Шошина Людмила Ивановна, учитель математики высшей квалификационной категории школы № 887 ЗАО
Урок-лекция с использованием компьютерных технологий по теме «Производная и дифференциал». 10 класс.

Цель урока: Познакомить учащихся с теоретической основой производной и дифференциала и практической направленностью этой темы.

Оборудование урока: компьютер, медиапроектор, экран, авторская презентация (слайды) к уроку, сделанная в программе Power Point. Лекция сопровождается демонстрацией слайдов на экране.

Продолжительность урока: 45 минут.

Эта тема в математике занимает важное место, именно здесь закладываются основы аналитического мышления, формируется соответствующая интуиция, развивается логика и культура использования функциональных обозначений и методов.

I. Историческая справка.
Предметом изучения математического анализа являются количественные соотношения действительного мира. Эти соотношения выражаются с помощью числовых величин, в арифметике это постоянные величины, а в анализе переменные величины. В основу изучения зависимости между переменными величинами кладут понятия функции и предела.

Методы математического анализа получили своё развитие в XVII веке. На рубеже XVII – XVIII веков Ньютон и Лейбниц, в общем и целом, завершили создание дифференциального и интегрального исчисления, а также положили основу учения о рядах и дифференциальных уравнениях. В XVIII веке Эйлер разработал последние два раздела и заложил основу других дисциплин математического анализа. К концу XVIII века накопился огромный фактический материал, но он был недостаточно разработан в логическом отношении. Этот недостаток был устранён усилиями крупнейших учёных XIX века, таких как Коши во Франции, Лобачевского в России, Абеля в Норвегии, Римана в Германии и других.

II. Приращение функции.

Определение:

Разность называется приращением аргумента при переходе от к , а разность – приращением функции при этом переходе.

y
f(x) где
f(x)-f(a)
f(a)

0 ax x

h
Чтобы найти приращение функции f при переходе от a к a+h надо:

1. 
   найти значение функции f в точке a;
   
2. 
   найти значение функции f в точке a+h;
   
3. 
   из второго значения вычесть первое.
   

Пример 1.

Найти приращение функции при переходе от к .

Решение.







Ответ: .
III. Дифференцируемые функции.
Имеем график функции .

Если мы будем рассматривать достаточно малые промежутки, то график этой функции будет почти совпадать с прямой, то есть мы будем говорить об этой функции, что она дифференцируема (то есть линейна в малом).

Определение:

Функция f называется дифференцируемой в точке а, если её приращение при переходе от к можно представить в виде: где k – число, а функция α бесконечно мала при h→0.

Линейная функция дифференцируема при любых значениях х.

Пример 2.

Докажем, что функция дифференцируема при любых значениях х.

Решение.

В примере 1 приращение функции имеет вид

Если положить то правая часть равенства примет вид причём .

Тем самым доказано, что функция дифференцируема при всех х.

Следующий пример выполняется учащимися самостоятельно в классе.

Пример 3.

Докажем, что функция дифференцируема при любых значениях х.

Решение.







;

;

То есть функция y=x³ дифференцируема при любых значениях х.

IV. Производная.
Если функция дифференцируема, то её приращение можно записать в виде:

Выразим из этого равенства k:

,

Но α→0 при h→0, следовательно, .

Справедливо и обратное утверждение.
Итак, мы доказали теорему:

Теорема:

Функция f дифференцируема в точке х в том и только в том случае, когда существует предел (1) В этом случае , где .

Значение k, даваемое формулой (1), зависит от выбора х. Поэтому, если функция f дифференцируема во всех точках промежутка Х, то каждому значению х из Х соответствует своё значение k. Этим определяется новая функция на Х, которую называют производной от функции f и обозначают f′.

Определение:

Производной функции f называется функция f′, значение которой в точке х выражается формулой .

Значение производной от функции f в точке х равно пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 4.

Найти производную функции .

Решение.





;

.

Следующий пример выполняется учащимися самостоятельно в классе.

Пример 5.

Найти производную функции .

Решение.











V. Дифференциал.
(1)

Мы знаем теперь, что ,

поэтому формулу (1) мы можем переписать в виде







(2)

Равенство (2) применяется для приближённого вычисления значений функции f вблизи точки а.

Пример 6.

Найти значение функции при с точностью до

Решение.

Производная этой функции равна и следовательно её значение .

Итак, если то и

Погрешность полученного значения равна , то есть , так как .

Имеем: ; .

Приращение функции состоит из двух слагаемых.

Слагаемое , а слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают .

Таким образом,

Домашнее задание: №380 (1, 2); №390 (а); №392 (1, 2, 3); №397 (а, б).