Вопросы по философским проблемам и истории математики

для магистрантов, сдающих кандидатский экзамен по философии и истории науки

(часть «философские проблемы математики»)
1. Математика и естествознание. Математика как язык науки. Математика как система моделей. Математика и техника. Различие взглядов на математику философов и ученых.

2. Взгляды на предмет математики. Особенности образования и функционирования математических абстракций. Отношение математики к действительности. Абстракции и идеальные объекты в математике.

3. Специфика методов математики. Доказательство – фундаментальная характеристика математического познания. Понятие аксиоматического построения теории. Логика как метод математики и как математическая теория. Современные представления о соотношении индукции и дедукции в математике. Место интуиции и воображения в математике. Современные представления о психологии и логике математического открытия. Мысленный эксперимент в математике. Доказательство с помощью компьютера.

4. Теория множеств как основание математики: Г.Кантор и создание «наивной» теории множеств. Открытие парадоксов теории множеств и их философское осмысление.

5. Математическая логика как инструмент обоснования математики и как основания математики.

6. «Основания геометрии» Д.Гильберта и становление геометрии как формальной аксиоматической дисциплины.

7. Возникновение теории алгоритмов. Философские и методологические аспекты анализа понятия алгоритма. Алгоритмически неразрешимые задачи. Значение формализации понятия алгоритма для развития вычислительной техники. А. Тьюринг.

9. Пифагореизм как первая философия математики. Число как причина вещей, как основа вещей и как способ их понимания. Числовой мистицизм. Влияние на пифагорейскую идеологию открытия несоизмеримых величин и парадоксов Зенона. Пифагореизм в сочинениях Платона. Критика пифагореизма Аристотелем.

10. Эмпирическая концепция математических понятий у Аристотеля. Первичность вещей перед числами. Объяснение строгости математического мышления. Обоснование эмпирического взгляда на математику у Бекона и Ньютона. Математический эмпиризм XVII-XIX вв. Эмпиризм в философии математики XIX столетия (Дж.Ст.Милль, Г.Гельмгольц, М.Паш). Современные концепции эмпиризма (Н.Гудмен, И.Лакатос, Ф.Китчер). Недостатки эмпирического обоснования математики.

11. Философские предпосылки априоризма. Установки априоризма. Умозрительный характер математических истин. Априоризм Лейбница. Обоснование аналитичности математики у Лейбница. Понимание математики как априорного синтетического знания у Канта. Неевклидовы геометрии и философия математики Канта.

12. Проблема обоснования математического знания на различных стадиях его развития. Геометрическое обоснование алгебры в античности. Проблема обоснования математического анализа в XVIII веке. Поиски единой основы математики в рамках аксиоматического метода. Открытие парадоксов и становление современной проблемы обоснования математики.

13. Логицистская установка Г.Фреге. Критика психологизма и кантовского интуиционизма в понимании числа. Трудности концепции Г.Фреге. Представление математики на основе теории типов и логики отношений (Б.Рассел и А.Уайтхед). Результаты К.Геделя и А.Тарского. Методологические изъяны и основные достижения логицистского анализа математики.

14. Идеи Л.Брауэра по логицистскому обоснованию математики. Проблема существования. Учение Л.Брауэра о конструкции как о единственно законном способе оправдания математического существования. Брауэровская критика закона исключенного третьего. Недостаточность интуиционизма как программы обоснования математики. Следствия интуиционизма для современной математики и методологии математики.

15. Гильбертовская схема абсолютного обоснования математических теорий на основе финитной и содержательной метатеории. Понятие финитизма. Выход за пределы финитизма в теоретико-множест­венных и семантических доказательствах непротиворечивсти арифметики. Теоремы К.Геделя и программа Гильберта: современные дискуссии.

Рекомендуемая основная литература:

1.* Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики.

2. Антология философии математики / Отв. ред. и сост. А.Г.Барабашев и М.И.Панов. – М.: Добросвет, 2002. 420 с.

3. Бесконечность в математике: философские и методологические аспекты / Под ред. А.Г.Барабашева. – М.: Янус-К, 1997.

4.* Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. – Изд-во Московского ун-та, 1981.

4. Бурбаки Н. Очерки о истории математики.

5.* Гильберт Д. Основания геометрии. – М.-Л.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1948.

6. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. – М.: Мир, 1986.

7.* Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М.: Мир, 1984.

8. Кун Структура научных революций.

9. Лакатос И. Доказательства и опровержения.

10.* Пенроуз Р. Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики. – М.: УРСС, 2003.

11.* Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1990.

12. Реньи А. Трилогия о математике. – М.: Мир, 1980.

13. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука, 1978.

14.* Тьюринг А. Может ли машина мыслить? М.: 1960.

* отмечены книги, которыми пользовалась я при подготовке лекций.


Удачной подготовки!