Глава 3. Элементы теории вероятностей

Элементы теории вероятностей — это новое содержание в курсе математики средней школы. Ранее эти вопросы изучались лишь в физико-математических классах, теперь в небольшом объеме этот материал стал обязательным и при обучении на базовом уровне. Для контроля усвоения материала главы 3 можно использовать задачи из учебника или из других источников.

В преамбуле главы 3 введены понятия: события и случайные события.

§ 12. Вероятность события. Свойства вероятностей

12.1. Понятие вероятности события

В данном пункте введены понятия равновозможных событий, единственно возможных событий, случая, достоверного события, невозможного события, несовместных событий, вероятности события.

Решения и комментарии

12.2. Бросают игральную кость. Являются ли события А — выпадение шести очков и В — выпадение четного числа очков равновозможными, единственно возможными?

События А и В не являются равновозможными, так как событию А благоприятствует один случай (выпадет 6 очков), а событию B — три (выпадет 2, 4, 6 очков). События А и В не являются и единственно возможными, так как кроме событий А и В может произойти, например, и событие С — выпадет 5 очков.

12.4. Бросают две монеты. Рассмотрим два события: А — выпали два орла; В — выпала решка (хотя бы на одной монете). Являются ли события А и В:

а) равновозможными; б) несовместными?

Решение. Для большей наглядности будем считать, что монеты разные — большая и маленькая, всего возможны 4 случая: выпадут два орла (Оо), две решки (Рр), орел на большой монете, решка на маленькой (Ор), орел на маленькой монете, решка на большой (Ро).

а) События А и В не являются равновозможными, так как событию А благоприят­ствует один случай (Оо), а событию B — три (Рр, Ор, Ро).

б) События А и В являются несовместными, так как они не могут произойти одновременно в одном опыте.

12.8. При игре в лото используются фишки с номерами от 1 до 90. Наудачу вынимается одна фишка. Какова вероятность события:

а) А — номер вынутой фишки делится на 10;

б) В — номер вынутой фишки делится и на 5, и на 9;

в) С — номер вынутой фишки меньше 100;

г) D — номер вынутой фишки 77?

Решение. а) Событию А благоприятствуют 9 случаев: будут вынуты фишки с номерами 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. P (A) = 10:90 = 0,1.

б) Событию В благоприятствуют 2 случая: будут вынуты фишки с номерами 45, 90. P (В) = 2:90 = .

в) Событию С благоприятствуют 90 случаев: будут вынуты фишки с номерами от 1 до 90. P (С) = 90:90 = 1.

г) Событию D благоприятствуют 1 случай: будет вынута фишка с номером 77. P (D) = 1:90= .

12.10. а) Я задумал двузначное число. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?

б) Я задумал двузначное число, записанное разными цифрами. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?

Решение. а) Всех двузначных чисел 99 – 9 = 90. Вероятность угадать одно из них с первого раза равна .

б) Из 90 двузначных чисел записанных разными цифрами 90 – 9 = 81. Вероятность угадать такое число с первого раза равна .

12.11. Ученик задумал натуральное число, не превышающее 100. Какова вероятность того, что это число: а) четное; б) делится на 4; в) делится на 10; г) при делении на 10 дает в остатке 7?

Из первых 100 натуральных чисел 50 четных, 25 делящихся на 4, 10 делящихся на 10, 10 дающих при делении на 10 остаток 7, поэтому искомая вероятность равна:

а) 50:100 = 0,5; б) 25:100 = 0,25; в) 10:100 = 0,1; г) 10:100 = 0,1.

12.12. Используя некоторые из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, записали четырехзначное число. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?

Таких четырехзначных чисел = 5432 = 120, поэтому искомая вероятность равна: 1:120 = .

12.13. Четырехзначное число записали, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 (цифры числа могут быть одинаковые). Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?

Таких четырехзначных чисел 5555 = 625, поэтому искомая вероятность равна: 1:625 = .

12.14. Один игрок записал четырехзначное число, используя различные цифры, кроме 0. Какова вероятность того, что второй игрок угадает это число с первого раза?

Таких четырехзначных чисел = 9876 = 3024, поэтому искомая вероятность равна: 1:3024 = .

12.16. В ящике лежат 6 белых и 8 черных шаров — из них 2 белых и 3 черных шара помечены звездочками. Из ящика наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что будет вынут белый шар со звездочкой?

Вероятность вынуть любой из двух белых шаров со звездочкой равна:

2:(6 + 8) = .

12.17. Четыре футбольные команды К₁, К₂, К₃, К₄, вышли в полуфинал мирового первенства. Специалисты считают, что их силы примерно равны. Какова вероятность события:

а) А — команды К₁ и К₂ выйдут в финал;

б) В — команда К₁ получит «золото», а команда К₂ — «серебро»;

в) С — команды заняли места с первого по четвертое в указанном порядке: К₄, К₁, К₃, К₂?

Решение. а) В финал может выйти любая пара команд: 1) К₁ и К₂, 2) К₁ и К₃; 3) К₁ и К₄; 4) К₂ и К₃; 5) К₂ и К₄; 6) К₃ и К₂. Событию А благоприятствует 1 случай из 6, поэтому P (А) = .

б) В каждом из рассмотренных 6 случае (задание а) имеется два способа распределить «золото» и «серебро». Событию В благоприятствует 1 случай из 12, поэтому, P (В) = .

в) Так как распределение мест с 1 по 4 возможно P₄  = 4321 = 24 способами, то событию С благоприятствует 1 случай из 24, поэтому, P (С) = .

12.2. Свойства вероятностей событий

В данном пункте определена сумма событий A и B, сумма несовместных событий A и B, произведение событий A и B, введены соответствующие обозначения: AB, A + B, AB. Здесь дано определение события, противоположного событию A (обозначение: ) введено обозначение для события, заключающегося в том, что происходит событие A, но событие В не происходит.

Решения и комментарии

12.22. Бросают игральный кубик. Событие А заключается в выпадении или 5, или 6 очков; событие В заключается в выпадении четного числа очков. В чем заключаются события и ? Вычислите вероятности Р () и Р ().

Cобытие заключается в выпадении 5 очков, Р () = . Событие заключается в выпадении 2 или 4 очков Р () = = .

12.24. Однажды к Галилео Галилею явился солдат и спросил: какая сумма выпадает чаще при бросании трех игральных костей — 9 или 10? Галилей правильно решил эту задачу. Что ответил Галилей?

При бросании трех костей возможны 666 = 216 случаев, каждому из них соответствует трехзначное число, первая, вторая и третья цифры которого — количества очков, выпавшие соответственно на первом, втором и третьем кубике:

111, 112, 113, 113, 114, 115, 116, 211, … , 665, 666.

Сумма 9 очков получится только в следующих 25-ти случаях:

126, 216, 315, 414, 513, 612,

135, 225, 324, 423, 522, 621.

144, 234, 333, 432, 531,

153, 243, 342, 441,

162, 252, 351,

261,

Сумма 10 очков получится только в следующих 27-ти случаях:

136, 226, 316, 415, 514, 613,

145, 235, 325, 424, 523, 622,

154, 244, 334, 433, 532, 631.

163, 253, 343, 442, 541,

262, 352, 451,

361,

Следовательно, вероятность выпадения 9 очков равна , а вероятность выпадения 10 очков равна . Поэтому более вероятно выпадение 10 очков.

Ответ. 10 очков.

12.25. В некотором царстве, в некотором государстве живут правдолюбцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые могут лгать или говорить правду, но не любят признаваться в этом. Для получения правдивой информации о количестве лжецов было проведено такое исследование. Каждого испытуемого спрашивали: «Вы лжец?» Прежде чем ответить, испытуемый подбрасывал монету так, чтобы результат этого опыта был виден только ему одному. Если выпадал герб, то он должен был сказать «да» (независимо от того, кем он является на самом деле). Если же выпадала решка, то он должен был правдиво ответить на вопрос (в этом случае исследователи не могли знать, кем на самом деле является испытуемый, так как они не знали результата опыта с монетой). В результате исследования выяснилось, что 61 % граждан царства-государства ответили «да», остальные — «нет». Сколько процентов граждан этого царства-государства являются лжецами, если были опрошены все граждане?

Считаем выпадение герба и решки равновероятными событиями, поэтому у 50 % всех граждан после выпал герб, и они сказали «да». Еще 61 – 50 = 11 (%) всех граждан после выпадения у них решки также сказали «да». Они лжецы, их количество составляет 11 % от тех граждан, которым выпала решка, а таких граждан — половина от общего числа. Если считать, что лжецы равномерно распределены между двумя группами испытуемых, то и среди первой группы, а, значит, и среди всего населения царства-государства они составляют 22 %.

12.26. Имеется 16 игральных карт: 4 валета, 4 дамы, 4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта, или дама?

Решение. Пусть событие А заключается в том, что будет вынута козырная карта, P (A) = = . Пусть событие В заключается в том, что будет вынута дама, P (В) = = . Событие АВ заключается в том, что будет вынута или козырная карта или дама. Тогда P (АВ) = P (A) + P (A) – P (АВ). Событие АВ заключается в том, что будет вынута козырная дама. P (АВ) = .

Итак, P (АВ) = + – = , т. е. искомая вероятность равна .

Можно рассуждать и иначе. Так как козырных карт 4 и дам 4 (из них одна козырная), то событию D — вынута козырная карта или дама — благоприятствует 7 случаев. Следовательно, P (D) = .

12.27. Имеется колода из 52 игральных карт. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта или дама?

Пусть событие А заключается в том, что будет вынута козырная карта, P (A) = . Пусть событие В заключается в том, что будет вынута дама, P (В) = = . Событие АВ заключается в том, что будет вынута или козырная карта, или дама. Тогда P (АВ) = P (A) + P (A) – P (АВ). Событие АВ заключается в том, что будет вынута козырная дама. P (АВ) = .

Итак, P (АВ) = + – = , т. е. искомая вероятность равна .

Можно рассуждать и иначе. Так как козырных карт 13 и дам 4 (из них одна козырная), то событию D — вынута козырная карта или дама — благоприятствует 16 случаев. Следовательно, P (D) = = .

§ 13. Частота, условная вероятность события

13.1. Относительная частота события

В данном пункте введены понятия относительной частоты события, статистической устойчивости относительных частот, приведены данные Бюффона и Пирсона о выпадении герба, полученные в больших сериях опытов с подбрасыванием монеты. Здесь же имеется разъяснение об аксиоматическом построении теории вероятностей, а также о различии между элементарной теорией вероятностей и общей теорией вероятностей.

Решения и комментарии

13.3. Пятеро учащихся при бросании монеты 50 раз получили следующие данные:

Ученик	Число бросаний	Число выпадений герба	Относительная частота выпадения герба
1 2 3 4 5	50 50 50 50 50	27 28 23 26 24	0,54 0,56 0,46 0,52 0,48

Вычислите относительную частоту выпадания герба во всех 250 опытах.

Решение. Для вычисления относительной частоты выпадания герба во всех 250 опытах разделим количество выпаданий герба в этих опытах на число опытов:

(27 + 28 + 23 + 26 + 24):250 = 0,512.

13.2. Условная вероятность. Независимость событий

В данном пункте введены понятия условной вероятности события B при условии, что произошло событие А. Это отношение числа случаев, благоприятствующих событию АВ, к числу случаев, благоприятствующих событию А. Его обозначают . Далее показана справедливость равенств: , (если Р (В) > 0) и (если Р (А) > 0).

Затем вводится понятие независимых событий А и В. Это такие события, для которых .

Решения и комментарии

13.5. Пусть бросается игральная кость. Событие А заключается в выпадении не более 4 очков, событие В — в выпадении нечетного числа очков. Вычислите вероятность:

а) Р (А); б) Р (В); в) Р_В (А); г) Р_А (В).

Решение. Всего равновозможных и единственно возможных случаев 6 (выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков), из них благоприятствующих: событию А — 4 случая (выпадение 1, 2, 3, 4 очков), событию В — 3 случая (выпадение 1, 3, 5 очков), событию АВ — 2 случая (выпадение 1, 3 очков). P (АВ) = = .

а) Р (А) = = ; б) Р (В) = = ;

в) = : = ;

г) = : = .

Замечание. Результаты, полученные при решении этой задачи можно проиллюстрировать (и даже получить их без изученных формул) с помощью кругов Эйлера (рис. 76).

Вероятность события А при условии того, что наступило событие В есть Р_В (А) = , так как событие А происходит в двух случаях, когда произошло событие В. Рис. 76

Вероятность события В при условии того, что наступило событие А есть Р_А (В) = = , так как событие В происходит в двух случаях, когда произошло событие А.

13.6. В ящике находятся 15 шаров: 7 белых и 8 черных, из них 3 белых шара и 2 черных помечены звездочками. Опыт состоит в том, что из ящика наугад вынимают один шар. Событие А заключается в том, что вынут белый шар, событие В — вынут черный шар, событие С — вынут шар, помеченный звездочкой. Вычислите вероятность:

а) Р (А); б) Р (В); в) Р (С); г) Р_С (А);

д) Р_С (В); е) Р_А (С); ж) Р_В (С); з) Р_В (А).

Решение. Всего равновозможных и единственно возможных случаев 7 + 8 =
= 15 (вынут белый шар, или черный шар, или со звездочкой), из них благопри­ятствующих: событию А — 7 случаев, событию В — 8 случаев, событию С — 5 случаев, событию АВ — 0 случаев, событию АС — 3 случая, событию ВС — 2 случая. Р (АС) = , Р (ВС) = .

а) Р (А) = ; б) Р (В) = ; в) Р (С) = = ;

г) = : = ;

д) = : = ;

е) = : =;

ж) = : = ;

з) = : = 0. Рис. 77

Эти результаты можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера (рис. 77).

13.10. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, вторым — равна 0,8. Считая, что поражения мишени каждым из стрелков являются независимыми событиями, найдите вероятность события:

а) мишень поразят оба стрелка;

б) мишень поразит первый стрелок, но не поразит второй;

в) мишень поразит второй стрелок, но не поразит первый;

г) мишень не поразит ни один из стрелков;

д) мишень поразит хотя бы один из стрелков?

Решение. а) Для краткости первого стрелка обозначим А, второго — В. Пусть событие А — стрелок А попал в мишень, событие В — стрелок В попал в мишень, событие АВ — попали оба, тогда событие — стрелок не попал в мишень, событие — стрелок B не попал в мишень, событие А — попал А, но не попал В, событие В — попал В, но не попал А, событие — не попали оба, событие АВ — попал хотя бы один стрелок.

События А и В, А и , и В, и , независимы, поэтому:

а) Р (АВ) = Р (А)Р (В) = 0,70,8 = 0,56;

б) Р (А) = Р (А)Р () = 0,7(1 – 0,8) = 0,14.

в) Р (В) = Р ()Р (В) = (1 – 0,7)0,8 = 0,24;

г) Р () = Р ()Р () = (1 – 0,7)(1 – 0,8) = 0,06;

д) Р (АВ) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

§ 14. Математическое ожидание. Закон больших чисел

14.1. Математическое ожидание

В данном пункте введено понятие математического ожидания случайной величины х. Это число, обозначаемое , равное сумме произведений значений случайной величины на вероятности этих значений, т. е. .

Далее разъясняется, что математическое ожидание называют еще средним значением случайной величины или ее значение «в среднем». Приведены примеры задач, для решения которых используется понятие математического ожидания случайной величины.

Решения и комментарии

14.1. Рулетка имеет 38 номеров, выпадение каждого из которых единственно возможно и равновозможно. Если выпадет номер, на который поставил игрок, то он получает свою ставку обратно, плюс ту же сумму в 35-кратном размере, если нет, то теряет свою ставку. Определите, сколько «в среднем» получает каждый игрок в одной игре при ставке в 19 рублей.

Вероятность выигрыша в рулетку равна , а проигрыша — . Будем считать, что игрок получит x р., где x — случайная величина, принимающая значения x₁ = 1936 и x₂ = –19 соответственно с вероятностями и . Тогда математическое ожидание выигрыша равно М = 3619 + (–19) = р. Следовательно, каждый игрок получит в среднем р., т. е. проиграет 0,5 рубля.

Будем называть игру справедливой, если «в среднем» будет одинаковым число очков или денег, получаемых каждым игроком. Определите, является ли справедливой игра, описанная в следующей задаче (14.3 – 14.6):

14.3. Подбрасывается две монеты. Игрок А получает 3 очка, если выпадает два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В получает 2 очка, если выпадает герб и решка, 0 очков в других случаях.

Выпишем все исходы, получаемые при броске двух монет: ОО, ОР, РО, РР. Вероятность выигрыша игрока А равна Р (А) = , а игрока В равна Р (В) = . Математическое ожидание выигрыша для игрока А равно М_А = 3 = , а для игрока В — М_В = 2 = 1. М_А < М_В — игра несправедливая.