9. Производственная функция в долгосрочном периоде и ее свойства

Тема 9. Производственная функция в долгосрочном периоде и ее свойства.
Технология.
Вводимые в производство ресурсы называются факторами производства. к важнейшим из них в современном обществе относятся земля, труд, капитал, предпринимательская способность и информация.

Технология – это определенный способ соединения (комбинация) факторов производства в едином производственном процессе, который определяет результирующий уровень выпуска при эффективном использовании факторов производства. Природа налагает на фирмы технологические ограничения: лишь некоторые комбинации ресурсов представляют собой практически осуществимые способы производства данного объема выпуска. Множество всех комбинаций вводимых ресурсов и выпусков, которые охватывают технологически достижимый способ производства, называется производственным множеством.

Предположим, что у нас имеется только один фактор производства, тогда производственное множество будет иметь следующий вид.

Свойства производственного множества:

1) не пустое, 2) замкнутое множество (включает в себя и границу), 3) если затраты факторов равны 0, то и выпуск тоже: if x=0,то y=0. 4) возможность бездействия, выпуска еще нет, а мы несем невозвратные трансакционные издержки, 5) монотонность технологии: увеличение затрат по крайней мере одного фактора не ведет к уменьшению объема выпуска y\x_i 0.

Производственная функция – наиболее удобный способ описания технологически эффективных способов производства. Производственная функция – граница производственного множества, следовательно она является максимально возможным уровнем производства при данном количестве факторов производства и данной технологии.

В коротком периоде количество хотя бы одного ресурса остается постоянным. Посмотрим производственную функцию от переменного ресурса. f(x) – общий выпуск. Тогда Средний продукт данного ресурса . Предельным продуктом переменного фактора называют приращение общего продукта в связи с увеличением применения данного ресурса на единицу. .

Графически величина предельного продукта определяется тангенсом угла наклона касательной к кривой общего продукта в точке, соответствующей определенному его объему, величина АР – тангенсом угла наклона луча, идущего из начала координат к этой же точке. Кривая МС пересекает кривую АС в точке максимума последней. Докажем это: АР=у\х. Найдем . Условие первого порядка:   МР=АРмах.

Снижение предельного продукта переменного ресурса получило название закона убывающей производительности.

Эластичность выпуска по факторам производства.

i – эластичность выпуска по i-тому фактору производства равна отношению предельной производительности MPi i-того фактора к средней производительности.

;

 Эластичность показывает (приблизительно) на сколько процентов увеличиться выпуск при увеличении затрат i-того фактора на 1% и при неизменных затратах других факторов.

Пример: y(K,L)=AK^L^; ; .

Изокванты и их свойства. В теории производства традиционно используется двухфакторная производственная функция (например, Q= f(L, K)). Изокванта – кривая, представляющая собой бесконечное множество комбинаций факторов производства (ресурсов), обеспечивающих одинаковый выпуск продукции. f(x₁, x₂)=y₀, y₀=const.

Свойства:

(В отличие от кривых безразличия) мы точно знаем уровень производства, соответствующий данной изокванте.
Изокванты не пересекаются. Если бы они пересекались, то получилось бы, что одной и той же комбинации факторов соответствовали бы два разных уровня выпуска. Но изокванта показывает максимальный выпуск продукции, достигаемый при использовании определенных сочетаний ресурсов.
Функция y=f(x₁, x₂) монотонно возрастает  изокванта, лежащая выше и правее другой, представляет собой больший объем выпускаемой продукции.
Изокванты имеют отрицательный наклон.
Изокванты выпуклы относительно начала координат.

Предельная норма технологического замещения.

Наклон изоквант характеризует MRTS (marginal rate of technical substitution) одного ресурса другим. MRTS измеряет пропорцию, в которой фирме придется заменить один фактор другим, чтобы оставить выпуск без изменений.

или для непрерывного случая

Рассмотрим изменение используемых факторов:

Вдоль изокванты dy=0, поэтому .

По мере увеличения количества фактора 1 и соответствующего изменения количества фактора 2, чтобы остаться на той же самой изокванте, технологическая норма замещения убывает. Убывание MRTS означает, что наклон изокванты должен убывать по абсолютной величине по мере движения вдоль изокванты в направлении увеличения х₁ и наоборот.

Предельная норма технического замещения имеет тот недостаток, что она зависит от единиц, в которых измеряются объемы применяемых ресурсов. Этого недостатка нет у показателя эластичности замещения.

Эластичность замещения факторов производства.

Кривизна изокванты характеризует возможность (легкость) взаимного замещения факторов производства при сохранении одного и того же количества выпускаемой продукции.

, где MRTS0.

 показывает, на сколько измениться соотношение факторов производства при изменении MRTS на 1% при сохранении объема производства. Т.к. вдоль изокванты х₁\х₂ и MRTS изменяются в одном направлении величина  всегда положительна.

MRTS меняется вдоль изокванты. Чем сильнее меняется наклон изокванты (MRTS) из одной точки в другую, тем сложнее заменить один фактор другим.

Тангенс угла луча, проведенного из начала координат до точки на изокванте показывает интенсивность применения различных ресурсов в определенном производственном процессе K\L.  Верхняя часть изокванты включает капиталоинтенсивные, тогда как нижняя – трудоинтенсивные производственные методы.

Линейная производственная функция. Линейная функция: y= f(K, L)=aK+bL.

Все изокванты такой функции представляют собой параллейные прямые линии с наклоном –b\a. Т.к. MRTS совсем не меняется при изменении отношения К\L, то эластичность замещения равна бесконечности.

Таким образом, линейная изокванта предполагает собой совершенную замещаемость производственных ресурсов.

Функция Леонтьева (названа его именем, т.к. он положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода затраты - выпуск).

Y=min (aK, bL) a, b >0.

Фирма с такой производственной функцией будет вседа функционировать на луче, где отношение факторов равно b\a. Находиться в другой точке на изокванте неэффективно, т.к. тот же объем можно произвести, используя меньшее количество факторов. Поэтому в случае жесткой дополняемости ресурсов, когда труд и капитал комбинируются в единственно возможном соотношении, MRTS равна 0, эластичность замещения факторов равна 0.

Функция Кобба-Дугласа. Производственная функция, у которой эластичность замещения факторов равна единице, называется функцией Кобба-Дугласа. Ее изокванты имеют классическую, выпуклую форму.

Y=f(K, L)=AK^aL^1-а, A, a=сonst >0.

.

Эффект отдачи от масштаба. Если выбран технически эффективный способ производства, то увеличение выпуска возможно за счет пропорционального увеличения использования всех производственных ресурсов. Это и есть изменение масштаба производства.

Пусть первоначальное соотношение между выпуском и применяемыми ресурсами описывается производственной функцией Q₀=f(K, L). Если мы увеличим объемы применяемых ресурсов в k раз, то новый объем выпуска составит Q₁=f(kK, kL). Если в результате выпуск увеличиться также в k раз (Q₁=kQ₀), то наблюдается постоянная отдача от масштаба. Если выпуск увеличиться менее чем в k раз (Q₁0), то имеет место убывающая отдача от масштаба. И соответственно если Q₁0, то отдача от масштаба возрастающая.

Разумеется, одна и та же технология может характеризоваться различной отдачей от масштаба при разных уровнях производства. Вполне может случиться, что при более низких объемах производства технология характеризуется возрастающей отдачей от масштаба, позднее, при более высоких уровнях – постоянной и убывающей.

Введем еще одну характеристику производственной функции – однородность. Производственная функция называется однородной, если при увеличении количества всех производственных ресурсов в k раз выпуск увеличивается в k^t раз, так что

Q₁(kK, kL)= k^t Q₀(K, L).

Показатель t характеризует степень однородности функции.

Если t=1, тол отдача от масштаба постоянна, а производственная функция в этом случае обычно называется линейно-однородной.

Если t<1, имеет место убывающая отдача от масштаба.

Если t>1 – возрастающая отдача.

Для однородной производственной функции отдача от масштаба может быть представлена графически. Показателем отдачи может случить расстояние вдоль луча, проведенного из начала координат, между изоквантами, представляющими кратные Q объемы выпуска – Q, 2Q, 3Q и т.д.

Постоянная отдача от масштаба наблюдается в тех производствах, где ресурсы однородны (в техническом смысле) и их количество можно менять пропорционально. Фирма может просто повторить то, что она делала раньше, путем кратного увеличения всех факторов. Убывающая отдача, как правило, связана с ограниченными возможностями управления крупным производством.

Технический прогресс. Рост производства возможен за счет технического прогресса, который заключается в появлении новых, технически более эффективных способов производства. эти новые способы должны быть учтены в производственной функции.

Графически технический прогресс может быть изображен сдвигом вниз изокванты, характеризующей определенный объем выпуска, и, возможно, изменением ее конфигурации. Этот же объем может быть произведен с использованием меньшего количества ресурсов.

Технический прогресс также раздвигает границы производственного множества если используется один ресурс. Переход к новой технологии позволяет произвести больше при использовании того же количества ресурса.

Виды технического прогресса.

Нейтральный. Q=A(t)f(K, L), (где А представляет собой технический прогресс, функция, зависящая от времени, А\t>0). Сопровождается пропорциональным увеличением продуктов К и L, так что предельная норма их технологического замещения при движении к началу координат остается неизменной. Не меняется и наклон изокванты, под воздействием прогресса она смещается параллейно себе самой.

Капиталоинтенсивный. Q=A(t)K, L. При движении воль линии с постоянным соотношением K\L предельная норма технического замещения MRTS_LK снижается. Это значит, что технический прогресс сопровождается опережающим увеличением предельного продукта по сравнению с предельным продуктом труда. Наклон изокванты по мере приближения к началу координат становиться долее пологим (относительно оси L).
Т
Q₀

Q₁

K

L

рудоинтенсивный. Q=K, A(t)L. При движении вдоль той же линии MRTS_LK возрастает. Это значит, что технический прогресс сопровождается увеличением предельного продукта по сравнению с предельным продуктом капитала. наклон изокванты по мере приближения к началу координат становиться более крутым.