47. Предел монотонной функции в общем случае. Перейдем теперь снова к рассмотрению функции от произвольной переменной. И здесь вопрос о самом существовании предела функции

особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной переменной [44].

Пусть функция f(x) определена в некоторой области . Функция называется возрастающей (убывающей) в этой, области, если для любой пары принадлежащих ей значений x и x'.

то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) – но в широком смысле.

Функции всех этих типов носят общее название монотонных. Для монотонной функции имеет место теорема, вполне аналогичная той теореме о монотонной переменной , зависящей от , которая была установлена в пункте 44.

Теорема. Пусть функция монотоно возрастает, хотя бы в широком смысле, в области ,имеющей точкой сгущения число а, большее всех значений x (оно может быть конечным или равным ) если при этом функция ограничена сверху:



То при x a функция имеет конечный предел; в противном случае она стремится к