Правильные многогранники

Тема. Правильные многогранники

Цель:

ознакомиться с понятием правильного многогранника и с пятью типами правильных многогранников;
развивать лексическое и творческое мышления учащихся;
продолжить совершенствовать умения и навыки учащихся в работе на персональном компьютере.

Оборудование урока:

мультимедийный проектор,
мультимедийный проект «Правильные многранники»
компьютерный класс.

Ход урока:

Организационный момент

Задание на дом к уроку.

Вырезать из бумаги шесть правильных треугольников, четыре квадрата, четыре правильных пятиугольников и три правильных шестиугольника, сторона которых 10см с краями, чтобы можно было конструировать многогранные углы.

Актулизация знаний. Мотивация и целеполагание

Правильные призмы и пирамиды, уже изученные нами не такие уж и «правильные» – у них допускаются разные грани. Исключения составляют куб, у которого все грани – квадраты, и правильный тетраэдр – треугольная пирамида, у которой все шесть ребёр равны между собой, а четыре грани соответственно суть правильные треугольники. Определение правильных многогранников отчасти похоже на определения правильных многоугольников как многоугольников, у которых все стороны и все углы равны.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходиться одно и тоже число ребёр.

??? Вопрос к учащимся

Сколько по их мнению существует правильных многогранников?
Сколько одинаковых правильных многоугольников может прилегать к одной вершине?

Изучение нового материала

работа с конструктором;

Конструируем многогранные углы, скрепляя врезанные многоугольники пластилином.

Возможностей всего пять. Число K многоугольников, прилежащих к одной вершине, должно быть не меньше трех, однако таким, чтобы сумма углов, прилежащих к одной вершине, была меньше 360⁰, иначе никакой многогранный угол из этих многоугольников составить не удается.

Углы правильного треугольника равны 60⁰, и условие даёт неравенство , поэтому число треугольников, сходящихся в каждой вершине правильного многогранника, может быть равно только 3, 4 или 5 – при возможности. Для правильного четырёхугольника (квадрата), имеющего углы по 90⁰, получится неравенство , т.е., и добавляется всего лишь одна возможность: (в каждой вершине сходятся по три квадрата). Легко подсчитать углы правильного пятиугольника, они равны по108⁰, требование даёт неравенство , и тоже единственную возможность: , три пятиугольника в каждой вершине. Углы правильного шестиугольника по 120⁰, даже три шестиугольника не могут образовать трёхгранный угол. То же относится и к правельным n-угольникам с любым , (их углы будут больше 120⁰).

Вывод. Имеется пять возможностей: в вершинах правильных многогранников сходятся 3, 4 или5 треугольников, 3 квадрата или же 3 правильных пятиугольника. Возможности 3 правильных треугольника и 3 квадрата осуществляются в случаях правильного тетраэдра и куба соответственно.

мультимедийный проект «Правильные многогранники» //демонстрация внешнего вида и свойств правильных многогранников//

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходятся по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все рёбра равны.

У куба все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.

У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой вершине сходятся по четыре ребра.

У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходятся по три ребра.

У икосаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходятся по пять рёбер.

Приложение 1. Мультимедийный проект «Правильные многгранники»

устное выступление учащегося на тему «Платоновы тела. Пятый элемент»

Приложение 2. Доклад «Платоновы тела. Пятый элемент»

Определение степени усвоения нового материала. Решение задач
Итоговая рефлексия
Домашнее задание:

Гл.1 §4, стр.48, задачи: 2, 4, 6, 8

Дополнительно: склеить понравившийся правильный многогранники.

Приложение 2.

Доклад. Платоновы тела. Пятый элемент

Платону принадлежит разработка некоторых важных методологических проблем математического познания: аксиоматическое построение математики, исследование отношений между математическими методами и диалектикой, анализ основных форм математического знания. Так, процесс доказательства необходимо связывает набор доказанных положений в систему, в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения. Тот факт, что начало математических наук «суть предложения», может вызвать сомнения в истинности всех последующих построений. Платон считал такое сомнение необоснованным. Согласно его объяснению, хотя сами математические науки, «пользуясь предложениями, поставляют их в неподвижности и не могут дать для них основания», предложения находят основания посредством диалектики. Платон высказал и ряд других положений, оказавшихся плодотворными для развития математики. Так, в диалоге «Пир» выдвигается понятие предела; идея выступает здесь как предел становления вещи.

Тела Платона-это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчёта суммы плоских углов при вершине выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путём можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они – правильные тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Таблица№1

Название	Число рёбер при вершине	Число сторон грани	Число граней	Число рёбер	Число вершин
Тетраэдр	3	3	4	6	4
Куб	3	4	6	12	8
Октаэдр	4	3	8	12	6
Додекаэдр	3	5	12	30	20
Икосаэдр	5	3	20	30	12

Таблица №2

Название	Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы	Объем
Тетраэдр
Куб			а
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Тетраэдр – четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников.

Куб или правильный гексаэдр – правильная четырёхугольная призма с равными рёбрами, ограниченная шестью квадратами.

Октаэдр – восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильный многогранников.

Додекаэдр – двенадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников.

Икосаэдр – двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников.

Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получается из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Все правильные многогранники были известны ещё в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют также Платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителям Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду и октаэдр – воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все миро создание его по латыни стали называть quinta essentia («пятая сущность»).

Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб-монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр-монокристалл алюмокалиевых квасцов . Существует предположение что формулу додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдра не трудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.