Известно, что если обрезать цепную дробь иррационального числа, то полученное число (оно называется подходящей дробью) будет приближать исходное иррациональное число лучше, чем любое другое число с тем же или меньшим знаменателем. Предлагается разобрать различные формализации этого утверждения по книге [1] и либо самому доказать, либо разобрать по книге [2] ещё несколько связанных утверждений.

[1] А.Я. Хинчин. Цепные дроби. М., УРСС, 2004.

[2] O. Perron. Die Lehre von den Kettenbruechen. Bd. I: Elementare Kettenbrueche. Stuttgart, Teubner, 1954.

Теорема Данжуа утверждает, что если диффеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения дважды (или (1+ε)-) гладок, то он посредством некоторого гомеоморфизма сопряжён с поворотом. Предлагается разобрать доказательство этого факта по книге [1], а третьекурсникам, сверх того, — доказательство его обобщения из статьи [2].

[1] А. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. М., Факториал, 1999.

[2] V. Kleptsyn, A. Navas. A Denjoy Theorem for commuting circle diffeomorphisms with mixed Holder derivatives. arXiv:0704:1006v1.