда цифровой образ эритроцитов формируется отображением E: X x Y  {E_v}, где E_v – связное множество, v  {1, …, V}, любая точка (x, y), принадлежащая E_v, находится внутри v-го лейкоцита, в то же время любая точка (x, y) , находящаяся внутри v-го лейкоцита, принадлежит E_v (необходимое и достаточное условие принадлежности точки изображения области, соответствующей эритроциту).

3) Предположим, что в анализируемом мазке крови имеется W артефактов, тогда цифровой образ артефакта представим отображением

A: X x Y  {A_w}, где A_w – связное множество, w  {1, …, W}, любая точка (x, y), принадлежащая A_w, находится внутри w-го артефакта, а любая точка (x, y) , находящаяся внутри w-го артефакта принадлежит A_w.

4) Цифровой образ фона зададим отображением F: X x Y  {F_z}, где F_z – связное множество, z  {1, …, Z}, Z – число областей препарата, образующих связные множества, каждое из которых не пересекается с объединением {G_m}  {E_v}  {A_w}, а  (x, y)  X x Y и (x, y)  {G_m}  {E_v}  {A_w}  F_z: (x, y)  F_z.

Исходя из анализа существующих методик микроскопического визуального анализа, определим требования к формированию выборки изображений препаратов крови для автоматизированного анализа в терминах предложенной модели. При съемке множества цифровых кадров {Н_p} должно быть обеспечено выполнение следующих требований:

Т1) dim{G_m}=100.

Т2) m G_m  (H₁  …  Н_Р) = .

Т3)  i  j/(G_i  {H_p} и G_j  {H_p}) G_i  G_j = .

Т4) (E₁  …  E_V  A₁  …  A_W)  (G₁  …  G_M) = .

Выполнение требования Т1 обеспечивает формирование представительной выборки лейкоцитов, объем которой соответствует методике анализа мазков крови, применяемой в современной медицинской практике. Выполнение требований Т2-Т4 обеспечивает условия, в которых возможен корректный анализ структуры ядра и цитоплазмы лейкоцитов, и в первую очередь структуры хроматина ядра, тип которой является одним из существенных признаков для идентификации бластов.

Таким образом, задача выделения лейкоцитов при автоматизированном анализе мазка крови сводится к решению математической задачи поиска отображения G: X x Y  {G_m}, удовлетворяющего вышеперечисленным требованиям.