Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

У-2

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Точки M, N, Q, P — середины отрезков AB, BD, CD, AC. Найдите периметр четырехугольника МNQP, если AD=12см, ВС=14см.

Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С - параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка СС₁, если АС:СВ=3:2 и ВВ₁=20см.

Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Через точку М плоскости α проведена прямая а, параллельная прямой b. Докажите, если b и α не имеют общих точек, то прямая а лежит в плоскости α

Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости a, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники АВС и MBN подобны

Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ:ВС=4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости a, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость a в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ

Плоскость a параллельна стороне ВС треугольника АВС и проходит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость a проходит также через середину стороны АС

 Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют одну общую точку

Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK, не лежащие в одной плоскости.

а) Выясните взаимное расположение прямых CD и EK.

б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и АВ=22,5см, ЕК=27,5 см.

Прямая m параллельна диагонали ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба.

Докажите, что: а) m и AC - скрещивающиеся прямые - и найдите угол между ними.

Упражнение 94.

Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых.

Пересекаются ли плоскости, каждая из которых проходит через одну из прямых и точку В? Ответ обоснуйте.

Упражнение 97.

Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180⁰.

Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β.

Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая а либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.

Даны пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым а и b, и притом только одна.

Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А₁, В₁ и С₁, а другую - в точках А₂, В₂ и С₂. Докажите, что треугольники А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ подобны.

Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.

• 
  Стр.33. Вопрос 14.
  

• 
  Упражнение 66.
  

• 
  Упражнение 68
  

• 
  Упражнение 73.
  

• 
  Упражнение 74б.
  

• 
  Упражнение 103.
  

Параллельные прямые АC и BD пересекают плоскость α соответственно в точках А и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости α, АС=8 см, BD=6 см, АВ=4 см.

2. Упражнение 96.

Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между плоскостью и параллельной ей прямой, равны.

3. Упражнение 98.

Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости α? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.

4. Упражнение 104.

Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым АС и BD.

5. Упражнение 115.

Точка М лежит на ребре ВС параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости BDC₁.

Вариант 1

Даны прямые m и l. Известно, что всякая плоскость, пересекающая m, пересекает также и l. Докажите, что m||l.

ABCD — квадрат, AB=6. На параллельных прямых AM и CT отмечены точки P и Q соответственно так, что AP:CQ=4:3. Прямая PQ пересекает плоскость ABC в точке W. Найдите WA.

Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠AОВ, ∠МОС, ∠DАМ, ∠DОА, ∠BМО?

2. Упражнение 122.

Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ=см, ОК=12см, CD=16 см. Найдите расстояние от точек D и К до вершин А и В треугольника.

3. Упражнение 124.

Прямая PQ параллельна плоскости α. Через точки P и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках P₁ и Q₁. Докажите, что PQ= P₁Q₁.

Докажите, что если прямая перпендикулярна хотя бы одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что МО⊥MD.

2. Упражнение 131

В тетраэдре ABCD точка М – середина ребра ВС, АВ=АС, DB=DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС.

3. Упражнение 134

Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной прямой а.

4. Упражнение 137

Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

2. Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные, докажите, что если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую прекцию.

3. Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α.

4. Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой а и притом только одна.

2. Упражнение 163 в)

3. Упражнение 165

4. Докажите, что если у пространственного четырехугольника все стороны равны, то его диагонали перпендикулярны (пространственным называется четырехугольник, у которого вершины не лежат в одной плоскости).

2. Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ₁. Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ=2 см, ∠ВАС=150⁰ и двугранный угол ВАСВ₁ равен 45⁰.

3. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из плоскостей.

4. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям α и β. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС⊥а.

1. 
   Боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны плоскости основания. Высоты основания образуют угол φ. Найдите угол между смежными боковыми гранями параллелепипеда.
   
2. 
   Найдите угол между высотами, проведенными в тетраэдре, у которого все ребра равны. (Высотой тетраэдра называется перпендикуляр, проведенный из вершины к плоскости противоположенной грани).
   
3. 
   Точки A и C лежат в плоскости α, B₁ – проекция точки B на плоскость α. Найдите площадь ΔABC, если S_ABC1C = 6 см², а .
   
4. 
   Найдите ребро куба ABCDCA₁B₁C₁D₁, если сечение его плоскостью, проходящей через точки A, C и середину ребра BB₁ имеет площадь см².
   

2. Упражнение 187 б)

3. Упражнение 189 б)

4. Упражнение 193 в)

 5. Упражнение 195

2. Найдите расстояние от вершин куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m; б) диагональ куба равна d.

3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что плоскости ABC₁и A₁B₁Dперпендикулярны.

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁дано: D₁B = d, AC = m, AB = n. Найдите расстояние между: а) прямой A₁C₁и плоскостью ABC; б) плоскостями ABB₁и DCC₁; в) прямой DD₁ и плоскостью ACC₁.

5. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если AC₁ = 12 см и диагональ BD₁ составляет с плоскостью грани AA₁D₁D угол в 30^o, а с ребром DD₁ -угол в 45⁰.

6. Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм², а его ребра пропорциональны числам 3,7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.

2. Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника АВС проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA = 3, CB = 2, CD = 1.

3. Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите DN, если KM = α.

Вариант 1

2. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' все рёбра равны. Докажите, что BC'A'D.

3. Одна из сторон правильного треугольника образует с некоторой плоскостью угол 60^o, а другая 30^o. А какой угол с этой плоскостью образует третья сторона?

2. Основание призмы - правильный треугольник АВС. Боковое ребро АА₁ образует равные углы со сторонами основания АС и АВ. Докажите, что: а) BC⊥AA₁; б) CC₁B₁B – прямоугольник.

3. В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы, если: а)n =3, a = 10, h = 15; б)n = 4, a = 12, h = 8; в)n = 6, a = 23, h = 50; г)n = 5, a = 40, h = 10.

Упражнение 241.

Упражнение 242 б)

Упражнение 247 а)

Упражнение 249 б)

Упражнение 253

Упражнение 254 д)

Упражнение 256 б)

Упражнение 256 в)

Упражнение 264

2. Упражнение 313

3. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны а и b. Высота равна h. Найдите угол между соседними боковыми гранями.

4. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, если боковые ребра и стороны одного из оснований равны 13см, а стороны другого основания равны 3 см.

2. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60^o. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30^o к плоскости основания. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна 12 см.

3. Ребро куба равно а. Постройте сечение, проходящее через диагонали двух его граней и найдите его площадь.

4. В правильной треугольной пирамиде DABC точки, E, F и P середины сторон ВС, АВ и AD. Определите вид сечения проходящего через эти точки и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна а, боковое ребро равно b.

5. Чему равна длина кратчайшего пути по поверхности куба, соединяющего центр какой-либо грани куба с одной из вершин противоположной грани, если ребро куба равно 1?

6. Нарисуйте три разверки наклонного параллелепипеда, все грани которого – равные ромбы с углом 60^o и стороной, равной 7 см. Склейте этот параллелепипед и измерьте самый длинный отрезок, концы которого лежат на его поверхности.

2. В правильном тетраэдре m – ребро, а n – расстояние между центрами его граней. Выразите n через m.

3. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между противоположными гранями.

4. От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром 2 отсекают правильный тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?

2. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная треугольная пирамида

3. Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.

4. Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180º.

Вариант 1

2. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' все рёбра равны. Докажите, что BC'A'D.

3. Одна из сторон правильного треугольника образует с некоторой плоскостью угол 60^o, а другая 30^o. А какой угол с этой плоскостью образует третья сторона?