Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный университет – Высшая школа экономики

Факультет математики

Программа дисциплины

«Введение в симплектическую геометрию»

Направление:	010100.68 «Математика»
Подготовка:	магистр
Форма обучения:	очная

Автор программы: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман

Рекомендовано
секцией УМС по математике
Председатель
_____________________________________
«___» ________________________2009 г.
Утверждена УС		Одобрена на заседании
факультета математики		кафедры геометрии и топологии
Ученый секретарь доцент		Зав. кафедрой, академик
_________________________Ю.М.Бурман		_______________________В.А.Васильев
«___» ________________________2008 г.		«___» ______________________2008 г.

Москва

2008

Рабочая программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» [Текст]/Сост. Ю.М.Бурман; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с.

Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».

Составитель: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман (burman@mccme.ru)

©	Ю.М.Бурман, 2008.
©	Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.

Тематический план учебной дисциплины

№	Название темы	Всего часов	Аудиторные часы		Самостоя-тельная работа
			Лекции	Семинарские занятия
1	Основные примеры симплектических и контактных многообразий	16	2	2	12
2	Локальная симплектическая и контактная геометрия.	16	2	2	12
3	.Пуассоновы структуры	24	4	4	16
4	Сиплектические и гамильтоновы действия	20	2	2	16
5	Лагранжевы и лежандровы особенности.	16	2	2	12
6	Почти комплексные структуры. Симплектические емкости и теорема о несжимаемости шара.	16	2	2	12
Итого		108	14	14	80

Базовые учебники

1. 
   Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
   
2. 
   В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
   
3. 
   Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.
   

Формы контроля

Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.

Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.

Итоговый контроль: зачет в виде письменной работы, 3 часа.

Итоговая оценка

Итоговая оценка вычисляется по формуле: ½ оценки за зачетную работу + ¼ оценки за контрольную работу + ¼ совокупной оценки за семинарские занятия. Оценка ниже 4 баллов считается неудовлетворительной.

Содержание программы
Тема 1. Основные примеры симплектических и контактных многообразий
Кокасательное расслоение, комплексные алгебраические многообразия, расслоение струй, скобка Кириллова. Лагранжевы подмногообразия и производящие семейства.

Основная литература

1. 
   Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
   
2. 
   В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
   

Дополнительная литература

1. 
   В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
   

Тема 2. Локальная симплектическая и контактная геометрия.

Взаимосвязь симплектической, контактной и гамильтоновой структур. Нормальные формы: теоремы Дарбу и Дарбу–Вайнстейна.

Основная литература

1. 
   Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
   

Дополнительная литература

1. 
   Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
   

Тема 3. Пуассоновы структуры

Понятие пуассоновой скобки. Симплектическая структура на орбитах коприсоединенного представления. Интегрируемость распределения ядер пуассоновой скобки. Симплектические листы.

Основная литература

1. 
   Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.
   

Дополнительная литература

1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.

2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.

Тема 4. Сиплектические и гамильтоновы действия.
Понятие симплектического действия. Симплекстический коцикл и гамильтоново действие. Отображение моментов для действия тора. Законы сохранения в механике (теорема Нетер). Отображение моментов для действия произвольной группы Ли. Гамильтонова редукция.
Основная литература

1. 
   Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
   

Дополнительная литература

1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.

Тема 5. Лагранжевы и лежандровы особенности.
Общее понятие о классификации особенностей: изолированные особенности, простые особенности, модули. Примеры типичных лагранжевых и лежандровых особенностей. Классификация лагранжевых особенностей в малых размерностях. Гипотеза об инверсии эллипса.
Основная литература

1. 
   В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
   
2. 
   Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.
   

Дополнительная литература

1. 
   В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
   
2. 
   Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
   

Тема 6. Почти комплексные структуры.

Простейшие симплектические инварианты: симплектические емкости. Почти комплексные cтруктуры, совместимые с данной симплектической. Псевдоголоморфные кривые, инварианты Громова-Виттена. Вычисление инвариантов Громова-Виттена в простейших случаях. Теорема Громова о несжимаемости шара.

Основная литература

1. 
   Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.
   
2. 
   В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.
   

Дополнительная литература

1. 
   В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
   

Тематика заданий по различным формам контроля

Вариант контрольной работы

1. 
   Какова размерность пространства левоинвариантных 2-форм на SU(3)? Есть ли среди этих форм симплектические?
   
2. 
   Продолжается ли стандартная контактная структура R³ (заданная 1-формой dz + xdy) до контактной структуры на трехмерной сфере?
   
3. 
   Пуассонова скобка в R⁴ задана равенствами {x¹, x²} = -((x³)²+(x⁴)²), {x¹, x³} = x²x³, {x¹, x⁴} = x²x⁴, {x², x³} = -x¹x³, {x³, x⁴} = 0, {x², x⁴} = x¹x⁴. Найдите ее симплектические листы.
   

Вариант зачетной работы

1. 
   Множество лагранжевых подпространств в R⁴ со стандартной симплектической структурой – подмногообразие G_+(2,4) = S² x S². Какой класс гомологий оно там представляет?
   
2. 
   Механическая система выдерживает сдвиги вдоль спиральной линии x = cos z, y = sin z. Найдите соответствующий первый интеграл движения.
   
3. 
   На пространстве CP² действует окружность по правилу t, [z₁:z₂:z₃] -> [tz₁: t²z₂: t³z₃]. Докажите, что действие является гамильтоновым, и опишите результат гамильтоновой редукции.
   
4. 
   Как распадается на складки и сборки особенность z = 0 при шевелении отображения z -> z²?
   
5. 
   Докажите, что на четырехмерной сфере не существует почти комплексных структур.
   

Автор программы

доцент

Ю.М.Бурман