ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

10. 
    Основные определения
    

Оболочкой называется тело, образованное двумя поверхностями, расстояние между которыми – толщина , мало по сравнению с другими размерами. Поверхность, делящая толщину оболочки пополам, называется срединной поверхностью. Обычно все уравнения тонкой оболочки относятся к срединной поверхности.

Выделим элемент срединной поверхности (рис. 17) и рассечем его двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, проходящими через нормаль в точке .

Рис. 17

Линии пересечения ( и ) этих плоскостей со срединной поверхностью представляют собой кривые, радиусы кривизны которых в т. обозначим и . Величины, обратные этим радиусам
и ,

являются кривизнами срединной поверхности оболочки. Всегда можно на срединной поверхности найти две взаимно перпендикулярные линии, одна из которых имеет наибольшую, а другая наименьшую кривизну.

Именно эти кривизны обычно обозначают и называют главными кривизнами. Произведение главных кривизн называется гауссовой кривизной:

.

В зависимости от величины гауссовой кривизны различают оболочки положительной, отрицательной, нулевой и смешанной кривизны. Примером оболочки с положительной гауссовой кривизной может являться сферическая оболочка, отрицательной – гиперболическая (седлообразная). Торообразная оболочка имеет смешанную гауссову кривизну, а цилиндрическая и коническая – нулевую.

Под действием нагрузки в оболочке появляются внутренние усилия, которые можно разделить на две группы. К первой относят усилия, которые действуют в плоскости, касательной к середине поверхности – нормальные и , а также сдвигающие и усилия (рис. 18, а). В другую группу включают изгибающие , и крутящие , моменты и поперечные силы , (рис. 18, б).

Рис. 18

В отличие от пластинок, в оболочках в основном возникают растяжение и сжатие, доля изгибных деформаций в работе оболочки существенно меньше. Это обстоятельство обуславливает большую экономичность оболочки по сравнению с пластинкой.

Оболочки, в которых действуют усилия только первой группы и напряжения можно считать постоянными по толщине, испытывают безмоментное состояние. Напряженное состояние, в котором действуют также и усилия второй группы, называют моментным.

Условиями, при которых имеет место безмоментное состояние, можно назвать следующие:

• 
  кривизны срединной поверхности меняются плавно;
  
• 
  нагрузка вдоль срединной поверхности меняется плавно;
  
• 
  закрепления на краях оболочки позволяют свободные перемещения в направлении нормали к срединной поверхности;
  
• 
  нагрузка на краях оболочки действует в плоскостях, касательных к срединной поверхности.
  

Безмоментная теория расчета оболочек основывается на гипотезах Кирхгофа-Лява:

• 
  гипотеза прямой нормали, в соответствии с которой нормаль к срединной поверхности до и после деформации остается прямой и длина ее не меняется;
  
• 
  гипотеза об отсутствии нормальных напряжений на площадках, касательных к срединной поверхности.
  

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Что такое оболочка?
   
2. 
   Что такое срединная поверхность оболочки?
   
3. 
   Что такое гауссова кривизна?
   
4. 
   Как различаются оболочки в зависимости от гауссовой кривизны?
   
5. 
   Какие две группы усилий выделяются в оболочке?
   
6. 
   Чем различаются моментное и безмоментное состояния оболочки?
   
7. 
   Приведите условия существования безмоментного состояния оболочки.
   
8. 
   На каких гипотезах основывается безмоментная теория расчета оболочек?
   

10. 
    Расчет оболочек по безмоментной теории
    
    1. 
       Оболочка вращения при осесимметричной нагрузке
       

Оболочка вращения имеет одну ось симметрии. Ее срединная поверхность образована вращением вокруг оси кривой (рис. 19), называемой меридианом. Точка этой кривой описывает окружность радиусом − параллель. Величину называют радиусом параллельного круга.

Рис. 19

При осесимметричной нагрузке в оболочке вращения сдвигающие (кососимметричные) усилия отсутствуют.

Выделим элемент оболочки двумя меридиональными и двумя параллельными (перпендикулярными к оси симметрии) плоскостями (рис. 20). На элемент действуют меридиональные погонные усилия , кольцевые погонные усилия и нагрузка, составляющая которой вдоль нормали к поверхности − .

Рис. 20

Проекция сил на нормаль к поверхности дает:



Пренебрегая величинами третьего порядка малости и заменяя дифференциалы углов дифференциалами дуг , , после сокращения на , получаем:

. (102)

Для определения меридионального усилия отсечем горизонтальной плоскостью верхнюю часть оболочки (рис. 21) и спроектируем действующие на нее силы на ось .

Рис. 21

Равнодействующая нагрузки , приложенной к отсеченной части оболочки, в силу осесимметричности действует вертикально. В этом случае получаем:

,

откуда

. (103)

Подставляя меридиональное усилие (103) в (102) можем получить кольцевое усилие .

Меридиональные усилия дают горизонтальные составляющие

,

которые на нижнем краю оболочки создают горизонтальные усилия

, (104)

при нагрузке , направленной вниз, растягивающие опорное кольцо.

Рассмотрим половину опорного кольца (рис. 22), загруженного радиальной нагрузкой .

Рис. 22

Из условия равновесия

получаем растягивающее усилие в кольце:

или, с учетом (104) и :

. (105)

Наибольшее значение усилие достигает при , а при обращается в ноль.

2. 
   Изгиб оси оболочки вращения
   

Расчет оболочки на произвольную нагрузку можно выполнить на основе аналогии ее с прямым стержнем, работающим на поперечный изгиб.

Будем считать, что меридиональные усилия в сечении оболочки, перпендикулярном к оси симметрии, изменяются по закону плоскости.

Отсекая верхнюю часть оболочки (рис. 23, а), обозначим − горизонтальную составляющую нагрузки и − ее момент относительно оси сечения, перпендикулярной к площади рисунка.

Рис. 23

Тогда, обозначив − усилие в точке сечения оболочки, лежащей на оси , получаем закон изменения меридионального усилия вдоль параллели



или, с учетом ,

. (106)

Горизонтальная проекция этих усилий (рис. 23, а, б)

дает равнодействующую

. (107)

Меридиональные усилия создают также момент относительно оси , который уравновешивает внешний момент :

(108)

Считая, что сдвигающие усилия в горизонтальном сечении оболочки (рис. 23, в) распределены по закону

, (109)

найдем их равнодействующую:

. (110)

Равнодействующие (107) и (110) должны уравновесить поперечную нагрузку , приложенную к отсеченной части оболочки:

. (111)

Из (108) находим меридиональное усилие

(112)

и, далее, из (111) сдвигающее усилие

. (113)

Формулы (112) и (113) дают возможность через горизонтальную составляющую и момент нагрузки определить меридиональное и сдвигающее в сечениях оболочки. Расчет на вертикальную составляющую нагрузки можно выполнить по формулам (102), (103).

Такой расчет является приближенным, поскольку нагрузка в общем случае может вызвать другие усилия по сравнению с найденными по (102), (103), (112), (113).

3. 
   Оболочка произвольной формы
   

Для отображения поверхности оболочки обычно используют ортогональную систему криволинейных координат и (рис. 24), соответствующих линиям главных кривизн.

Рис. 24

Бесконечно малые дуги и можно считать отрезками прямых. Их называют линейными элементами поверхности и они пропорциональны дифференциалам координат:

, . (114)

Коэффициенты и называют коэффициентами первой квадратичной формы поверхности:

.

Например, для оболочки вращения, если координату отсчитывать вдоль меридиана, − вдоль параллели, а расположение точки на поверхности определять координатой на меридиане и углом на параллели, получаем:

, .

Отсюда , .

В общем случае оболочки коэффициенты и являются функциями координат и .

Выделим бесконечно малый элемент срединной поверхности оболочки (рис. 25).

Стороны этого криволинейного четырехугольника

; ;

; .

Грани элемента в касательной плоскости образуют углы

; . (115)

Дугам и соответствуют углы и в плоскостях главных кривизн:

; . (116)

Рис. 25
В безмоментном состоянии на гранях выделенного элемента действуют погонные нормальные , и сдвигающие , усилия (рис. 26). В ортогональной системе координат поверхностная нагрузка представлена составляющими ее интенсивности , , .

Рис. 26

Из условия равенства нулю суммы моментов сил относительно оси получаем

. (117)

Это соотношение выражает закон парности сдвигающих усилий.

Проектируя все силы на ось , получаем:

Раскрывая скобки, приводя подобные и отбрасывая бесконечно малые выше второго порядка, получаем:

.

Далее преобразовываем производные:

;



и подставляем дифференциалы углов , и , из (115), (116). Учитывая закон парности сдвигающих усилий (117), получаем первое уравнение равновесия в (118). Аналогично получены остальные уравнения (118) из условий равенства нулю проекций или на оси и :

;

; (118)

.

Остальные уравнения (моменты сил относительно осей и ) обращаются в тождества.

Три уравнения (118) содержат три неизвестных усилия , , , т.е. оболочка статически определима в бесконечно малом.

Рассмотрим частные случаи оболочки.

Сферическая оболочка. Для нее имеем . Отсчитывая координату вдоль меридиана и заменяя ее на , а координату − вдоль параллели и заменяя ее на (рис. 27), получаем:

, ,

т.е. , .

Рис. 27
Теперь уравнения (118) будут такими:

,

, (119)

.

Цилиндрическая оболочка (рис 28). Для этой оболочки , , , , , .

Уравнения (118) принимают такой вид:

,
, (120)
.

Рис. 28

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Как образуется поверхность оболочки вращения?
   
2. 
   Что называется меридианом, параллелью?
   
3. 
   Какие усилия возникают в оболочке вращения при осесимметричной нагрузке?
   
4. 
   Какие допущения о распределении усилий принимают при расчетах оболочки вращения на изгиб оси?
   
5. 
   Как выполняется приближенный расчет безмоментной оболочки вращения при произвольной нагрузке?
   
6. 
   Что называется линейным элементом поверхности?
   
7. 
   Что такое коэффициенты первой квадратичной формы поверхности?
   
8. 
   Сколько дифференциальных уравнений равновесия записывают для безмоментной оболочки произвольной формы?
   
9. 
   Почему для расчета безмоментной оболочки не нужны геометрические уравнения?
   
10. 
    В чем суть закона парности сдвигающих усилий?
    

10. 
    Расчет оболочек по моментной теории
    
    1. 
       Оболочка вращения при осесимметричной нагрузке
       

Рассмотрим равновесие элемента срединной поверхности оболочки (рис. 29). На его гранях, кроме усилий , действуют поперечные силы и изгибающие моменты , . Из симметрии нагрузки следует, что сдвигающие усилия, крутящие моменты и поперечные силы отсутствуют, а усилия и моменты будут постоянны вдоль параллели. Нагрузка при этом задана составляющими и .

Условия равенства нулю суммы проекций сил на оси и , а также моментов относительно оси приводят к таким условиям равновесия:

;

; (121)

.

Остальные уравнения равновесия обращаются в тождества, задача является статически неопределимой и необходимо исследовать деформации.

Рис. 29

При осесимметричной нагрузке перемещения точек срединной поверхности определяются двумя составляющими: − вдоль касательной к меридиану (тангенциальное перемещение) и − вдоль нормали к поверхности (радиальное перемещение).

Рассмотрим деформацию элемента меридиана длиной (рис. 30). После деформации длина элемента изменяется на величину

и относительное удлинение меридиана составит

. (122)

Приращение радиуса параллельного круга соответствует горизонтальной проекции расстояния на рис. 30:
.

Оно определяет линейную деформацию в кольцевом направлении:

. (123)

Рис. 30
Для определения изменения кривизны меридиана найдем поворот нормали в точках и (рис. 30):

; .

Отношение разности углов поворота нормали к длине дуги дает приращение кривизны меридиана:

. (124)

Поворот нормали относительно вертикальной оси в каждой точке параллели одинаков и составляет

.

Соответствующий взаимный поворот нормалей в смежных точках параллели составит

.

Тогда приращение кривизны параллели получим делением величины этого поворота на длину элемента параллели :

. (125)

Формулы (122),…, (125) устанавливают связь между деформациями и перемещениями.

Соотношения между усилиями и деформациями представим упрощенными уравнениями теории тонких оболочек:

(126)

где − цилиндрическая жесткость, − толщина оболочки.

Итак, для расчета моментной оболочки вращения при осесимметричной нагрузке имеем 11 уравнений (121),…, (126), в которые входят 11 неизвестных: усилия , , , , , перемещения , и деформации , , , .

2. 
   Краевой эффект в оболочке вращения
   

В тонких оболочках вращения при осесимметричной нагрузке изгибающие моменты , быстро затухают вдоль меридиана при удалении от места возбуждения безмоментного состояния (от закрепленного края, от места приложения сосредоточенной нагрузки). Дальше решения, полученные из уравнений моментной и безмоментной теорий, практически совпадают. Зона, в которой наличием усилий моментного состояния нельзя пренебрегать, называется зоной краевого эффекта. Эта зона распространяется вдоль меридиана на длину, соизмеримую с долями радиуса . В связи с этим в пределах этой зоны радиусы , и угол можно считать постоянными. Кроме того, изменение моментных усилий здесь имеет характер быстро затухающих колебаний. Поэтому производные функций усилий и деформаций в пределах зоны краевого эффекта всегда больше самих усилий и деформаций. Это дает возможность везде, где суммируются усилия, перемещения и деформации с их производными, оставлять лишь соответствующие производные высшего порядка.

На основании изложенных обстоятельств и с учетом того, что в задаче о краевом эффекте нагрузка отсутствует, уравнения равновесия принимают такой вид:

(127)

Геометрические уравнения преобразуем введением новой переменной – угла поворота нормали к меридиану после деформации (рис. 31).

Рис. 31

При этом приращения кривизны (124), (125) можно выразить через так:

; . (128)

Для определения рассмотрим элемент меридиана (рис. 31). Из криволинейного треугольника вытекает, что до деформации

. (129)

Соответственно, после деформации из треугольника , находим

.

Преобразуем полученное уравнение:

или с учетом того, что , , , а также (129), имеем:

.

Отсюда

.

В последнем выражении при достаточно больших значениях первым слагаемым можно пренебречь по сравнению со слагаемым, содержащим производную деформации. Тогда

. (130)

Упростим остальные уравнения. Выразив из второго уравнения равновесия (127), подставим в первое. Пренебрегая усилиями по сравнению с их производными, получаем:

,

откуда после интегрирования

.

Поскольку при учете краевого эффекта нагрузка отсутствует, и

. (131)

Подставив (131) во второе уравнение равновесия, после упрощений имеем:

. (132)

С учетом (131), (132) преобразуем выражение (123) для :

. (133)

Из третьего уравнения равновесия вытекает:

. (134)

Подставляя (134) в третью формулу (126), находим

. (135)

С учетом (135) поперечная сила (134) будет такой:

(136)

и кольцевая деформация (133) выражается через :

. (137)

Подставим далее (137) в (130). После преобразований придем к приближенному дифференциальному уравнению краевого эффекта:

, (138)

где .

Для оболочки вращения вместо угла введем новую координату – дугу меридиана так, что

.

Тогда уравнение (138) принимает такой вид:

. (139)

Отсчитывая дугу от нижнего края оболочки вращения, получим решение дифференциального уравнения в таком виде:

.

Теперь можно найти усилия краевого эффекта у нижнего края оболочки:

;

;

; (140)

;

.

Расчет моментной оболочки вращения на осесимметричную нагрузку выполняется в таком порядке. По формулам (102), (103) находятся усилия и безмоментного состояния. Полученные усилия суммируются с усилиями (140) краевого эффекта и из граничных условий определяются постоянные и общего решения.
Вопросы для самоконтроля

1. 
   Какие усилия возникают в сечениях моментной оболочки вращения при осесимметричной нагрузке?
   
2. 
   Какие уравнения должны составляться для расчета моментной оболочки вращения при осесимметричной нагрузке?
   
3. 
   Что такое зона краевого эффекта. Насколько она распространяется от краев оболочки?
   
4. 
   Какие допущения принимаются относительно деформаций, перемещений, усилий и их производных в зоне краевого эффекта?
   
5. 
   В какой последовательности выполняют расчет безмоментной оболочки вращения на осесимметричную нагрузку с учетом краевого эффекта?
   

10. 
    Основы теории пластичности
    
    1. 
       Основные определения