Учебная программа Дисциплины б9 «Дифференциальные уравнения» по направлению 011800 «Радиофизика» Нижний Новгород 2011 г

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Радиофизический факультет

Кафедра математики

УТВЕРЖДАЮ

Декан радиофизического факультета
____________________Якимов А.В.

«18» мая 2011 г.

Учебная программа
Дисциплины Б2.Б9 «Дифференциальные уравнения»
по направлению 011800 «Радиофизика»

Нижний Новгород

2011 г.

1. Цели и задачи дисциплины

Содержание дисциплины «Дифференциальные уравнения» направлено на ознакомление студентов с методами решения простейших дифференциальных уравнений, линейных дифференциальных уравнений высших порядков и линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2. Место дисциплины в структуре программы бакалавра

Дисциплина «Дифференциальные уравнения» относится к дисциплинам базовой части математического и естественнонаучного цикла основной образовательной программы по направлению 011800 «Радиофизика», преподается во 2 семестре.

3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» формируются следующие компетенции:

способность к овладению базовыми знаниями в области математики, их использованию в профессиональной деятельности (ОК-8);
способность самостоятельно приобретать новые знания, используя современные образовательные информационные технологии (ОК-10);
способность к правильному использованию общенаучной и специальной терминологии (ОК-12).

В результате изучения студенты должны:

знать основные методы интегрирования наиболее часто встречающихся в физических задачах типов обыкновенных дифференциальных уравнений;
уметь интегрировать типовые дифференциальные уравнения первого порядка;
находить общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами;
иметь представление о методах интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов.

Виды учебной работы	Всего часов	Семестры
Общая трудоемкость дисциплины	180	2
Аудиторные занятия	85	85
Лекции	51	51
Практические занятия (ПЗ)	34	34
Семинары (С)	–	–
Лабораторные работы (ЛР)	–	–
Другие виды аудиторных занятий	–	–
Самостоятельная работа	59	59
Курсовой проект (работа)	–	–
Расчетно-графическая работа	–	–
Реферат	–	–
Другие виды самостоятельной работы	–	–
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)	экзамен (36)	экзамен (36)

5. Содержание дисциплины

5.1. Разделы дисциплины и виды занятий

№п/п	Раздел дисциплины	Лекции	ПЗ (или С)	ЛР
1	Дифференциальные уравнения первого порядка.	14	12
2	Дифференциальные уравнения высших порядков.	16	14
3	Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.	16	8
4	Интегральные уравнения.	5

5.2. Содержание разделов дисциплины

Раздел 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Описание законов природы в форме дифференциальных уравнений. Основные определения. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Метод изоклин. Построение дифференциального уравнения по общему решению. Уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним. Однородные уравнения. Уравнения, приводимые к однородным. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Понятие первого интеграла. Интегрирующий множитель. Приемы отыскания интегрирующих множителей. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений. Продолжение решения. Непродолжаемое решение и его построение. Теорема о примыкании непродолжаемого решения к границе области. Степень гладкости решений дифференциального уравнения. Непрерывная зависимость решения дифференциального уравнения от начальных условий и от параметров. Простые особые точки, их классификация. Особые решения. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной, неизвестной функции. Уравнение с однородной функцией в левой части. Общий случай введения параметра. Дифференциальные уравнения, разрешимые относительно аргумента или неизвестной функции. Уравнения Лагранжа и Клеро. Понятие об огибающей семейства кривых. Теорема об огибающей семейства интегральных кривых. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. P-дискриминантная кривая и ее связь с особыми решениями.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной. Сведение его к нормальной системе уравнений. Теоремы существования и единственности, непрерывной зависимости решения нормальной системы от начальных условий и от параметров. Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, как следствие теоремы существования и единственности решения нормальной системы. Частные случаи дифференциального уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с непрерывными коэффициентами. Общая теория линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Определитель Вронского, проверка независимости решений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Теоремы о максимальном числе линейно-независимых решений и о тождественности уравнений. Построение линейного дифференциального уравнения по фундаментальной системе решений. Формула Лиувилля и ее применение. Способ понижения порядка линейного однородного уравнения при известном частном решении. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Принцип суперпозиции. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения неоднородного уравнения n-го порядка. Функция Грина. Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Операторные многочлены и их свойства. Разложение операторного многочлена на линейные множители. Действие операторного многочлена на простейшие функции. Формула смещения. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых и кратных корней характеристического многочлена (действительных или комплексных). Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Квазиполиномы и их свойства. Структура частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и квазиполиномом в правой части. Операторный метод отыскания частного решения такого уравнения. Уравнение Эйлера. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений с помощью рядов. Отыскание фундаментальной системы решений уравнений Эйри и Бесселя.

Раздел 3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Эквивалентность нормальной системы n дифференциальных уравнений одному уравнению n-го порядка, разрешенному относительно старшей производной. Теоремы о непрерывной зависимости и непрерывной дифференцируемости решения нормальной системы по начальным условиям и по параметру. Первые интегралы нормальной системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывно-дифференцируемая функция была первым интегралом нормальной системы. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов. Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы. Понижение порядка нормальной системы, если известна часть первых интегралов. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Интегрируемые комбинации. Общая теория линейных однородных систем дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Построение линейной однородной системы по фундаментальной системе решений. Структура общего решения линейной неоднородной системы. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения линейной неоднородной системы. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение как уравнение на отыскание собственных значений и собственных векторов матрицы системы. Вид фундаментальной системы решений в случае простых корней (действительных и комплексных). Вид фундаментальной системы решений в случаях, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни и различные значения ранга характеристической матрицы. Метод исключения для линейных систем с постоянными коэффициентами общего вида.

Раздел 4. Интегральные уравнения.

Классификация линейных интегральных уравнений по родам. Уравнения Вольтера. Уравнения Фредгольма 2-го рода. Уравнения с вырожденным ядром. Существование решения уравнения Фредгольма с малым ядром. Существование решения уравнения Вольтерра. Теоремы Фредгольма. Спектральная теория уравнений Фредгольма с симметричными ядрами. Свойства спектра собственных чисел. Теорема Гильберта-Шмидта. Задача Штурма-Лиувилля и интегральные уравнения. Теоремы Гильберта об интегральном представлении решения краевой задачи через функцию Грина. Вывод теоремы Стеклова из теоремы Гильберта-Шмидта.

6. Лабораторный практикум

Не предусмотрен.

7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

7.1. Рекомендуемая литература.

а) основная литература:

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М. Наука, 1966.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. Наука, 1982.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М. Наука, 1969.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М. Наука, 1984.
Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М. Физматлит, 1995.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М. Наука, 1992; - М. Интеграл-пресс, 1998.
Розенблюм А.А. Интегрирование дифференциальных уравнений операторным методом. Методическое пособие. - Горький. ГГУ, 1980.
Петровский И.Г., Лекции по теории интегральных уравнений. – М.: Гостехиздат, 1951.

б) дополнительная литература:

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. Наука, 1984.
Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. - М. Просвещение, 1988.
Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. Наука, 1985.
Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. - М. Наука, 1986.
Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М. ГИТТЛ, 1949.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М. Наука, 1976.

8. Вопросы для контроля

Основные определения: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, порядок уравнения, общее решение, начальные условия, частное решение. Физические примеры.
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Интегральные кривые. Поле направлений. Метод изоклин.
Построение дифференциального уравнения по заданному общему решению.
Простейшие дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним. Особые решения.
Однородные уравнения и приводимые к ним.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Построение общего решения по известным частным решениям.
Уравнения Бернулли и Риккати.
Уравнение в полных дифференциалах. Понятие первого интеграла, его отличие от общего интеграла.
Необходимое и достаточное условие, чтобы дифференциальная форма была полным дифференциалом.
Интегрирующий множитель. Теоремы об интегрирующем множителе.
Приемы отыскания интегрирующих множителей.
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
Решение дифференциального уравнения методом последовательных приближений. Геометрическая интерпретация принципа сжимающих отображений.
Метод продолжения решений. Непродолжаемые решения. Построение непродолжаемого решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
Теорема о примыкании непродолжаемого решения к границе области.
Степень гладкости решений дифференциального уравнения первого порядка.
Непрерывная зависимость решения дифференциального уравнения первого порядка от начальных условий и от параметров.
Простые особые точки. Особые решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной, неизвестной функции.
Уравнение с однородной функцией. Общий случай введения параметра.
Дифференциальные уравнения, разрешимые относительно аргумента или функции. Уравнение Лагранжа.
Уравнение Клеро. Понятия С-дискриминантной кривой и огибающей семейства кривых, их связь. Теорема об огибающей семейства интегральных кривых.
Теорема существования решения уравнения первого порядка, неразрешенного относительно производной. P-дискриминантная кривая и особые решения.
Сведение уравнения n-го порядка, разрешенного относительно производной, к нормальной системе уравнений. Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, как следствие теоремы существования и единственности решения нормальной системы.
Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.
Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
Определитель Вронского для решений однородного уравнения, его свойства.
Фундаментальная система решений. Теоремы о существовании фундаментальной системы решений, о ее линейном невырожденном преобразовании.
Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
Теорема о максимальном числе линейно независимых решений однородного уравнения. Теорема о тождественности линейных уравнений с одной и той же фундаментальной системой решений.
Построение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка по фундаментальной системе решений.
Правило дифференцирования функционального определителя. Формула Лиувилля. Применение формулы Лиувилля для понижения порядка линейного однородного уравнения 2-го порядка.
Способ понижения порядка линейного однородного дифференциального уравнения, когда известно его частное решение.
Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Принцип суперпозиции.
Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Интегральная запись частного решения. Функция Грина.
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Оператор дифференцирования. Операторные многочлены и их свойства. Разложение операторного многочлена на линейные множители.
Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического многочлена (действительных и комплексных).
Формула смещения. Действие операторного многочлена на простейшие функции.
Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического многочлена (действительных и комплексных).
Квазиполиномы и их свойства. Теорема о структуре частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и квазиполиномом в правой части.
Операторный метод отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Понятие обратного оператора, его свойства. Действие обратного оператора на простейшие функции. Формула смещения. Разложение обратного оператора на простейшие дроби.
Уравнение Эйлера. Представление фундаментальной системы решений уравнения Эйлера в зависимости от вида корней характеристического многочлена. Способ отыскания частного решения уравнения Эйлера.
Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде обобщенного степенного ряда (без доказательства). Уравнение Бесселя.
Теорема об эквивалентности нормальной системы n дифференциальных уравнений и одного уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной. Метод исключения.
Теоремы о непрерывной зависимости и о дифференцируемости решения нормальной системы по начальным условиям и по параметру (без доказательства). Определение первого интеграла для нормальной системы дифференциальных уравнений. Независимость интегралов. Существование n независимых первых интегралов, как следствие теоремы о дифференцируемости решений нормальной системы по начальным условиям.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция являлась первым интегралом нормальной системы.
Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы.
Способ понижения порядка системы, если известна часть первых интегралов.
Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первых интегралов симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
Нормальная система линейных однородных уравнений с непрерывными коэффициентами. Теоремы: единственности, о тривиальном решении, о линейной комбинации и о линейной зависимости решений.
Фундаментальная система решений. Теорема о ее существовании. Структура общего решения линейной однородной системы.
Теоремы о максимальном числе линейно независимых решений, о линейном невырожденном преобразовании фундаментальной системы решений.
Определитель Вронского для системы решений нормальной системы линейных однородных уравнений, его свойства.
Построение линейной однородной нормальной системы дифференциальных уравнений по ее фундаментальной системе решений.
Формула Лиувилля для определителя Вронского решений нормальной системы.
Теорема об общем виде решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений.
Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения линейной неоднородной системы.
Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Характеристическая матрица и характеристическое уравнение. Вид фундаментальной системы решений в случае простых корней (действительных и комплексных).
Вид фундаментальной системы решений в случае, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни: а) ранг характеристической матрицы r имеет наименьшее значение (r=n-m, m - кратность корня), б) r>n-m.
Метод исключения для линейных систем дифференциальных уравнений произвольного вида с постоянными коэффициентами.
Классификация линейных интегральных уравнений.
Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
Существование решения уравнения Фредгольма с малым ядром.
Существование решения уравнения Вольтерра.
Теоремы Фредгольма.
Уравнения с симметричными ядрами. Свойства спектра. Теорема Гильберта-Шмидта.
Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению с симметричным ядром. Теоремы Гильберта.
Вывод теоремы Стеклова из теоремы Гильберта-Шмидта.

9. Критерии оценок

Превосходно	Превосходная подготовка с очень незначительными погрешностями
Отлично	Подготовка, уровень которой существенно выше среднего с некоторыми ошибками
Очень хорошо	В целом хорошая подготовка с рядом заметных ошибок
Хорошо	Хорошая подготовка, но со значительными ошибками
Удовлетворительно	Подготовка, удовлетворяющая минимальным требованиям
Неудовлетворительно	Необходима дополнительная подготовка для успешного прохождения испытания
Плохо	Подготовка совершенно недостаточная

10. Примерная тематика курсовых работ и критерии их оценки

Не предусмотрена.

Программа составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению 011800 «Радиофизика»

Автор программы ______________ Лапинова С.А.

Программа рассмотрена на заседании кафедры 18 марта 2011 г. протокол № 10-11-04

Заведующий кафедрой _________________ Дубков А.А.

Программа одобрена методической комиссией факультета 11 апреля 2011 года

протокол № 05/10

Председатель методической комиссии_________________ Мануилов В.Н.

В целом хорошая подготовка с рядом заметных ошибок

Хорошая подготовка, но со значительными ошибками

Подготовка совершенно недостаточная