Министерство образования Российской федерации
муниципальное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 45
Научно – исследовательская работа по математике
Геометрия окружностей
Ф.И.О. учащихся:
Беликова Анатасия
Конохова Ксения
8А класса
Научный руководитель:
Войтюк Н.В.
Копейск 2007
Оглавление
Введение. …………………………………………………………………..3
Глава 1. Классические задачи древности
1.1. Квадратура круга………………...…………………….………..4
1.2. Теорема Понселе ……….………………………………..…......6
1.3. Поризм Штейнера..………………………….………..………...8
1.4. Задача Аполлония……………………………………………....9
Глава 2. Окружность Эйлера
1.4. Окружность девяти точек..………………….…..……..……....12
1.5. Теорема Фейербаха…………….….……………..................... .14
Заключение…………………………..………………………………….. .15
Библиография……………..……………………………………..………..16
Приложение……………………………..………………………….…… .17
Введение
Тема нашей работы – геометрия окружностей.
Объект исследования – геометрическая фигура - окружность и круг.
Предмет исследования – классические задачи древности, теоремы, исторические факты изучения окружности, круга.
Цель работы – исследовать геометрические фигуры: окружность и круг, изучая историческую и научную литературу, рассмотреть способы доказательства теорем по разным источникам, сопоставить теоретический материал в разных хронологических периодах.
Цель предполагает следующие задачи:
Ознакомиться с историческими фактами изучения окружности и круга.
Провести анализ изученного теоретического материала по данной теме.
Рассмотреть интересные задачи, свойства, теоремы.
Мы выдвигаем следующую гипотезу:
изучением окружности занимались с древнейших времён и при изучении этой геометрической фигуры сегодня, встречаются некоторые интересные факты: доказательства теорем, решение задач, истоки которых выходят из периода до н.э. и пользуются особым успехом у современных математиков.
Новизна работы заключается в подборе редкого материала по данной теме, изучаемой на уроках геометрии в очень узких рамках.
Практическая значимость исследования заключается в использовании материалов для уроков геометрии, а также кружковой работы, расширяющей кругозор учащихся.
Работа состоит из введения, основной части, заключения и приложения, в котором рассмотрены дополнительные вопросы, встречающиеся при изучении окружности – это: метод инверсии, Гиппократовы луночки, число Пи, а также интересные задачи по данной теме. В конце работы прилагается список литературы.
Глава 1. Классические задачи древности
Квадратура круга
Классическая задача древности – задача о квадратуре круга.
Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки.
Однако три задачи не поддавались их усилиям. Это задачи: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга.
В задаче о квадратуре круга требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу (рис.1).
Рис.1
Задача о квадратуре круга – самая старая их всех математических задач. Она возникла на заре человеческой культуры, и её история охватывает период около четырех тысяч лет. Этой задачей раньше греков занимались вавилоняне и египтяне. Независимо от греков ею занимались китайцы и индийцы. Но особенно большое распространение эта задача получила в Древней Греции. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ и математик Анаксагор (500 – 428 годы до н.э.), будучи посажен в тюрьму за безбожие, предался размышлениям на математические темы. В результате этих размышлений, отгонявших печаль и тоску о свободе, он попытался квадрировать круг, т.е. превратить его в равновеликий квадрат.
Квадратурой круга много занимался другой древнегреческий ученый Гиппий из Элиды (около V века до н.э.). В 420 году до н.э. он открыл трансцендентную кривую – квадратису.
Большой вклад в историю задачи о квадратуре круга внесли современники Сократа (469 – 399 годы до н.э.) Антифон и Бризон, а также Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V века до н. э. Гиппократ нашел одну из фигур, известную как «луночки Гиппократа», которая квадрируется, т.е. можно построить квадрат, площадь которого равна сумме площадей луночек (рис.2)
Рис.2
Из рисунка видно, что если взять равнобедренный прямоугольный треугольник DАВС и построить полуокружности на сторонах, как на диаметрах, то получатся две луночки, площадь каждой из которых равна половине площади DАВС. Это следует из обобщения теоремы Пифагора на полукруги, которое утверждает, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах. Высота CD делит DАВС на два прямоугольных треугольника АСD и BCD, из которых можно составить квадрат, площадь которого равна сумме площадей луночек. Таким образом, решается задача об их квадратуре. Гиппократ нашел и другие луночки, допускаемые квадратуру, но это не помогло ему решить вопрос о том, какие луночки квадрируемые. Изыскания древнегреческих ученых, связанные с задачей о квадратуре, завершаются замечательными исследованиями по этому вопросу величайшего математика древности Архимеда из Сиракуз, жившего в III веке до н.э. Надежды «квадратурщиков» решить задачу о квадратуре круга подогревались существованием «луночек Гиппократа», но попытки античных ученых так и не увенчались успехом. Этот вопрос оказался сложным и был полностью решен только в XX в., советским математиком Н.Г. Чеботаревым.
Итак, несмотря на простую формулировку: построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу, классическая задача древности о квадратуре круга не была решена, но сыграла особую роль в истории математики, так как попытки её решить привели к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Сама постановка задачи – «доказать неразрешимость» – была смелым шагом вперёд, а выражение «квадратура круга» стало символом неразрешимой проблемы.
До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо из знаменитых задач с помощью циркуля и линейки.
1.2.Теорема Понселе
Рис.3
Одной из наиболее сложных и красивых теорем геометрии является теорема Понселе. Приведём её формулировку.
Теорема 1. Пусть окружность лежит внутри окружности . Из точки А окружности проведём касательную окружности и отметим вторую точку А1 (рис.3) её пересечение с окружностью . Из точки А1 снова проведём касательную к окружности и отметим точку А2 её пересечение с . Аналогично получаются точки А3, А4,… Если окажется, что Аn=A, то для всякой другой точки А окружности точка Аn совпадёт с А.
Рис.4
Теорема Понселе для n=3
Прежде, чем доказывать теорему Понселе для треугольника, докажем формулу Эйлера, связывающую радиусы вписанной окружностей треугольника с расстоянием между их центрами.
Теорема 2. Пусть R- радиус описанной около треугольника ABC окружности, r-радиус вписанной в него окружности, а d – расстояние между центрами этих окружностей. Тогда d2=R2-2Rr.
Доказательство. Пусть О и I – центры описанной окружностей соответсвенно (рис.4). Через О и I проведём диаметр KL описанной окружности и продлим биссектрису угла В до пересечения с описанной окружностью в точке M. Тогда M I B I = K I L I= (R-d)(R+d). Заметим, что треугольник МСI равнобедренный, причём МС =M I. В самом деле, по теореме о вписанных углах, С М I =A, MCA = CBM=
B. Поэтому МСI = B+ÐC=
, но тогда М I С =
-ÐА-==МСI.
По теореме синусов M I = МС=2Rsin
, в то же время BI=r/sin . Подставляя в выражения для MI и BI, получаем, что 2Rr=R2-d2, но это и требовалось доказать.
Рис.5
Пусть теперь -описанная, а - вписанная окружности треугольника ABC. Возьмём произвольную точку А1 на окружности и проведём из неё две касательные к окружности (рис.5).
Пусть В1 и С1 – точки пересечения этих касательных с окружностью , отличные от точки А1. Докажем, что В1С1 касается окружности . Предположим, что это не так. Будем теперь, сохраняя центр меньшей окружности, непрерывно менять её радиус до тех пор, пока касание не будет достигнуто. Когда В1С1 коснется окружности, возникает противоречие с формулой Эйлера: у треугольника АВС и А1В1С1 совпадают R и d, а радиусы вписанных окружностей – нет.
Тем самым теорема Понселе для треугольника доказана. Теперь, представим себе, что вершина А движется по окружности . Движущийся таким образом треугольник будем называть треугольник Понселе. Тогда замечательные точки треугольника АВС тоже движутся по некоторым линиям.
1.3. Поризм Штейнера
Задача
Докажите, что если существует цепочка окружностей S1, S2,..., Sn, каждая из которых касается двух соседних (Sn касается Sn - 1 и S1) и двух данных непересекающихся окружностей R1 и R2, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T1, касающейся R1 и R2 (одинаковым образом, если R1 и R2 не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T1, T2,..., Tn (поризм Штейнера).
Решение
Сделаем инверсию, переводящую R1 и R2 в пару концентрических окружностей. Тогда окружности S1*, S2*,..., Sn* и T1* равны между собой (рис 6). Повернув цепочку S1*,..., Sn* вокруг центра окружности R1* так, чтобы S1* перешла в T1*, и сделав инверсию еще раз, получим нужную цепочку T1, T2,..., Tn.
Рис.6
1.4. Задача Апполония
Рассмотрим задачу о построении окружности, касающейся трех данных окружностей, названную в честь крупнейшего специалиста по коническим сечениям древности Аполлония Пергского, решаемых с помощью циркуля и линейки, одной из самых интересных.
Задача Аполлония формулируется так: построить окружность, касающуюся трех данных окружностей. Известно, что решение этой задачи содержалось в сочинении Аполлония «О касаниях», но само сочинение было утеряно. В дальнейшем задача Аполлония породила многочисленные математические исследования, к ней обращались и такие выдающиеся математики, как Л. Эйлер и И. Г. Ламберт.
В настоящее время существует много различных решений этой задачи, одно из них будет приведено здесь.
Итак, пусть на плоскости даны три окружности. Рассмотрим рисунок 7. Сколь большим числом способов могут быть расположены три окружности при условии, что мы разрешим им касаться или же вообще не иметь общих точек? А если рассмотреть возможные случаи.
Рис.7
Рис.8
Пусть даны три непересекающиеся окружности: S1, S2 и S3, расположенные так, как показано на рисунке 8. Требуется построить окружность S, касающуюся окружностей S1 и S2 внешним образом, а окружности S3 внутренним.
Рассмотрим окружности S1 и S2, но с радиусами, увеличенными на 
, и окружности и, концентрические окружности S3 и S, с радиусами, уменьшенными на эту величину (на рисунке они изображены пунктиром). Легко заметить, что если окружность S касалась окружностей S1, S2, S3 то окружность S будет касаться окружностей S1, S2, S3. Но окружности S1 и S2 оказались касающимися, поэтому на основании предыдущего случая мы умеем ее строить, а искомая окружность является концентрической с ней и имеющей радиус на больше.
Следовательно, и ее мы можем построить. Остается отметить, что если окружности S1 и S2 пересекаются, то радиусы этих окружностей нужно уменьшить. Может оказаться, что при уменьшении радиуса окружности необходимый радиус станет равным нулю или даже отрицательному числу. В первом случае окружность вырождается в точку и «касание окружности и точки» нужно понимать как «окружность проходит через точку». Во втором случае мы строим окружность, радиус которой равен модулю полученного числа, но при этом меняется характер касания окружностей: если до изменения радиусов они касались внешним образом, то после изменения они станут касаться внутренним образом, и наоборот.
Поскольку мы причислили к окружностям и точки (окружности нулевого радиуса), и прямые (окружности бесконечного большого радиуса), то можно обобщить задачу Аполлония. Следовательно, нам требуется построить окружность или прямую, касающуюся:
1) трех данных окружностей;
2) данной прямой и двух данных окружностей;
З) двух данных прямых и данной окружности;
4) трех данных прямых;
5) данной точки и двух данных окружностей;
6) данной точки, данной прямой и данной окружности;
7) данной точки и двух данных прямых;
8) двух данных точек и данной окружности;
9) двух данных точек и данной прямой;
10) трех данных точёк.
Глава 2. Окружность Эйлера
2
.1.Окружность девяти точек
Рис.9
В школьном курсе геометрии изучаются 3 замечательные точки треугольника:
точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
точка пересечения медиан;
точка пересечения биссектрис
Кроме этого существует девять особых точек:
середины сторон;
основания высот;
середины отрезков, соединяющих ортоцентр (точку пересечения высот) с вершинами треугольника.
Окружность Эйлера (окружность девяти точек) – это окружность, проходящая через все вышеуказанные точки.
У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек. Это – окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника (рис.10):
основания его высот D6, D2 и D4;
основания его медиан D7, D1 и D5;
середины D3, D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот H до его вершин.
Рис. 10 Рис.11
Эта окружность, найденная в XVIII веке великим ученым Л.Эйлером, была заново открыта в следующем столетии учителем в провинциальной Германии. Звали этого учителя Фейербах. Дополнительно Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида (рис.11).
Одна из этих окружностей вписанная, остальные три – вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10, D11, D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.
Окружность эту легко построить, если знать два свойства.
Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой H – его ортоцентром (точка пересечения его высот).
Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.
В геометрии треугольника окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек.
Окружность девяти точек получила такого название из-за следующей теоремы: Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.
2.2.Теорема Фейербаха
К
арл Вильгельм Фейербах (30 Мая, 1800 — 12 Марта 1834), немецкий математик, брат философа Людвига Фейербаха. Будучи провинциальным учителем математики, стал известен благодаря формулировке и доказательству теоремы теперь известной как «Теорема Фейербаха».Теорема. Окружность Эйлера треугольника ABC касается вписанной и трех вневписанных окружностей этого треугольника.
Д
оказательство. На отрезке [XXa] как на диаметре построим окружность . Получаем, что точка A будет центром (так как BX = CXa), а ее радиус R = XXa/2 = (a-2BX)/2 = (b-c)/2. Рассмотрим симметрию относительно . Из условий 1 и 1 заключаем, что invOR(1) = 1 и invOR(a) = a. Пусть S - общая точка биссектрисы [AOa) и прямых
(BC) и (B1C1). Тогда SC = ab/(b+c) и SB = ac/(b+c). Отсюда 
Пусть также точки B и C являются соответственно пересечением касательной (B1C1) с прямыми (AB) и (AC). Из подобия треугольников SAB и SBC1 получаем
Поскольку AB = c/2, 
Рассматривая подобные треугольники ASC и CSB1 приходим к
Отсюда 
Равенства (1) и (2) означают, что invOR(B) = B и invOR(C) = C. Поэтому
invOR(э) = (BC) = (B1C1) и э касается invOR(1) = 1 и invOR(a) = a. Аналогично доказывается, что э касается оставшихся двух вневписанных окружностей. Теорема доказана.
следующая страница >>
Смотрите также:
