УДК 517.518

И.Э.Даниелян, Г.В.Микаелян

ЗАМЕЧАНИЯ О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ

Интегральное представление И. Караматы. В теории медленно меняющихся функций (м.м.ф.) основной является теорема И. Караматы о представлении ([3], теорема 2.1): определенная на функция является м.м.ф. тогда и только тогда, когда существуют константы и удовлетворяющие условиям

, , (1)

измеримая на функция и непрерывная на функция , такие что

. (2)

Приложения выдвигают проблему построения “эквивалентных” при м.м.ф. с различными “хорошими” свойствами. Подход к проблеме обычно основан на теореме о представлении, так как выясняется, что в (1) допустим определенный произвол в выборе функций и . Например, таким способом установлена теорема Д. Адамовича [4].

Вначале мы предложим общий способ построения функций и в представлении (2), позволяющий обобщить теорему Д. Адамовича.

Пусть {x_n} удовлетворяет условиям:

a); б).

Пусть {g_n(x)}- последовательность измеримых функций, для которых

при .

Для заданной на измеримой функции вида

, (3)

где , справедливо второе соотношение (1). Обозначим Пусть при и целых

. (4)

Очевидно, дифференцируема в промежутках . Если в точках под понимать правостороннюю производную , то из (4) следует, что функция при совпадает с (см.(3)). Далее,

или

. (5)

Из (4) и свойств и {g_n} следует измеримость и при . Из теоремы И. Караматы следует, что можно продолжить до м.м.ф. на . Рассмотрим уравнение

(6)

относительно . C учетом , имеем . Нетрудно показать с помощью неравенства, что справедливо первое соотношение (1). Действительно,

при .

По теореме о равномерной сходимости ([3], теорема1.1), при и целых . Теперь из (10) получаем

.

Измеримость и положительность при следуют из тех же свойств и . Непрерывность и на при каждом равносильны. Тогда условия и при всех обеспечивают равенства .

Следовательно, для , , удовлетворены требуемые условия, включая непрерывность .

Обобщениe теоремы Д.Адамовича.

Теорема1. Пусть и . Для м.м.ф. существуют м.м.ф. и такие, что:

1. 
   ;
   
2. 
   Функция бесконечно дифференцируема;
   

3. 
   = при ;
   
4. 
   = при целых ;
   

5. 
   Если L не убывает (не возрастает), то L₁ не убывает (не возрастает).
   

Теорема1 основана на общем способе построения функций и в интегральном представлении И.Караматы и обобщает теоремы A. Адамовича и E. Сенеты, относящиеся к последовательностям и соответственно. Более того, в утверждениях этих теорем говорится о монотонности L₁ лишь на бесконечности.

Доказательство. Общий способ подводит к следующему выводу: для заданной последовательности , удовлетворяющей условиям

, ,

существуют функции L₀ и L₁ такие, что верны утверждения 1. и 3.;

, , (7)

функция вида

,, , (8)

где , непрерывна при .

Рассмотрим последовательность неотрицательных функций , участвующих в формировании , такую, что при каждом на сегменте бесконечно дифференцируема и при всех целых , где - k-ая производная функции . Тогда справедливо и утверждение 4. Обозначим (очевидно, ) и при всех и целых -

, . (9)

Последовательность функций , , приводит к утверждениям 1.-5.

Действительно, условия и при очевидны.

Далее, имеем , , , где и . По формуле Лейбница:

, (10)

где . По формуле Бруно ([4], с.45-49):

, (11)

где - многочлен степени . Здесь суммируем по целочисленным решениям системы уравнений .

Равенства следуют из (11). Тогда из (10) вытекают (9). Далее, , при и целых .

В силу (7) непрерывность влечет дифференцируемость при . Поэтому в (12) взяты сегменты . Бесконечная дифференцируемость на при следует из (12) и бесконечной дифференцируемости . С учетом (9), из (12) имеем

, ,

что доказывает бесконечную дифференцируемость L₁(t) при . Доопределим L₀ и L₁ на с сохранением требуемых свойств. Равномерная ограниченность достигается добавлением новых точек в .

Замечание к теореме A. Гольдберга. Вышесказанное обосновывает целесообразность поиска новых интегральных представлений м.м.ф.

Л. Маергойз выдвинул гипотезу, доказанную А.Гольдбергом ([1], теорема1): если для монотонной м.м.ф. при , то для выполняется условие

, (13)

где измеримая функция на при , а - непрерывная на м.м.ф. Утверждение опирается на интегральное представление И.Караматы и имеет применения в теории целых функций ([1], теоремы2 и 3).

Пусть при и - м.м.ф. Покажем, что в представлении (13) медленно меняющуюся и непрерывную функцию можно заменить бесконечно дифференцируемой функцией.

По теореме Д. Адамовича существует медленно меняющаяся бесконечно дифференцируемая функция , такая, что , . По (13) представим в виде . При имеем

_. (14)

Из представления (13) следует, что

. (15)

Поскольку , то для любого найдется такое, что при . Из (14)-(16) следует существование функции такой, что: , и справедливо представление .

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Гольдберг А.А. Интегральные представления монотонных медленно меняющихся функций //Изв. ВУЗ-ов. Математика, 1998, N4, С. 21-27.
   
2. 
   Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. -М.: ИИЛ, 1962, -287с.
   
3. 
   Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985, -141с.
   
4. 
   Adamovic^’ D.D. Sur quelques proprie’te’s des fonctions a’ croissance lente de Karamata, I, II. – Matematicki Vesnik, 1966, 3, s.123-136, 161-172.