Государственный экзамен по математике для магистров направления 511200 «Математика. Прикладная математика» 2008 год

Государственный экзамен по математике для магистров направления 511200 «Математика. Прикладная математика»

2008 год

Общая часть

Поле комплексных чисел. Его конструкция. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Формула Муавра и формула извлечения корней n ой степени из комплексного числа.

Корни n ой степени из комплексного числа z и из 1. Группа корней n ой степени из 1. Первообразные корни n ой степени из 1. Круговые многочлены порядка n, их определение и построение в частных случаях.

Кольцо многочленов от одной переменной K[x], где K – поле. Делимость в кольце многочленов. НОД двух многочленов и его нахождение с помощью алгоритма Евклида. Представление НОД двух многочленов из K[x], где K – поле, в виде их линейной комбинации.

Понятие корня многочлена и его кратности. Критерий кратности корня. Теорема о числе корней многочлена из K[x]. Теорема о совпадении многочленов из K[x], где K – область целостности.

Неприводимость многочленов над полем. Разложение многочленов на неприводимые над полем вещественных и комплексных чисел. Основная теорема алгебры (без доказательства) и следствия из нее. Теоремы о степенях многочленов, неприводимых над R и C.

Векторное пространство и его свойства. Линейная комбинация и линейная оболочка векторов. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости.

Система образующих и базис векторного пространства. Размерность векторного пространства. Теорема о независимости размерности конечномерного пространства от выбора базиса.

Векторные подпространства векторного пространства: их сумма и пересечение. Их свойства. Прямая сумма векторных подпространств, критерии и свойства прямой суммы.

Матрицы. Их виды и операции над матрицами. Понятие перестановки и четности перестановки. Определитель матрицы и его свойства.

Понятие обратной матрицы, ее существование и единственность, методы вычисления и построения. Ранг матрицы, его свойства и методы вычисления. Базисный минор и его свойства.

Системы n уравнений с n неизвестными и ее разрешимость. Матрица и определитель системы уравнений. Метод Крамера. Однородные системы линейных уравнений. Пространства решений однородной системы линейных уравнений, его размерность и фундаментальная система решений.

Система n уравнений с m неизвестными. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости системы уравнений.

Понятие линейных отображений и линейных операторов, действующих на векторном пространстве. Ядро и образ линейного оператора и их свойства. Теорема о размерности ядра и образа линейного оператора.

Матрица линейного оператора. Связь множества квадратных матриц и множества линейных операторов. Координаты вектора в базисе. Матрица перехода. Изменение координат вектора и матриц линейного оператора при изменении базиса.

Характеристический многочлен и характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы, соответствующие данному собственному значению линейного оператора и их свойства. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Критерий достаточности приводимости матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Евклидовы векторные пространства. Норма вектора и ее свойства. Ортонормированный базис и его свойства.

Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Прямая в пространстве. Взаимное расположение двух прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Различные виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Устойчивость по Ляпунову. Теоремы об устойчивости по первому приближению.

Предел числовой последовательности, его основные свойства. Предел последовательности в метрическом пространстве. Полнота метрического пространства. Сходимость в пространстве .
Открытые и замкнутые множества в . Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.
Компактные множества. Компакты в пространстве .
Два определения предела функции в точке и их эквивалентность. Предел функции при . Односторонние пределы.
Различные определения непрерывности функции в точке и на множестве. Непрерывность сложной функции.
Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях.
Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Применение к решению уравнений.
Производная функции одной переменной, ее геометрический и механический смысл. Производное отображение функции, действующее из в .
Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
Интеграл Римана. Определение и свойства. Критерий существования. Классы функций, для которых интеграл существует.
Основные понятия теории числовых рядов. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признаки сходимости числовых рядов.
Равномерная сходимость функционального ряда и функциональной последовательности. Пространство , его полнота.
Степенные ряды в вещественной области. Структура области сходимости. Теорема Абеля.
Разложение функций вещественной переменной в степенной ряд. Ряд Тейлора. Условия сходимости ряда Тейлора к порождающей функции.
Криволинейные интегралы II рода. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Производная функции комплексного переменного. Условия Коши–Римана. Аналитические функции.
Интеграл функции комплексного переменного. Теорема Коши. Формула Коши.
Принцип сжимающих отображений. (Теорема о неподвижной точки.) Примеры применения.
Линейные операторы в нормированных пространствах. Норма линейного оператора.
Интеграл Лебега. Определение и основные свойства. Сравнение с интегралом Римана.
Гильбертово пространство. Ряд Фурье по ортогональной системе. Экстремальное свойство отрезка ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Теорема о сходимости ряда Фурье. Ряды Фурье по тригонометрическим системам.
Случайная величина. Распределение. Функция распределения случайной величины. Плотность распределения вероятностей. Вероятность попадания в интервал при одно испытании.
Числовые характеристики случайной величины, их свойства. Числовые характеристики системы случайных величин.
Точечные и интервальные оценки параметров распределения. Свойства оценок. Методы получения оценок. Примеры доверительных интервалов.

Специальная часть

Программа «Дифференциальные уравнения»

Носитель обобщенной функции. Носитель дельта-функции. Финитные обобщенные функции. Основные леммы (лемма о существовании основной функции с заданными свойствами; лемма о разбиении единицы; лемма о разложении основной функции в соответствии с заданным локально-конечным покрытием
Локальная структура обобщенной функции; глобальная структура обобщенной функции; структура финитной обобщенной функции; теорема о структуре обобщенной функции, сосредоточенной в нуле.
Фундаментальные функции дифференциальных операторов. Существование фундаментальной функции. Сверточные уравнения.
Топологическая динамическая система Определение и основные свойства. Примеры.
Омега-предельные множества, определение и основные свойства. Примеры.
Инвариантные и минимальные множества динамической системы Рекуррентные движения. Примеры.
Теорема об устойчивости множества относительно включения Примеры.
Теорема об асимптотической устойчивости множества относительно включения Примеры.

Определение случайного процесса. Конечномерные распределения случайного процесса. Моменты случайных процессов. Пуассоновский процесс.

Марковский процесс. Примеры. Случайное блуждание.

Управляемость систем. Различные типы управляемости. Управляемость линейных систем. Управляемость нелинейных систем. Управляемость по первому приближению. Достаточные условия высших порядков. Управляемость в критических случаях. Достаточные условия глобальной управляемости.

Новая граница множества управляемости. Экстремальные управления и экстремальные движения. Нормальность задачи и строгая выпуклость множества достижимости. Лемма Ляпунова. Условие нормальности для систем с многогранным ограничивающим множеством.

Необходимые и достаточные условия существования ситуации равновесия по Нэшу в антагонистических играх.

Теорема о существовании ситуации равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях в матричных играх.

Устойчивость линейных систем.

Спектр показателей Ляпунова линейных систем и его свойства.

Правильные и приводимые линейные системы.

Матричный логарифм, его вещественность. Приложения к теории Ляпунова-Флоке.

Программа «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и сетей»

Декомпозиция данных. Функциональная декомпозиция.
Оптимизационные алгоритмы балансировки нагрузки.
Выбор модели аппаратной и программной реализации параллельных алгоритмов.
Параллельный алгоритм умножения матрицы на вектор.
Анализ результатов проектирования параллельного алгоритма. Понятия ускорения и эффективности. Сверхлинейное ускорение.
Метод коллокации, как метод взвешенных невязок.
Методы решения конечно-элементных систем. Элементные схемы. Фронтальный метод.
Применение многосеточного метода для нелинейных задач.
Прямые методы решения СЛАУ и треугольные разложения.
Итерационные методы вариационного типа.
Основные понятия многосеточного метода. Коррекция невязки.
Парадигмы и стили параллельного программирования.
Способы повышения эффективности параллельной программы.
Агентно-ориентированное программирование. Применение агентов в параллельном и распределенном программировании.

Программа «Геометрия и топология»

Теорема о разложении на неприводимые в коммутативном кольце главных идеалов.
Свойства минимального аннулятора элемента  из расширения (Е:К).
Теорема о совпадении конечного нормального расширения с полем разложения какого-нибудь многочлена.
Система шифрования RSA и её основные проблемы.
Тест Миллера и теорема Рабина (без доказательства).
Алгоритм Форда-Фалкерсона на неориентируемых графах.
Теорема Тихонова о произведении бикомпактных пространств.
Теорема Архангельского о мощности бикомпактных пространств с первой аксиомой счетности.
Теорема Хайнала-Юхаса об оценке мощности пространств через число Суслина и спрэд.
Конструкция расширения Чеха-Стоуна и его свойства.
Расширение N. Мощность, вес, число Суслина, р-точки.
Факторные образы метрических пространств. Теорема Александрова-Пономарёва.
Теорема Урысона о метризуемости регулярных пространств со счетной базой. Критерий метризуемости Бинга-Нагата-Смирнова (без доказательства).
Паракомпактные пространства. Основные свойства. Нормальность, наследственность.
Критерии паракомпактности.