Тема «Призма»

Цель: актуализация базовых знаний и способов действий по данной теме; проверка умений применять теоретический материал к решению задач; подготовка к экзамену по математике.

Задачи:

1. 
   Ознакомление с геометрическим телом – призмой, с ее основными частями и видами, с формулами для вычисления площадей полной поверхности, боковой поверхности, объема;
   
2. 
   Формирование навыков решения задач по данной теме;
   
3. 
   Формирование умения применять приемы сравнения, обобщения, умозаключения; формирование навыков самоконтроля.
   

Ход урока:

Тема нашего урока «Призма». (слайд 1) Мы вспомним - какое геометрическое тело называется призмой, ее основные элементы, рассмотрим формулы для вычисления объема призмы, площадей полной и боковой поверхностей и закрепим материал в ходе решения задач.

Вопросы для повторения:

- Что называется многогранником?

- Из каких частей состоит многогранник?

- Что называется гранью многогранника?

- Что называют диагональю многогранника?

Общие теоретические сведения

Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , лежащих в параллельных плоскостях, и n параллелограммов ... (слайд 2,3)

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. (слайд 4)

Свойства призмы .(слайд 5)

1. 
   Основания призмы являются равными многоугольниками.
   
2. 
   Боковые грани призмы являются параллелограммами.
   
3. 
   Боковые ребра призмы параллельны и равны.
   

Различают призмы прямые , наклонные и правильные. (слайд 6,7,8)





Диагональным сечением призмы называется ее сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, которые не лежат в одной грани.

(слайд 9)

Если секущая плоскость пересекает все боковые ребра призмы и перпендикулярна им, то получающееся при этом сечение называется перпендикулярным сечением призмы.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности.

.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

.

Объем призмы

, где S – площадь основания, H – высота призмы.

Объем призмы можно найти, умножив площадь перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. .

Частным случаем призмы является параллелепипед.

Параллелепипед – это призма, основаниями которой являются параллелограммы.(слайд 10)

Различают прямой, наклонный, прямоугольный параллелепипеды.

( слайд 11)

Свойства параллелепипеда (слайд 12)

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называют его линейными размерами (измерениями).

У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Повтори необходимые формулы :

1. Прямоугольный параллелепипед

Пусть a, b, с – стороны, d – диагональ параллелепипеда,

S_n – полная поверхность.

V=a*b*c

S_б=P*H=2(a+b)*c

d²= a²+ b²+ c²

S_n=2(ab+bc+ac)

2.Куб

Пусть a – ребро куба.

V=a³

d=a

S_б=4a²

S_n=6a²

Проверь себя! (слайд 13)

Ответь на теоретические вопросы по теме «Призма»

Опорные задачи.

1. 
   Ребро куба равно a. Найдите: диагональ грани, диагональ куба, периметр основания, площадь грани, площадь диагонального сечения; площадь поверхности куба; периметр и площадь сечения, проходящего через концы трёх рёбер, выходящих из одной и той же вершины. (слайд 14)
   

2. 
   Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 32 см², а площадь полной поверхности 40 см². Найдите высоту призмы. (слайд 15)
   

3. 
   Расстояния между боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равны 2 см, 3 см и 4 см. Боковая поверхность призмы 45 см². Найдите боковое ребро. (слайд 16)
   

4. 
   В правильной n – угольной призме проведена плоскость под углом 60⁰ к основанию так, что она пересекает все боковые грани призмы. Площадь основания равна 50 см². Найдите площадь сечения.
   

Решение: S_осн=S_сеч*cos 60⁰

S_сеч=100 см²

5. 
   Существует ли призма, имеющая 50 рёбер? 54 ребра?
   

Решение: Число ребер n – угольной призмы 3n, поэтому призмы, имеющей 50 ребер, не существует, а 54 ребра имеет 18-угольная призма.

6. 
   В правильной треугольной призме плоскость сечения BCА₁ образует с плоскостью основания двугранный угол φ. Постройте линейный угол этого двугранного угла. Дайте объяснение.
   

Построение: Проведём из вершины A правильного треугольника ABC высоту AK. Точка K принадлежит ребру BC. Соответственно, отрезок А₁К перпендикулярен ребру BC (по теореме о трёх перпендикулярах). Угол A₁КА– искомый.



Задания части В.

1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2. Чему будет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро увеличить в 3 раза.

Решение. Пусть ребра данного параллелепипеда равны a, b и c. Тогда имеем: V=abc=2. После увеличения каждого ребра в 3 раза его объём будет равен

V=3a*3b*3c =27 abc=27*2=54.

Ответ: 54.

2. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда высотой 30 см. Если в него налить 30 л. воды, то до верхнего края останется 5 см. Сколько литров воды нужно, чтобы наполнить пустой аквариум доверху?

Решение. Пусть V и H соответственно объем и высота параллелепипеда.

V=SH . По условию V=30,H=25, тогда 25*S=30.

После заполнения пустого аквариума доверху H=30. Значит, 30*S=V.

Найдем отношение =, V=36 л.

Ответ: 36.

3. Кубик весит 10 гр. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3 раза больше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала.

Решение. Пусть V- объём данного параллелепипеда. После увеличения каждого ребра в 3 раза, его объём будет равен 27 V.

, x=270 гр.

Ответ: 270.

Задания части С.

1. 
   В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой AС₁ и плоскостью BСC₁.
   

Решение.

Из точки А опускаем перпендикуляр.

Т.к. , , то и

Тогда AC₁ – наклонная, ВС₁ – проекция прямой AC₁ на плоскость BСC₁. Т.к. угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость, то - искомый.

Треугольник ABC₁- прямоугольный.

.

Пусть сторона куба равна a. Тогда .

.

Ответ: .

2. Сторона основания правильной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 12, а боковое ребро .Найдите градусную меру угла между плоскостями AB₁C и ABC.



Решение.

1. 
   Плоскость AB₁C пересекает плоскость ABC по прямой AC. Построим линейный угол двугранного угла между этими плоскостями.
   

Для этого из точки B проведём перпендикуляр к прямой AC. Т.к. призма правильная, то её основанием является правильный четырёхугольник – квадрат. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, искомый перпендикуляр-отрезок BO – половина диагонали BD, причём точка O – середина отрезка AC.

Т.к. призма правильная, то она прямая, значит, боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, BO - проекция наклонной B₁O. По теореме о трёх перпендикулярах наклонная B₁O перпендикулярна прямой AC.

Следовательно, угол BOB₁ является линейным углом двугранного угла между плоскостями AB₁C и ABC.

2. 
   В квадрате ABCD AB=12, BD=, BO=:2 =
   
3. 
   Рассмотрим треугольник BB₁O.
   

, а значит, прямая BB₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC. Поэтому треугольник OBB₁ -прямоугольный, а значит

, следовательно, .

Ответ: 30⁰.

3. В прямоугольном параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁найдите угол между плоскостью АА₁С и прямой А₁В, если АА₁=3, АВ=4, ВС= 4.

Решение. Из точки В проведем перпендикуляр ВН к АС. А₁Н – проекция А₁В на плоскость АА₁С. Значит, угол ВА₁Н- искомый.

Из прямоугольного треугольника АВС находим ВН=2.

Из прямоугольного треугольника А₁АВ находим А₁В= 5.

Из прямоугольного треугольника А₁НВ находим sinА₁==

Ответ: arcsin.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 32. Чему будет равен объём

параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в 2 раза. (4)

2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 36 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд той же формы, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого. Ответ выразите в сантиметрах. (4)

3. Закрытый сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами 30, 40 и 45 см. стоит на горизонтальной поверхности таким образом, что наименьшая грань является дном. В сосуд налили воду до уровня 36 см. На каком уровне окажется вода, если сосуд поставить на наибольшую грань? Ответ дайте в сантиметрах. ( 24 )

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой AA₁ и плоскостью BC₁D. ()

5. Основание прямой призмы АВСА₁В₁С₁- треугольник АВС, в котором, ВС=2, sinА=0,3. Высота призмы равна. Найдите синус угла между прямой ВС₁ и плоскостью АСС₁. ( 0,2)

6. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием, равным 6 см., и углом при вершине 120º. Диагональ боковой грани, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности. (48 +32)