Графики функций с модулем

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа

городского округа город Буй Костромской области

Графики функций

с модулем

Работу выполнила:

Торопова И.В. учитель математики

2004 г.

В курсе математики основной и средней школы незначительное место отводится построению графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. И поэтому учащиеся испытывают определённые затруднения при их построении.

Впервые с модулем числа учащиеся встречаются в курсе математики 6 класса, и больше не упоминается о нем до 9 класса, и немного заданий на построение графиков таких функций встречается в курсе алгебры и начала анализа 10 класса.

Поэтому, я считаю, что формировать навыки построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, можно начинать с учащимися 7 – 8 классов, проявляющими интерес к изучению математики на занятиях математического кружка или факультатива.

В 7 классе после изучения тем «Линейная функция» и « Прямая пропорциональность» стоит попробовать построить график функции y = |2х|.

Учащиеся уже хорошо умеют строить графики прямой пропорциональности и предварительно надо построить график функции

y = 2х, затем вспомнить с учащимися определение модуля числа и попросить их составить таблицу значений для функции y = |2х| (значения переменной х необходимо взять как положительные так и отрицательные), затем отметить полученные точки на координатной плоскости, соединить их и сравнить полученные графики, ответив на следующие вопросы:

а) Какие значения принимает функция y = |2х| при х≥0, х<0?

б) чем сходны графики функций y = 2х и y = |2х|, чем различаются?

в) Можно ли получить график функции из графика функции y = 2х?
y = 2х y = |2х|

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-6	-4	-2	0	2	4	6

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	6	4	2	0	2	4	6

Учащиеся заметят, что для построения графика функции y = |2х| можно построить график функции y = 2х, затем оставить без изменения часть графика при х≥0, а часть графика расположенную ниже оси х ( при х<0 ) отобразить симметрично относительно оси Ох.

Таких заданий можно подобрать много, а способные учащиеся вполне могут построить графики следующих функций: y = |х + 1|, y = |2х + 1|, используя выводы, полученные при построении графика функции y = |2х|.
y = | х + 1| y = |2х + 1|

В 8 классе учащиеся знакомятся с графиком обратной пропорциональности и продолжая формировать умения строить графики, сильным учащимся стоит

построить графики функций типа y = и y = , опираясь на знания, полученные при построении графиков функций, содержащих модуль

в 7 классе.

y =

В курсе алгебры 9 класса при изучении темы «Функция. Область определения и область значения функции» ребята знакомятся с графиком функции y = |х| , её областью определения и областью значения. Но заданий в учебнике под редакцией С.А. Теляковского с использованием функции

y = |х| нет, кроме №17 и то предлагаемого на дом. А вот в дидактических материалах для 9 класса авторов Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка,

Л.М. Коротковой предлагаются задания из второго блока, способствующие развитию учащихся в алгоритмическом и логическом плане.

С-8 «График квадратичной функции»

Задание №6

Постройте график функции: а) y = |х| - 3 ; б) y = |х +3| .

y = |х| - 3 y = |х +3|

При построении данных графиков функций можно воспользоваться знаниями, полученными при преобразовании графиков функций y =aх²+n c одной стороны , т. е. график функции y = |х| - 3 можно получить из графика

y = |х| с помощью параллельного переноса вдоль оси Оy на три единицы масштаба вниз, а график функции y = |х +3| из графика функции y = |х| с помощью параллельного переноса вдоль оси Ох на три единицы масштаба влево. Затем сильных учащихся попросить сделать вывод о построении графиков функций вида y = |х| + n ; y = |х - m|.

n>0
y = |х - m| y = |х| + n

m<0

n<0

m>0

А с другой стороны (возможно учащиеся и этот способ вспомнят, который чаще всего и используется) построить график функции y = |х - m| можно из графика функции y = х – m , оставив без изменения все части графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части расположенные ниже её отобразить симметрично.

С-14 «Графический способ решения систем уравнений» предлагается задание №5, также из второго блока.

Решите графически систему уравнений:

а) y =х² – 3

y = |х|
Ответ: (≈ -2,3; ≈2,3) (≈ 2,3; ≈2,3)

Учащиеся легко с этим заданием справляются, поэтому можно предложить

ёще ряд аналогичных заданий.

Задание: Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли решение система уравнений и если имеет, то сколько:

а) y = х² – 3 б) y = х² – 3 в) y = х² – 3 г) y = х² – 3 д) y = х² – 3

y = |х| - 3 y = -|х| y = 4 - |х| y = -|х| - 3 y =-|х| - 4

(3 решения) (2 решения) (2 решения) (1 решение) (нет решения)

Решение.

а)

Отработав навыки построения графика квадратичной функции сильные учащиеся могут попробовать построить графики следующих функций:

а) y = |х²- 1|

Для построения достаточно сначала построить график функции y = х²- 1 , а на интервале (-1; 1) часть графика отобразить симметрично относительно оси абсцисс, остальную часть оставить без изменения.

Аналогичных заданий можно

подобрать достаточно много,

но после их выполнения необходимо

с учащимися сделать вывод о

построении графиков функций

вида y = |f(х)|.

Здесь же надо рассмотреть построение графиков функций вида y = f(|х|). т.е. графики функций содержащие модуль аргумента.

б) y = После его построения учащиеся заметят,

что данный график получается из графика

функции y =путем симметрии относительно уже оси Оy . Необходимо еще раз обратить внимание учащихся, что под знаком модуля находится аргумент и вновь сделать выводы.
в) y = х² - 6|х| + 4

Некоторые учащиеся заметят, что под знаком модуля стоит аргумент, учитывая что х² =|х|², тогда достаточно будет построить график функции для х≥0, а затем полученную кривую отобразить относительно оси у.

И закончить рассмотрение графиков функций в 9 классе, аналитическое выражение которых содержит знак модуля построением графиков вида

y = |f(|х|)|.

Предложить учащимся построить графики следующих функций:

а) y = |х| ; б) y = |х| - 1; в) y = | |х| - 1|.

Задания а) и б) легко учащиеся выполнят, но их выполнение должно натолкнуть их на мысль, что построение графика функции под в) следует выполнять поэтапно: строим график функции y = |х|, затем выполнить параллельный перенос вдоль оси Оу на одну единицу масштаба вниз и наконец, часть графика расположенного под осью Ох симметрично отобразить относительно её.

а) б) в)

Тренировочные упражнения:

а) y = | |2х|-3 | б) y = | 3|х| + 1| в) y =| х² - 4|х| + 3 |

г) y = |х| + х д) y = 2|х| + х е) y =+ 3

Вывод: Для построения графика функции y = |f(|х|)| надо построить график функции y = f(|х|), далее оставить без изменения все части построенного графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части, расположенные ниже её, отобразить симметрично относительно этой оси.

Такая работа с графиками закрепит знания учащихся о модуле числа и даст неплохие навыки для их построения.

В 10-11 классах эту работу следует продолжить, т.к. учащиеся основательно знакомятся со свойствами функций и их исследованием.

В 10 классе большое место отводится изучению тригонометрических функций и, конечно же, их графикам. Здесь можно такие задания:

1. Построить графики функций у = cos|x| и у = |cosx|.

Решение.

а)у = cos|x|, cos|x| = cosx, т.к. cos x = cos(-x). Следовательно, график данной функции тот же, что и график функции у = cosx;
б) у=- |cosx|, при cos x ≥ 0 у = cos x. Следовательно, на участке, где
cos x ≥ 0, график будет тот же, что и график функции у = cosx. При cos x < О
у = - cosx. Следовательно, части графика функции у = cos x, расположенные
ниже оси абсцисс, зеркально отобразятся и будут расположены в верхней
полуплоскости.

2. Построить графики функций у = sin[x| и у = |sin x |.

Решение.

Чтобы построить график у = sin|x|, надо построить сначала график

у = sin х при х > 0, а затем построить кривую, симметричную с построенным графиком относительно оси ординат.

3. Построить график функции у = sin х + |sin х |.

4. Построить график функции у =tg|x|.

Решение.

Функция чётная, так как tg|-x| = tg|x|. При х > 0 график искомой функции тот же, что и график функции у = tg x.

5. Построить график функции у = |tgx|.

Решение.

Часть графика функции у = tgx, расположенную в верхней полуплоскости, оставить без изменений, а часть графика, расположенную в нижней полуплоскости, зеркально отобразить относительно оси ОХ.

В теме «Функции и их графики» при изучении нового материала и говоря о преобразовании графиков вновь вспомнить и о графиках функции у = |f(х)| и y = f(|х|):

а) график у = |f(х)| функции получается из графика функции у = f(х) следующим образом: часть графика у = f(х), лежащая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох:

б) график функции y = f(|х|) получается из графика функции у = f(х) так: при х≥0 график у = f(х) сохраняется, а при х < 0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси Oу:

На следующем уроке рассмотреть построение нескольких таких графиков функций.

а) построить графики функций:

б) построить график функции у = |х-1| + |х+3|.

Решение.

Находим значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль: х - 1 = 0 или х + 3 = 0;

х= 1 или х = -3.

1) при х <-3, у = -х+ 1-х-3 =-2х-2; у = -2х-2;

2) при -3<�х<1, у= -х+ 1 +х + 3 = 4; у = 4;

3) при х>1, у = х-1+х + 3=2х + 2; у= 2х + 2.

В теме «Исследование функций» в учебнике «Алгебра и начала анализа» для учащихся 10-11 классов Колмогорова А.Н. включены функции, содержащие знак модуля, но таких заданий всего два - это №99(а, в), №55(а).

В качестве дополнительного задания на исследования тригонометрических функций сильным учащимся предложить построить график функции

у = 2 – sin| х+

Решение.

1 способ. Строим график функции у = —sin|х|

Ось ординат переносим на +, а ось абсцисс — на -2.

2 способ. График имеет две ветви, уравнения которых различны.

1) если х+≥ 0, то есть х≥-, то у = 2 – sin( х+).

2) если х+< 0, то есть х<-, то у = 2 – sin( -(х+))= 2+ sin( х+).

Область определения функции - вся числовая прямая.

Область значения функции определим из условия -1≤– sin| х+|≤1

-1+2≤ у ≤ 1+2

1≤ у ≤3

Общая точка обеих ветвей графика: х= -; у=- sin| 0|+2=2: точка (-; 2).

Можно учащимся, конечно, предложить построить и исследовать графики таких функций, как у= arcsin| x| , у= arcsin| x-1|, у=arccos| x|, у= arctg| x|, но с этим заданием справятся только сильные учащиеся или проявляющие интерес к данной теме.

И закончить построение таких графиков функций в 11 классе рассмотрением графиков показательной и логарифмической функций типа:

у = 2^| ^x^| у =| log _аx |

График функции у = 2 ^x при х≥0 Строим график функции у = log _аx.

И его зеркальное отображение На интервале (0;1) у = log _аx <0

относительно оси Оу дадут в (кривая расположена под осью Ох)

совокупности график заданной эта часть графика функции симмет

функции. рично отобразится относительно

оси Ох, а остальная часть останется

без изменения.

у = 2^| ^x^-1| у = log | x |^| у = |log | x ||

Литература
1. Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. Алгебра 10 класс (поурочные планы).- Волгоград . -2002. С.13-45.

2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник. –Киев: Наукова думка. -1979. - С.100-107.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1990. – С. 47-54.
4. Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – С. 10-19. </0>