7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция

Опр. Пусть в области J компл. переменной z задана функция f(z). Если для точки z₀ÎJ, $ при Dz®0 предел разностного отношения,то этот предел называется производной функции f(z) по комплексной переменной z в точке z₀. (1)
Теор. (Условие Коши-Римана)Если функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) диф-ма в точке z₀ = x₀ + i y₀, то в точке (x₀,y₀) $ частные производные функций u(x,y) и v(x,y) по переменным x, y. Причем

, (2)

Док-во:По условию теоремы $ предел (1), не зависящий от способа стремления Dz к нулю.

Пусть Dz = Dx. .

Из существования предела комплексного выражения следует существование пределов его действительной и мнимой частей. Следовательно, в (x₀,y₀) $ частная производная по x функций u(x,y) и v(x,y), и .

Положим Dz = i Dy. Следов-но, Ч.ит.д.
Теор.Если в точке (x₀,y₀) функции u(x,y) и v(x,y) диф-мы, а их частные производные связаны соотношениями (2), то функция является диф-мой функцией комплексного переменного z в точке z₀ = x₀ + i y₀.

Док-во:,

и,. ,

где .Значит, $ . Следовательно, f(z) дифф-ма в точке z₀.

Опр. Если функция f(z) диф-ма во всех точках некоторой области J, а ее производная непрерывна в этой области, то функция f(z) называется аналитической в области J.

Из теорем 1 и 2 следует, что для аналитичности функции f(z) = u(x,y) + i v(x,y) в области J необходимо и достаточно сущ-е непрер. частных производных функций u(x,y), v(x,y), связанных условиями Коши-Римана.

Свойства аналитических функций:

1. 
   Если функция f(z) аналитична в J, то она непрерывна в J.
   
2. 
   Если f₁(z) и f₂(z) - аналитичны в J, то их сумма и произведение тоже являются аналитическими функциями в J, а функция является аналитической всюду, где f₂(z) ¹ 0.
   
3. 
   Если w = f(z) является аналитической в J, G - область значений, в G определена аналитическая функция , тогда функция F(z) = j[f(z)] является аналитической функцией комплексного переменного z в области J.
   
4. 
   Если w = f(z) является аналитической функцией в J, причем |f'(z)| ¹ 0 в окрестности точки z₀ Î J, то в окрестности точки w₀ = f(z₀) области G определена обратная функция z = j(w), являющаяся аналитической функцией комплексного переменного w. При этом .
   

Значение функции f(z), аналитической в J, ограниченной Г и непрерывной в `J, во внутренних точках этой области равно

Существует производная любого порядка у функции f(z): .