Продолжив вычисление до 3072-угольника, он нашел более точное приближение, в десятичных дробях равное 3,14159.

Задача № 1.

На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах вне его построены полукруги. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Решение:

Докажем, что S=S₁+S₂. Пусть один из катетов прямоугольного треугольника равен х, а другой катет равен у, тогда гипотенуза по теореме Пифагора равна

Найдём S₁, S₂ и S. Т.к. радиус первой окружности равен х/2, а радиус второй окружности равен у/2, а радиус третьей окружности равен ,

то S₁=, S₂=, S=,

S₁+S₂=+=. Что и требовалось доказать.
Задача № 2.

Дан квадрат со стороной, равной 1. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение: Найдём площадь квадрата: S=1.

Площадь S+S₁= ¼ площади окружности с радиусом равным 1.

Найдём ¼ площади окружности: S+S₁=/4

Наёдём площадь S₂=площадь квадрата – площадь S+S₁

S₂=1-/4

Для того, чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, вычтем из площади квадрата площади S₁ и S_2. Получим: S=1-2(1-/4)=1-2+/2=/2-1.

Ответ:

Задача № 3.

Дуги описанных окружностей, ограничивающие стороны правильных многоугольников, отображены симметрично относительно этих сторон. Найдите:

1) площади закрашенных фигур, если сторона многоугольника равна 1;

2) найдите площадь аналогичной фигуры для правильного пятиугольника; правильного n - угольника.

Ответ: 1) Площадь трёхлепестковой фигуры равна разности между утроенной площадью кругового сегмента и площадью треугольника. Утроенная площадь кругового сегмента равна разности между площадью круга и площадью треугольника. Таким образом, искомая площадь равна .

2) Площадь закрашенной фигуры равна разности между удвоенной площадью многоугольника и площадью круга.

Задача № 4.

Около квадрата со стороной 1 описана окружность, а на его сторонах как на диаметрах построены полуокружности. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ: 1.

Задача № 5.

Построены три дуги окружностей с центрами и концами в вершинах правильного треугольника со стороной 1. Найдите площадь полученной фигуры.

Ответ: .

Задача № 6.

На сторонах а, b, с прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ:
Задача № 7.

Диаметр 2R окружности разделен на четыре равных отрезка. На полученных отрезках построены полуокружности. Вычислите площади закрашенных фигур. Вычислите длину контура каждой закрашенной фигуры.

Ответ:

Задача № 8.

Шесть кругов равного радиуса R касаются круга такого же радиуса и попарно друг друга. Кольцо касается шести кругов, и его площадь равна площади семи данных кругов. Найдите ширину кольца.

Задача № 9

Три равные окружности касаются друг друга и окружности радиуса R. Найдите их радиусы. Решите эту задачу для четырех, пяти, восьми окружностей.


Ответ: Радиус х окружностей можно найти из уравнения , где n – число окружностей.

Задача № 10.

В треугольник вписана окружность радиуса r проведены касательные, параллельные сторонам треугольника. В треугольники, отсеченные касательными, вписаны окружности, радиусы которых r₁, r₂ и r₃. Докажите, что r₁+r₂+r₃=r .

Мысленно проделайте описанную процедуру с каждым из трех отсеченных треугольников и т. д. Найдите сумму радиусов получившихся окружностей на каждом этапе.

Ответ: Если h_a, h_b, h_c – высоты данного треугольника, то соответственные высоты малых треугольников будут равны h_a-2r, h_b-2r, h_c-2r. Из подобия этих треугольников данному найдите сумму отношений , заменив их отношениями высот.