Главная страница 1

Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет математики

Программа дисциплины

«Введение в симплектическую геометрию»


Направление:

010100.68 «Математика»

Подготовка:

магистр

Форма обучения:

очная

Автор программы: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман





Рекомендовано







секцией УМС по математике







Председатель







_____________________________________







«___» ________________________2009 г.

























Утверждена УС




Одобрена на заседании

факультета математики




кафедры геометрии и топологии

Ученый секретарь доцент




Зав. кафедрой, академик

_________________________Ю.М.Бурман





_______________________В.А.Васильев



«___» ________________________2008 г.




«___» ______________________2008 г.

Москва


2008

Рабочая программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» [Текст]/Сост. Ю.М.Бурман; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с.


Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».

Составитель: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман (burman@mccme.ru)




©

Ю.М.Бурман, 2008.

©

Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.


Тематический план учебной дисциплины


Название темы


Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя-тельная

работа


Лекции

Семинарские занятия

1

Основные примеры симплектических и контактных многообразий

16

2

2

12

2

Локальная симплектическая и контактная геометрия.

16

2

2

12

3

.Пуассоновы структуры

24

4

4

16

4

Сиплектические и гамильтоновы действия

20

2

2

16

5

Лагранжевы и лежандровы особенности.

16

2

2

12

6

Почти комплексные структуры. Симплектические емкости и теорема о несжимаемости шара.

16

2

2

12

Итого

108

14

14

80


Базовые учебники

  1. Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.

  2. В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.

  3. Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.



Формы контроля


Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.

Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.

Итоговый контроль: зачет в виде письменной работы, 3 часа.

Итоговая оценка


Итоговая оценка вычисляется по формуле: ½ оценки за зачетную работу + ¼ оценки за контрольную работу + ¼ совокупной оценки за семинарские занятия. Оценка ниже 4 баллов считается неудовлетворительной.

Содержание программы
Тема 1. Основные примеры симплектических и контактных многообразий
Кокасательное расслоение, комплексные алгебраические многообразия, расслоение струй, скобка Кириллова. Лагранжевы подмногообразия и производящие семейства.

Основная литература


  1. Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.

  2. В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.



Дополнительная литература


  1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.

Тема 2. Локальная симплектическая и контактная геометрия.


Взаимосвязь симплектической, контактной и гамильтоновой структур. Нормальные формы: теоремы Дарбу и Дарбу–Вайнстейна.

Основная литература


  1. Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.



Дополнительная литература


  1. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.

Тема 3. Пуассоновы структуры


Понятие пуассоновой скобки. Симплектическая структура на орбитах коприсоединенного представления. Интегрируемость распределения ядер пуассоновой скобки. Симплектические листы.

Основная литература

  1. Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.

Дополнительная литература


1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.

2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.


Тема 4. Сиплектические и гамильтоновы действия.
Понятие симплектического действия. Симплекстический коцикл и гамильтоново действие. Отображение моментов для действия тора. Законы сохранения в механике (теорема Нетер). Отображение моментов для действия произвольной группы Ли. Гамильтонова редукция.
Основная литература


  1. Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.

Дополнительная литература

1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.


Тема 5. Лагранжевы и лежандровы особенности.
Общее понятие о классификации особенностей: изолированные особенности, простые особенности, модули. Примеры типичных лагранжевых и лежандровых особенностей. Классификация лагранжевых особенностей в малых размерностях. Гипотеза об инверсии эллипса.
Основная литература

  1. В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.

  2. Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.



Дополнительная литература




  1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.

  2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.

Тема 6. Почти комплексные структуры.


Простейшие симплектические инварианты: симплектические емкости. Почти комплексные cтруктуры, совместимые с данной симплектической. Псевдоголоморфные кривые, инварианты Громова-Виттена. Вычисление инвариантов Громова-Виттена в простейших случаях. Теорема Громова о несжимаемости шара.

Основная литература


  1. Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.

  2. В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.



Дополнительная литература


  1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.

Тематика заданий по различным формам контроля

Вариант контрольной работы




  1. Какова размерность пространства левоинвариантных 2-форм на SU(3)? Есть ли среди этих форм симплектические?

  2. Продолжается ли стандартная контактная структура R3 (заданная 1-формой dz + xdy) до контактной структуры на трехмерной сфере?

  3. Пуассонова скобка в R4 задана равенствами {x1, x2} = -((x3)2+(x4)2), {x1, x3} = x2x3, {x1, x4} = x2x4, {x2, x3} = -x1x3, {x3, x4} = 0, {x2, x4} = x1x4. Найдите ее симплектические листы.



Вариант зачетной работы




  1. Множество лагранжевых подпространств в R4 со стандартной симплектической структурой – подмногообразие G_+(2,4) = S2 x S2. Какой класс гомологий оно там представляет?

  2. Механическая система выдерживает сдвиги вдоль спиральной линии x = cos z, y = sin z. Найдите соответствующий первый интеграл движения.

  3. На пространстве CP2 действует окружность по правилу t, [z1:z2:z3] -> [tz1: t2z2: t3z3]. Докажите, что действие является гамильтоновым, и опишите результат гамильтоновой редукции.

  4. Как распадается на складки и сборки особенность z = 0 при шевелении отображения z -> z2?

  5. Докажите, что на четырехмерной сфере не существует почти комплексных структур.


Автор программы

доцент

Ю.М.Бурман



Смотрите также:
Секцией умс по математике
79.33kb.
Рекомендована секцией умс одобрена на заседании кафедры
160.94kb.
Рекомендована секцией умс одобрена на заседании кафедры
208.15kb.
«Кенгуру» это международная игра-олимпиада по математике. Для участия в этой олимпиаде мы, учителя математики, провели соответствующую организационную работу
11.32kb.
Резолюция, принятая Секцией на семинаре в августе 2009 г
303.12kb.
Тематическое планирование учебного материала по математике для профильных класс
55.54kb.
Основы гуманитарной географии: Учебное пособие / Ю. Н. Голубчиков. М.: Инфра-м, 2015. 364 с.: 60x90 1/16.
58.76kb.
23 октября 1940 года в городе Иман Приморского края
13.83kb.
Математическая индукция в математике один из методов доказательства. Его можно описать следующим образом
320.46kb.
Использование теории множеств в различных отраслях знаний
56.07kb.
Кружок по математике, 218 школа, 10 класс, 25 октября 2003 г
20.14kb.
Занятия в заочной школе юных математиков «Малый Мехмат» одно из эффективных направлений работы по подготовке школьников к олимпиадам по математике
102.11kb.