Задача №1.
Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: а) методом Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

х – 4у – 2z = 0,

3x – 5y – 6z = - 21,

3x + y + z = - 4.

Решение:

а) Решим систему уравнений методом Крамера:

│ 1 - 4 - 2 │

∆ = │ 3 - 5 - 6 │= - 5 + 72 – 6 – 30 + 6 + 12 = 49 ≠ 0, значит система

│ 3 1 1 │ совместна и имеет единственное решение.

│ 0 - 4 - 2│

∆_х = │ - 21 - 5 - 6 │= 0 – 96 + 42 + 40 – 0 – 84 = - 98

│ - 4 1 1 │ => х = ∆_х / ∆ = - 98 / 49 = - 2;

│ 1 0 - 2 │

∆₂ =│ 3 - 21 - 6 │= - 21 + 0 + 24 – 126 – 24 – 0 = - 147

│ 3 - 4 1 │ => у = ∆_у / ∆ = - 147 / 49 = - 3;

│ 1 - 4 0 │

∆₃ =│ 3 - 5 - 21│= 20 + 252 + 0 – 0 + 21 - 48 = 245

│ 3 1 - 4 │ => z = ∆_z / ∆ = 245 / 49 = 5.

Таким образом, Х = (- 2; - 3; 5)^Т

б) Решим систему с помощью обратной матрицы.

Вычислим обратную матрицу А^-1 по классической формуле:
А₁₁ = -5 -6 = 1; А₁₂ = - 3 -6 = -21; А₁₃ = 3 -5 = 18;

1 1 3 1 3 1

А₂₁ = - -4 -2 = 2; А₂₂ = 1 -2 = 7; А₂₃ = - 1 -4 = -13;

1 1 3 1 3 1
А₃₁ = -4 -2 = 14; А₃₂ = - 1 -2 = 0; А₃₃ = 1 -4 = 7;

-5 -6 3 -6 3 -5

тогда det А = а₁₁*А₁₁ + а₁₂*А₁₂ + а₁₃*А₁₃ = 1*1 – 4*(-21) – 2*18 = 49.

1 2 14

А^-1 = 1/49 -21 7 0

18 -13 7
А*Х = В, тогда Х = А^-1 *В

1 2 14 0 -98 -2

Х = 1/49 * -21 7 0 * -21 = 1/49 * -147 = -3

18 -13 7 -4 245 5

т. е. х = - 2, у = - 3 и z = 5.

в) Решим систему методом Гаусса:

Решим систему методом Гаусса:

1 - 4 - 2 0 1 - 4 - 2 0 1 0 - 2 - 12

3 - 5 - 6 - 21 → 0 7 0 - 21 → 0 1 0 - 3 →

3 1 1 - 4 0 6 7 17 0 0 7 35

1 0 0 - 2 х = - 2;

→ 0 1 0 - 3 , т.е. у = - 3;

0 0 1 5 z = 5.

Ответ: Х = (- 2; - 3; 5)^Т

Задача №2.

Построить прямую 9х + 3у – 12 = 0. Определить ее угловой коэффициент. Составить уравнения нескольких прямых, параллельных ей. Записать уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через начало координат.

Решение:

Преобразуем заданное уравнение прямой:

у = - 3х + 4, отсюда ее угловой коэффициент k = - 3.

Д
ля построения прямой нам нужно знать координаты двух ее точек. Задавая х = 0, получаем у = 4, задавая х = 3, получаем у = - 5. Значит прямая проходит через точки А(0;4) и В(3;-5).

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, значит для заданной прямой параллельными будут, например, прямые:

у = - 3х + 8, у = - 3х, у = - 3х – 15 и т.д.

Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно - 1, поэтому угловой коэффициент прямых перпендикулярных заданной будет равен 1/3.

Уравнение прямой, перпендикулярной заданной и проходящей через начало координат: у = 1/3х.

Задача №3.

Вычислить предел:

lim 3х² – 5х – 2

^х→2 2х² – х - 6
Решение:
lim 3х² – 5х – 2 = 0 = lim (х – 2)(3х + 1) =

^х→2 2х² – х – 6 0 ^х→2 (х – 2)(2х + 3)
= lim 3х + 1 = 3*2 + 1 = 7 = 1.

^х→2 2х + 3 2*2 + 3 7
Ответ: 1.

Задача №4.

Найти производные функций:

а) у = х lnх; б) у = cos⁴(х/2).
Решение:

а) y’ = (x)’ * lnx + x* (lnx)’ = 1 * lnx + x * (1/x) = lnx + 1;

б) у’ = 4 * cos³(х/2) * (cos(x/2))’ = 4 * cos³(х/2) * (- sin(x/2)) * (x/2)’ =

= 4 * cos³(х/2) * (- sin(x/2)) * 1/2 = - 2 * sin(x/2) * cos³(x/2) =

1

= - — sin x * (1 + cos x).

2

Ответ: а) lnx + 1; б) - sin x * (1 + cos x) / 2.

Задача №5.

Выполнить исследование функции по следующей схеме:

1. 
   найти область определения;
   
2. 
   проверить четность-нечетность функции;
   
3. 
   найти точки пересечения с осями координат;
   
4. 
   найти экстремумы и интервалы монотонности;
   
5. 
   найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости;
   
6. 
   найти пределы функции при х → ± ∞;
   
7. 
   построить график функции.
   

у = 2х⁴ – 4х² + 3.

Решение:

1. 
   Область определения функции: D(у) = ( - ∞; + ∞), т.е. функция всюду определена;
   
2. 
   у(- х) = 2(- х)⁴ – 4(- х)² + 3 = 2х⁴ – 4х² + 3 = у(х), значит функция четная, график функции симметричен относительно оси Оу;
   
3. 
   Найдем точку пересечения с осью Оу: х = 0, тогда у = 3, т.е. А(0;3).
   

Найдем точки пересечения с осью Ох: у = 0, тогда 2х⁴ – 4х² + 3 = 0, D < 0, значит решения нет, причем 2х⁴ – 4х² + 3 > 0 на всей своей области определения, т.е. график функции лежит выше оси Ох;

4. 
   у’ = 8x³ – 8x = 8x(x² – 1) = 8x(x – 1)(x + 1) = 0
   

т.е. х = 0 и х = ± 1.

у'(х) - + - + х

у(х) - 1 0 1
Таким образом, х = - 1 и х = 1 - точки минимума, х = 0 – точка максимума.

у_min(- 1) = у_min(1) = 1 - минимумы функции

у_mах(0) = 3 - максимум функции

(- ∞; -1) U (0; 1) - интервалы убывания;

(- 1; 0) U (1; + ∞) – интервалы возрастания.

__

5. 
   у” = 24х² – 8 = 24(х² – 1/3) = 0, значит х = ± 1/ √ 3 ≈ ± 0,58 – точки
   

перегиба.
у(- 0,58) = у (0,58) = 1,89.

у"(х) + - + х

у(х) - 0,58 0,58
(- ∞; -0,58) U (0,58; + ∞) - интервалы вогнутости;

(- 0,58; 0,58) – интервалы выпуклости.

6) lim (2х⁴ – 4х² + 3) = + ∞.

^{х→± ∞}
7) Построим график функции: