Правительство Российской Федерации

Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет –

Высшая школа экономики


УТВЕРЖДЕНО

Проректор НИУ-ВШЭ

________________С.Ю.Рощин

«____»_______________ 2012 г.

Одобрена на заседании Учёного совета факультета прикладной математики и кибернетики МИЭМ

«____»______________2012 г.
Декан факультета прикладной математики и кибернетики, к.ф.-м.н.
_______________ А.В.Белов


ПРОГРАММА

вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01.01.05

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Москва, 2012 г.

1. 
   Теория вероятностей
   

Формула включения -исключения. Вероятность осуществления ровно k событий из n событий. Вероятность осуществления по крайней мере k из n событий. Неравенство Бонферрони.

Сходимость по вероятности, необходимое и достаточное условие сходимости последовательности случайных величин к нулю по вероятности. Сходимость почти наверное. Сходимость в среднем квадратическом, в среднем порядка k. Сходимость функций распределения в основном (в точках последовательности). Слабая сходимость распределений связи между этими видами сходимости.

Основные свойства характеристических и производящих функций. Моменты случайных величин. Неравенство Ляпунова. Связь характеристических функций с моментами. Проблема моментов а R.

Теоремы единственности и непрерывности для характеристических функций. Достаточные условия единственности решения проблемы моментов. Формула обращения для характеристических функций. Разложение характеристической функции в ряд Тейлора.

Неравенство Чебышева, неравенство Колмогорова. Закон больших чисел. Теорема Маркова, теорема Бернштейна (достаточное условие применимости закона больших чисел к последовательности независимых произвольно распределенных случайных величин).

Усиленный закон больших чисел. Лемма Бореля-Кантелли. Критерий Колмогорова, теорема Колмогорова (необходимые и достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин).

Центральная предельная теорема, теорема Ляпунова, теорема Линдеберга, теорема Феллера.

Закон повторного логарифма для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин. Теорема Хинчина.

Определение безгранично-делимых законов, основные свойства. Каноническое представление логарифма характеристической функции безгранично-делимого закона. Условия сходимости последовательности безгранично-делимых законов к предельному. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм независимых случайных величин. Условия нормальной, пуассоновой и вырожденной сходимости.

2. Математическая статистика
Точечные оценки. Несмещенные оценки с минимальной дисперсией. Единственность несмещенной оценки с минимальной дисперсией. Неравенство Рао- Крамера, неравенство Бхаттачария (одномерный и многомерный случаи). Эффективные оценки. Оценки максимального правдоподобия, их асимптотические свойства. Другие методы получения оценок. Оценивание с помощью доверительных интервалов. Асимптотические доверительные интервалы.

Проверка статистических гипотез: основные понятия, критерий отношения правдоподобий, его асимптотические свойства. Асимптотическая эффективность критериев. Критерий хи-квадрат. Проверка непараметрических гипотез. Критерий квантилей. Критерий непараметрической сложной гипотезы, основанный на статистике хи-квадрат. Критерий пустых ящиков, Задача о двух выборках из непрерывной совокупности. Критерий независимости наблюдений.

Последовательный критерий проверки гипотез. Последовательный критерий отношения вероятностей для двух гипотез. Конечность среднего числа испытаний при последовательном критерии отношения вероятностей. Определение граничных постоянных для последовательного критерия отношений вероятностей. Оптимальность последовательного критерия отношения вероятностей.

Литература

1. 
   Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее применения, 1967г., т.т.1,2.
   
2. 
   Гнеденко В.В., Курс теории вероятностей, 1988г.
   
3. 
   Лоэв М., Теория вероятностей, 1962г.
   
4. 
   Крамер Г., Математические методы статистики, 1975г.
   
5. 
   Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Математическая статистика, 1992г.
   
6. 
   Уилкс С., Математическая статистика, 1967г.